2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册综合测试（2）

人教A版（2019）选择性必修第一册 综合测试卷（2） 本试卷共4页，共19小题，满分150分。考试用时120分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程是（  ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（  ）． A． B． C． D． 3．已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 4．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（  ） A． B． C． D． 5．过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 6．直线：在椭圆上截得的弦长是（  ） A． B． C． D． 7．已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为，且椭圆的离心率为，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（  ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（  ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线l的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（   ） A．与直线垂直 B．的倾斜角等于 C．在y轴上的截距为 D．圆上存在两个点到直线的距离等于 10．如图，在平行六面体中，所有的棱长都是2，E，F分别是，的中点，，则下列说法中正确的是（    ） A．与平面相交 B．平面 C． D． 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．在曲线上存在点，使得到点的距离为 C．在曲线上存在点，使得 D．曲线上的点到直线的最小距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线C：的右焦点为F，则F到双曲线C的渐近线的距离为 . 13．若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 14．下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②若直线的倾斜角为，则实数的值为； ③已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为或 ④设过原点的直线的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线的倾斜角是或． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点，圆. (1)求圆过点的最长弦､最短弦所在的直线方程； (2)若圆与直线相交于，两点，为坐标原点，且，求的值. 16．已知椭圆的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为. (1)求的方程； (2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围. 17．直三棱柱中，为中点，E为中点，F为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 18．设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．   19．已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)求的方程． (2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． (3)证明：点H在直线上． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）选择性必修第一册 综合测试卷（2） 本试卷共4页，共19小题，满分150分。考试用时120分钟。 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的准线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的标准方程可得出其准线方程. 【详解】对于抛物线，，则， 因此，该抛物线的准线方程为. 故选：D. 2．已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【详解】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C 3．已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共面基本定理可得结果. 【详解】由于，，， 由空间向量共面基本定理知，，，均与共面， 不能构成一组基底，故ABD均错误. 故选：C. 4．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与圆相切得到直角三角形利用边长求解即可. 【详解】中， ，即，故选：A 5．过圆：和圆：的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆系方程，利用圆心坐标求出参数，建立方程求解即可. 【详解】经过圆：和圆：交点的圆可设为，即， 圆心在直线上，故，解得， 所以圆的方程为.故选：A. 6．直线：在椭圆上截得的弦长是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据韦达定理以及弦长公式可求解出结果. 【详解】设与椭圆交于， 联立可得， 且，， 所以， 故选：D. 7．已知是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若的周长为，且椭圆的离心率为，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由焦点三角形周长、椭圆离心率列方程求椭圆参数，结合椭圆性质即可确定椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离. 【详解】设椭圆的焦距为，且的周长为，所以， 椭圆的离心率为，则， 综上，，解得，则椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为． 故选：B 8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的弦长公式可得，进而根据平行关系可得，利用椭圆定义以及勾股定理即可求解. 【详解】过作， 由于圆O截直线的弦长为，所以， 由于，所以,结合是的中点， 所以， 故，， 化简得， 所以，故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知直线l的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（     ） A．与直线垂直 B．的倾斜角等于 C．在y轴上的截距为 D．圆上存在两个点到直线的距离等于 【答案】AD 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A，B，C，利用圆心到直线的距离确定直线与圆的位置关系，再找到圆周上的点到直线的最近距离，即可判断D. 【详解】因为直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 又直线经过点， 代入点斜式方程可得，，即直线的方程为：. 对于A，将直线化为斜截式方程可得，，斜率为， 又直线的斜率， 因为，所以直线与直线垂直，故A正确； 对于B，由直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，，则， 所以，故B不正确； 对于C，令，代入直线的方程，得， 即直线在轴上的截距等于，故C不正确； 对于D，圆的圆心到直线的距离， 因此直线与圆相离， 又圆上点到直线的最近距离为， 因此可得圆上存在两个点到直线的距离等于，故D正确；故选：AD. 10．如图，在平行六面体中，所有的棱长都是2，E，F分别是，的中点，，则下列说法中正确的是（    ） A．与平面相交 B．平面 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析即可. 【详解】A选项，连接，，，，， 由于E，F分别是，的中点，所以， 根据棱柱的性质可知，所以， 由于平面，平面， 所以平面，故A错误； B选项，，，， ， ， 所以，， 由于，平面，所以平面， 故B正确； ， 所以，即，故C正确； D选项，，， ，故， ， 则，故D正确. 故选：BCD. 11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（    ） A．曲线的方程为 B．在曲线上存在点，使得到点的距离为 C．在曲线上存在点，使得 D．曲线上的点到直线的最小距离为 【答案】ABD 【分析】根据已知求曲线的方程，由已知点到圆心距离判断点的存在性，两点距离求的轨迹，点线距离判断圆上点到直线距离的最值判断各项正误. 【详解】令，则， 整理得，所以，A对； 由上，曲线是以为圆心，4为半径的圆， 则点到的距离， 所以该圆上点到距离范围为， 显然3在上述范围内，B对； 令，由，则， 所以，显然轨迹为为圆心，为半径的圆， 而，即轨迹M在曲线C内，即两圆为内含关系，C错； 由到直线的距离， 所以曲线上的点到直线的最小距离为，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线C：的右焦点为F，则F到双曲线C的渐近线的距离为 . 【答案】4 【分析】写出点F的坐标和双曲线其中一条渐近线方程，然后套用点到直线距离公式，即可得到本题答案. 【详解】因为双曲线C：，所以，，， 所以点，且双曲线其中一条渐近线方程为， 则F到渐近线的距离为. 故答案为：4. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程及点到直线的距离公式，属基础题. 13．若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合圆的定义、点与圆的位置关系计算即可得解. 【详解】由题意可得，解得， 故正实数的取值范围是. 故答案为：. 14．下列说法正确的是 ． ①直线恒过定点； ②若直线的倾斜角为，则实数的值为； ③已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为或 ④设过原点的直线的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线的倾斜角是或． 【答案】②③④ 【分析】根据直线方程可得直线恒过定点判断①，由直线的斜截式可判断②，根据直线的斜率可判断③，分截距为0或不为0可求出直线方程判断④． 【详解】直线即直线， 当时，，即直线恒过定点，①错误； 直线，倾斜角为，斜率为，所以，②正确； 因为直线过点，且在轴上截距相等， 当截距都为0时，直线方程为， 当截距不为0时，可设直线方程为，则，即，则直线方程为， 所以直线的方程为或，③故正确． 若倾斜角小于，逆时针旋转，倾斜角加，即； 若倾斜角大于或等于，逆时针旋转，倾斜角为，④故正确； 故答案为：②③④． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知点，圆. (1)求圆过点的最长弦､最短弦所在的直线方程； (2)若圆与直线相交于，两点，为坐标原点，且，求的值. 【答案】(1)最长弦所在直线的方程为，最短弦所在直线的方程 (2) 【分析】（1）根据圆的性质可知，最长弦过点和点，最短弦与最长弦垂直，从而可得最短弦所在直线的方程； （2）由转化为，然后联立直线和圆的方程，利用韦达定理可得关于的方程，即可求解. 【详解】（1）由题意知点在圆内，圆心，半径， 由圆的性质可知，直径是圆中的最长弦，此时直线过点，， 所以圆过点的最长弦所在直线的方程为，化简得； 由圆的性质可知，过点的最短弦和圆心与点的连线垂直， 所以设直线方程为，将代入得， 所以圆过点的最短弦所在直线的方程. （2）由，消去得， 化简得. 因为圆与直线相交于，两点， 所以， 即，解得. 设，，则，. 因为，所以，即. 由，得. 从而，解得. 16．已知椭圆的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为. (1)求的方程； (2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的准线得出焦半径，焦点三角形最大面积得出，椭圆关系得出的值，从而得到椭圆方程. （2）由直线与椭圆交点得出方程组，利用韦达定理表示出中点坐标，从而得出中垂线方程，令，用参数表示出，再利用基本不等式得出取值范围. 【详解】（1）焦点在抛物线的准线上，则椭圆半焦距， 当点为短轴顶点时，面积最大，此时， 则， 所以椭圆方程为. （2）当轴时，显然， 当与轴不垂直时，设直线的方程为， 由消去得，， 设，线段的中点， 则， 线段的垂直平分线方程为， 令，得， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，当且仅当时取等号。 于是或， 所以的取值范围是. 17．直三棱柱中，为中点，E为中点，F为中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，平面的法向量为，计算出，从而得到⊥，又平面，所以平面； （2）求出平面的法向量，利用线面角的求解公式求出答案； （3）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式求出答案. 【详解】（1）在直三棱柱中，，则可建立如图所示的空间直角坐标系， 又为中点，E为中点，F为中点． 故， 则，平面的法向量为， 故，所以⊥， 又平面，所以平面； （2）， 设是平面的法向量，则有：， 即，令，则，所以， 设直线与平面的夹角为， 则， 直线与平面的正弦值为； （3），则， 设平面的法向量为，则有， 即，解得，令，则，故， 设平面与平面的夹角为， 所以． 平面与平面夹角的余弦值为 18．设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，且定值为 【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解， （2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可． 【详解】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值．    19．已知抛物线的焦点为．过F作两条互相垂直的直线，，且直线与交于M，N两点，直线与交于E，P两点，M，E均在第一象限．设A，B分别为弦MN，EP的中点，直线ME与直线NP交于点H． (1)求的方程． (2)直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． (3)证明：点H在直线上． 【答案】(1) (2)直线过定点，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用焦点坐标求抛物线的方程； （2）设直线和的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B两点坐标，得直线AB方程，由方程判断所过定点坐标； （3）表示出直线ME与直线NP方程，联立方程组求交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线的焦点为，则有，， 所以抛物线的方程为. （2）直线，与抛物线各有两个交点，可知直线，斜率存在且不为0， 设直线的斜率为，则直线，设， 由，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， 由A为弦MN的中点，有，则， 由垂直的条件，可将换为，设， 同理得，，有， 当或时，直线的方程为， 当且时，直线的斜率为，方程为， 即，可知时， 所以直线过定点，其坐标为. （3），同理得， 此时直线的方程为， 即， 同理，直线的方程为， 由，消去解得， 故直线ME与直线NP的交点在直线上. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版（2019）选择性必修第一册 综合测试（2）答题卡 ( 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） ) 姓名：______________班级：______________ 准考证号 ( 注意事项 1 、 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2 、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3 、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4 、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] ) ( 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) 客观题（请用2B铅笔填涂） 1[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 填空题 解答题12.____,_____ 13.___________ 14.___________ 15.（13分） 16.（15分） 17.（15分） 18.（17分） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 19.（17分） $$