精品解析：河南省南阳地区2024-2025学年高一上学期期中适应性考试数学试题

南阳地区2024年秋季高一年级期中适应性考试卷 数学 注意事项： 1.答题前.考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第四章4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，有”的否定为（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，使 D. ，使 2. 若集合是2和3的公倍数，是24和60的公约数，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（ ） A. 平行于，且等于 B. 平行于，且不等于 C. 平行于，且不平行于 D. 平行于或平行于 10. 关于x的不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的定义域为，则__________. 13. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________． 14. 已知，则的最小值为__________，此时__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围. 16. （1）求值：； （2）已知，，请用a，b表示. 17. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 18. 已知指数函数的图象过点，函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式对恒成立，求t的取值范围. 19. 已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”． （1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由； （2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围； （3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳地区2024年秋季高一年级期中适应性考试卷 数学 注意事项： 1.答题前.考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册第一章至第四章4.2. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，有”的否定为（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，使 D. ，使 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得结论. 【详解】命题“，有”的否定为“，使”. 故选：D. 2. 若集合是2和3的公倍数，是24和60的公约数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为是24和60的公约数，所以， 又集合是2和3的公倍数，所以， 故选：C. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式下大于等于零和分母不为零解不等式组求出即可； 【详解】由题意可得，解得且， 所以定义域为， 故选：B. 4. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶函数的性质，结合条件，即可求解. 【详解】函数为定义在上的奇函数，所以，且，又当时，， 所以， 故选：B. 5. 已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用配凑法，求得，再结合条件，即可求解. 【详解】易知， 又，所以， 则，解得， 故选：A. 7. 已知函数是减函数，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为减函数的条件，结合两段分界处的关系，即可求解. 【详解】函数是减函数，则有， 解得，则a的取值范围为. 故选：B. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，再结合条件，即可求解. 【详解】令，易知在上单调递减，又，所以， 令，易知在区间上单调递增，又，所以，故， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四边形中，“四边形是梯形”的一个充分不必要条件可能是（ ） A. 平行于，且等于 B. 平行于，且不等于 C. 平行于，且不平行于 D. 平行于或平行于 【答案】BC 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，对各选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由“平行于且等于”推出“四边形是平行四边形”，所以选项A错误， 对于选项B，因为“平行于，且不等于”可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于，且不等于”，如图所示， 当，且时，是梯形，但不满足“平行于，且不等于”，所以选项B正确， 对于选项C，“平行于且不平行于” 可以推出“四边形是梯形”， 但“四边形是梯形”推不出“平行于且不平行于”，如图所示， 当，且不平行时，是梯形，但不满足“平行于且不平行于”，所以选项C正确， 对于选项D，由“平行于或平行于”不能推出“四边形是梯形”，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 关于x的不等式的解集可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分类讨论的大小，利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】由，得. 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为. 故选：ACD. 11. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 在上单调递减 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若幂函数的定义域为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，得到，再结合条件，即可求解. 【详解】由，得.当时，的定义域不为； 当时，的定义域为，所以， 故答案为：. 13. 若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】当时，原不等式显然恒成立，当，一元二次不等式对应的二次函数需要开口向上、与轴没有交点才满足题意，据此列出不等式求解即可. 【详解】当时，原不等式恒成立，满足题意； 当时，只需，解得; 综上所述：， 故答案为：. 14. 已知，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据条件，二次利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，得到， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的既不充分也不必要条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，求出集合，根据条件得，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据题设条件得或，即可求解. 【小问1详解】 由，得，则， 当时，，则或， 所以或. 【小问2详解】 由题意可知，A ⊈ B ， B ⊈ A 则或，得或， 所以实数a的取值范围为. 16. （1）求值：； （2）已知，，请用a，b表示. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则与性质求解； （2）根据换底公式及对数的运算法则化简即可得解. 【详解】（1）原式. （2）由题意得，， 所以 . 17. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用表示，根据二次函数的性质求得正确答案. （2）利用基本不等式求得正确答案. 【小问1详解】 依题意，，，且， 所以，所以， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最大值为，此时. 所以的最大值为. 【小问2详解】 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 18. 已知指数函数的图象过点，函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并用定义证明； （3）若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解. 【小问1详解】 设（，且），由，得， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 19. 已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”． （1）判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由； （2）若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围； （3）已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”． 【答案】（1）不是，理由：由题意可得，当时，，此时倍区间为， 但，所以不是函数的一个“倍区间”. （2） （3）证明：当时，由，得， 当时，由，得， 所以在为单调递增函数，所以在上的值域为， 当时，，得，即， 当时，，得，即， 设，则当时，，当时，， 所以在上单调递减， 因为，所以，即， 得， 所以，所以（）是的一个“3倍区间”. 【解析】 【分析】（1）由函数新定义判断即可； （2）由函数新定义结合二次函数的值域判断即可； （3）由函数新定义结合函数的单调性构造函数，得到在上单调递减即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可得当时，， 因为， 所以，即， 所以m的取值范围为， 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键在于能够通过所给不等式发现函数的单调性，再通过不等式变形构造函数，结合单调性分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $