25章概率初步 章末复习教学设计 2024-2025学年人教版数学九年级上册

人教版初中数学　九年级上册 25章 章末复习 教学目标 　　1．能正确辨别必然事件、不可能事件、随机事件． 　　2．了解概率的意义，能用列举法（包括直接列举法、画树状图法和列表法）求事件的概率． 　　3．能通过试验获得事件的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值，并能通过用频率估计概率解决相关实际问题． 教学重点 　　1．能正确辨别必然事件、不可能事件、随机事件． 　　2．了解概率的意义，能用列举法（包括直接列举法、画树状图法和列表法）求事件的概率． 　　3．能通过试验获得事件的频率，知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值． 教学难点 　　能通过用频率估计概率解决相关实际问题． 教学过程 复习导入 　　请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！ 　　1．举例说明什么是随机事件． 　　2．在什么条件下，可以通过列举法得到随机事件的概率？ 　　3．用列举法求概率有哪些具体的方法？它们各有什么特点？ 　　4．简述用频率估计概率的一般做法． 　　5．结合本章内容，说说你对概率的理解以及概率在实践中的作用． 【设计意图】以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望． 要点复习 考点一　事件类型的辨别 【例1】指出下列事件属于必然事件、不可能事件还是随机事件，并说明理由． （1）抛一枚质地均匀的硬币，正面向上； （2）用长度分别为1 cm，2 cm，3.5 cm的三条线段首尾相连组成一个三角形； （3）明天会下雨； （4）在纸上画一个三角形，剪下三角形的三个角，再对齐这三个角的顶点，无缝隙、无重叠地拼在一起，能拼成一个平角． 　　【答案】解：（1）随机事件．因为抛一枚质地均匀的硬币，结果可能是正面向上，也可能是反面向上． 　　（2）不可能事件．因为根据三角形的三边关系，这样的三条线段首尾相连不能构成三角形． 　　（3）随机事件．因为明天可能下雨，也可能不下雨． （4）必然事件．因为三角形的三个内角的度数和为180°． 　　【归纳】抓住关键词是辨别各种事件的关键 　　（1）必然事件——一定发生； 　　（2）不可能事件——一定不发生； 　　（3）随机事件——可能发生也可能不发生． 　　【跟踪训练1】不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（　　）． 　　A．摸出的是3个白球 　　B．摸出的是3个黑球 　　C．摸出的是2个白球、1个黑球 　　D．摸出的是2个黑球、1个白球 　　【答案】A 　　【解析】由必然事件和不可能事件的定义可知，袋子中装的6个球，只有4个黑球、2个白球，所以不可能摸出3个白球，故不可能事件是选项A． 　　【设计意图】通过例1及跟踪训练1，让学生了解抓住关键词是辨别各种事件的关键． 考点二　概率的计算 【例2】一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8．现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数． （1）请用列表法表示出按上述规定得到所有可能的两位数； （2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率． 　　【答案】解：（1）列表分析所有可能的结果． 个位 十位 1 4 7 8 1 11 14 17 18 4 41 44 47 48 7 71 74 77 78 8 81 84 87 88 　　所得的两位数为11，14，17，18，41，44，47，48，71，74，77，78，81，84，87，88，共16种等可能的结果． （2）算术平方根大于4且小于7的共6个，分别为17，18，41，44，47，48，则所求概率P＝＝． 　　【归纳】1．求有限等可能性事件的概率 　　（1）事件只包含一个因素：用列举的方法，根据公式求得结果． 　　（2）事件包含两个因素：用列表或画树状图的方法，根据公式求得结果． 　　（3）事件包含三个因素：用画树状图的方法，根据公式求得结果． 　　2．求无限等可能性事件的概率 一般与长度、角度、面积（或时间）有关，可以通过区域长度、角度、面积（或一段时间）与总长度、角度、面积（或总时间）的关系转化为有限等可能性事件来求解． 【跟踪训练2】若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次． （1）写出所有个位数字是5的“两位递增数”； （2）请用画树状图法，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率． 　　【答案】解：（1）根据题意，知所有个位数字是5的“两位递增数”是15，25，35，45，共4个． 　　（2）画树状图如下： 　　共有15种等可能的结果，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为3，所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率为． 　　【跟踪训练3】如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，求击中阴影区域的概率． 　　【答案】解：设小正方形的边长为1， 　　则阴影区域的面积为 　　游戏板的面积为3×3＝9， 　　所以击中阴影区域的概率为． 【设计意图】通过例2及跟踪训练2，3，考查学生对概率求取方法的掌握情况． 考点三　游戏的公平性 【例3】小王和小张都想去市运动会的开幕式，由于只有1张门票，两人商量采取转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等，且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁胜谁去观看．规则如下：两人各转动转盘一次，当转盘指针停止，如两次指针对应盘面数字都是奇数，则小王胜；如两次指针对应盘面数字都是偶数，则小张胜；如两次指针对应盘面数字是一奇一偶，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．如果小王和小张按上述规则各转动转盘一次，则 （1）小王转动转盘，当转盘指针停止，对应盘面数字为奇数的概率是多少？ （2）该游戏是否公平？请用列表法说明理由． 　　【答案】解：（1）小王转动转盘，共有4个等可能结果，盘面数字为奇数的可能结果有2个，分别是1，3，因此盘面数字为奇数的概率是． 　　（2）小王和小张各转动转盘一次，根据游戏规则，其结果列表如下： 小张 小王 1 2 3 4 1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) 2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) 3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) 4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) 　　由上表可知，共有16种等可能结果，其中同为奇数与同为偶数的可能结果都是4种， 　　所以P(小王胜)＝＝，P(小张胜)＝＝． 所以P(小王胜)＝P(小张胜)，所以该游戏规则公平． 　　【归纳】使游戏由不公平变公平的两种途径： 　　（1）改变游戏规则，使双方获胜的概率相等； 　　（2）不改变双方的概率，改变得分情况，使双方获得的分数相等． 【跟踪训练4】在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足xy＞6则小明胜，若x，y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则． 　　【答案】解：列表如下： 小红 小明 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 8 3 3 6 12 4 4 8 12 　　由表可知，共有12种等可能结果，其中x，y满足xy＞6的结果有4种，x，y满足xy＜6的结果有6种． 　　所以P(小明胜)＝＝，P(小红胜)＝＝． 　　所以P(小明胜)≠P(小红胜)，所以该游戏规则不公平． 　　修改规则如下： 　　若x，y满足xy≥6则小明胜，若x，y满足xy＜6则小红胜．（答案不唯一） 　　【设计意图】通过例3及跟踪训练4，归纳出使游戏由不公平变公平的两种途径． 考点四　用频率估计概率 　　【例4】一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％．由此估计口袋中共有多少个小球． 　　【答案】解：设袋中共有小球n个． 　　因为通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30％， 　　所以估计P(摸到黄球)＝30％． 　　因为P(摸到黄球)＝． 　　所以＝30％， 　　解得n＝20． 所以估计口袋中共有小球20个． 【归纳】当试验的所有可能结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们可以通过统计大量重复试验的频率来估计概率．一些实际问题，往往需要用由频率来估计概率的思想来解决． 【跟踪训练5】现有一水果商收购了大量的苹果，并拟运往某地．由于路途遥远，水果商为了准确折算成本，以确定批发价，他采集了另外几家水果商长途运送过程中苹果的损坏情况并制成下表： 苹果质量n/kg 损坏苹果质量m/kg 苹果的损坏频率 100 6.5 200 14 400 23 600 38 1 000 61 2 000 119 4 000 241 （1）通过计算，填写表中的空格；（结果保留小数点后四位） （2）观察你填的数据，估计苹果损坏的概率；（结果保留小数点后两位） （3）如果水果商将运10 000 kg苹果去某地，原来在未考虑有损坏时确定的批发价是2元/kg，为了保持原有的利润，那么现在的批发价应上涨多少？（结果保留小数点后两位） 　　【答案】解：（1）0.065 0　　0.070 0　　0.057 5　　0.063 3　　0.061 0　　0.059 5　　0.060 3 　　（2）从上面的计算中发现，当试验数据n越来越大时，频率越来越趋近0.06，故估计苹果损坏的概率为0.06． 　　（3）因为共损坏的苹果的质量为10 000×0.06＝600（kg）， 　　所以实际批发价应为≈2.13（元/kg）， 　　2.13－2＝0.13（元/kg）， 　　所以现在的批发价应上涨0.13元/kg． 【设计意图】通过例4及跟踪训练5，考查学生用频率估计概率解决相关实际问题． 课堂小结 板书设计 　　一、事件类型的辨别 　　二、概率的计算 　　三、游戏的公平性 　　四、用频率估计概率 课后任务 　　完成教材第152页复习题25第1～5题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$