精品解析：山东省滕州市大坞镇大坞中学2024—2025学年上学期期中考试九年级数学模拟练习

2024-2025学年度山东滕州东郭中学第一学期期中模拟练习题 九年级数学 一、单选题 1. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 若，是方程的两个根，则的值等于（ ） A. B. C. 8 D. 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 4. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（　　） A. 12 B. C. 15 D. 24 6. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 5 7. 如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 9. 如图，矩形的对角线，相交于点O，平分交于点E，F是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 4 10. 如图，在菱形中，若，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 若，则____________． 12. 如图，在矩形中，，，P，Q分别是，上点，且，与相似，则的值为___． 13. 如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______． 14. 若是方程的两个根，则的值为______． 15. 如图，在矩形中，，，O是的中点，连接，点E在线段上（点E不与B、C重合），过点E作于M，于N，则的值为________． 16. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 三、解答题 17. 2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目． 电视台 A B C D 直播节目 乒乓球 篮球 射击 网球 （1）小夏收看了乒乓球直播概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 18. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 19. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． （1）求证：； （2）用含x代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，当时，求x的值． 21. 如图，在平行四边形中，E为边上点，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度山东滕州东郭中学第一学期期中模拟练习题 九年级数学 一、单选题 1. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，再进行计算，即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴． 故选：B． 2. 若，是方程的两个根，则的值等于（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据题意求出，，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， 故选A． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：B ． 4. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 5. 如图，在和中，，，M是的中点，连接，，若，则的面积为（　　） A. 12 B. C. 15 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 过M作于E，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过M作于E， ，M是的中点， ， ， ， ， 由勾股定理得：， 的面积为 ， 故选：A． 6. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得，再由正方形的性质得由，得，推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点M，N分别是和的中点，若， ∴是的中位线， ∴， 四边形是边长为6的正方形， ，， ∵F为中点， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，证明是解题的关键． 7. 如图，在五角星中，，，，，分别是边与边的交点，若且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与几何图形，设，则，根据得，代入后转化为一元二次方程，再解方程并检验即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】设，则， ∵， ∴， ， ∴， 解得，（舍去）， 故选：． 8. 如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由平分，平分，可得，由，可得，即，如图，，，设，则，，，由，可知，即，可求，，进而可求． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，即， 如图， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，即， 解得，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键． 9. 如图，矩形的对角线，相交于点O，平分交于点E，F是的中点，若，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由矩形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在矩形中，，，，， ； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ． F是的中点，， ． 故选：C． 10. 如图，在菱形中，若，，E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用菱形的性质证明四边形为矩形，得到，进而得到当时，的值最小，即的值最小，利用菱形的性质和勾股定理分别算出、、，再利用面积法求解，即可解题． 【详解】解：连接， 四边形为菱形， ， ，， 四边形为矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， ，， ，即， 解得，， ，， ， ， 即， 解得， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，垂线段最短，解题的关键在于利用矩形性质和垂线段最短找出取最小值的情况． 二、填空题 11. 若，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，设，可得，因式分解求出x的值，再根据x的范围可得答案． 【详解】解：设， ∴， 因式分解，得， ∴． ∵， ∴． 故答案为：4． 12. 如图，在矩形中，，，P，Q分别是，上的点，且，与相似，则的值为___． 【答案】3或12或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质及相似三角形的性质，一元二次方程的解法，注意根据已知，分类讨论相似的条件，体现了分类讨论思想．根据题意与相似，分两种情况讨论，①当时，②当时，分别得到比例式，代入数值，即可解答出． 【详解】解：∵与相似， ①当时， ∴，即， ∵，，， ∴， 解得，或； ②当时， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：或或． 故答案为：3或12或． 13. 如图，矩形的边，点分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形，矩形的性质，相似多边形的判定和性质，根据题意可得当四边形为正方形时，，设，则有，，根据相似多边形的性质列式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当四边形为正方形时，， 设，且四边形为矩形， ∴，， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程的有意义， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 若是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根和系数的关系可得，，再把代数式展开代入计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，O是的中点，连接，点E在线段上（点E不与B、C重合），过点E作于M，于N，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积，正确的作出辅助线是解题的关键．连接，利用股股定理求出，根据的面积的面积的面积，得到，即可求解． 详解】连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17. 2024年夏季奥运会在法国巴黎举行，某4档电视台A、B、C、D在同一时间进行了现场直播，直播节目表如下表所示．小夏和小王都是体育迷，他们在各自家里同一时间观看了直播节目． 电视台 A B C D 直播节目 乒乓球 篮球 射击 网球 （1）小夏收看了乒乓球直播的概率为________； （2）请用列表或画树状图的方法求小夏和小王收看同一个直播节目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式即可得； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出小夏和小王收看同一个直播节目的情况数，即可求出所求概率． 【小问1详解】 解：小夏收看了乒乓球直播的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 小夏 小王 A B C D A B C D ∴共有16种等可能的结果，其中能同时看同一个直播节目的有4种， ∴P（两人同时看同一个直播节目）． 18 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元． （1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天售出这种水果盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． （1）设每次降价的百分率为m，则两次降价后为，再列出方程求解即可； （2）设每千克涨价x元， 由题意得：，再解方程即可． 【小问1详解】 解：设每次下降百分率为m， 根据题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克涨价x元， 由题意得： 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， 答：每千克水果应涨价5元． 19. 如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）证明得到，即得四边形是平行四边形，进而由即可求证； （）由勾股定理可得，再证明可得四边形是平行四边形，得到，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：， ，， ， ∴， 又∵， 四边形是平行四边形， ， 由（）可知，， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 20. 如图，在中，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持．设的长为x（）． （1）求证：； （2）用含x的代数式表示的长； （3）在（2）的条件下，当时，求x的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 对于（1），先根据三角形的外角的性质得，再根据两角相等的两个三角形相似得出答案； 对于（2），根据相似三角形的对应边成比例可得答案； 对于（3），将数值代入，再计算即可． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 ∵， ∴， 解得或． 21. 如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再根据平行线的性质可得，再根结合已知条件即可证明结论； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后代入计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ，即，解得：． 22. 【课本再现】 （1）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长都等于6，都等于，如图①摆放时，重叠部分的面积是______； （2）（知识在探究）在正方形绕点O旋转的过程中（如图②），上述重叠部分的面积有没有变化？请说明理由． 拓展延伸】 如图③，四边中，，边，直接写出的长______． 【答案】（1）；（2）不变，理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）直接根据正方形面积求解面积即可； （2）在和中，利用正方形的性质和已知可证出，再利用全等三角形的面积相等即可得结论； （3）如图，过作于，过作于，证明，可得，，证明四边形为正方形，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形ABCD的边长都等于6， ∴，， ∴如图①摆放时，重叠部分的面积是； （2）没有变化， 理由如下：如图，在正方形和正方形中， ，，， ，， ，， 在和中， ，，， ， ， ， 正方形绕点无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一 ； （3）如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，旋转的性质，掌握基础知识是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$