平面向量专项检测-2025届高三数学一轮复习

2025届高三一轮复习平面向量检测 一、单选题 1．已知．若，则（   ） A． B． C． D． 2．若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知点P是的边BC所在直线上任意一点，是等差数列的前n项和，若向量，则（   ） A．1 B．100 C．50 D．9 4．给出下列说法，其中不正确的是（   ） A．若是单位向量，且共线，则 B．若，则，，，四点共面 C．若，则点是线段的中点 D．若，，则 5．在中，，，所对的边分别为，，.若是，的等差中项，，，则该三角形外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 7．已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 9．已知，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则∥ 10．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 11．平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将、、的面积分别记为，则．根据上述结论，下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为的内心，且，则 D．若为的垂心，则 三、填空题 12．过点作圆的两条切线，切点分别是、.若，则 . 13．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为 ． 14．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为 . 四、解答题 15．已知平面中三个向量、、的模均为2，它们相互之间的夹角均为120°． (1)求证：向量垂直于向量；(2)向量在上的投影向量； (3)已知（），求k的取值范围. 16． 在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的大小；(2)若，的外接圆直径为，求的周长. 17．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． (1)求B；(2)若，E为AC的中点，求； (3)若，D为△ABC外接圆上一点（D与B位于AC的异侧），当四边形ABCD的面积取得最大值时，求BD的长． 19．行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵A，取值为一个标量，写作或．无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数． (1)求的对称轴方程； (2)在中，若，，，对任意实数t恒有，求面积的最大值； (3)在中，若，点I为内心，且满足，求的最大值 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三一轮复习平面向量检测 一、单选题 1．已知．若，则（   ） A． B． C． D． 2．若向量， 与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知点P是的边BC所在直线上任意一点，是等差数列的前n项和，若向量，则（   ） A．1 B．100 C．50 D．9 4．给出下列说法，其中不正确的是（   ） A．若是单位向量，且共线，则 B．若，则，，，四点共面 C．若，则点是线段的中点 D．若，，则 5．在中，，，所对的边分别为，，.若是，的等差中项，，，则该三角形外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 7．已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（    ）    ①； ②； ③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4. A．4 B．3 C．2 D．1 二、多选题 9．已知，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若三点共线，则 D．若，则∥ 10．已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 11．平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图形与“奔驰”轿车的非常相似，该结论如下：如图，已知是内部一点，将、、的面积分别记为，则．根据上述结论，下列命题中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若为的内心，且，则 D．若为的垂心，则 三、填空题 12．过点作圆的两条切线，切点分别是、.若，则 . 13．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若角C的内角平分线，则的最小值为 ． 14．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为 . 四、解答题 15．已知平面中三个向量、、的模均为2，它们相互之间的夹角均为120°． (1)求证：向量垂直于向量； (2)向量在上的投影向量； (3)已知（），求k的取值范围. 16．在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的外接圆直径为，求的周长. 17．已知向量，，函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围. 18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． (1)求B； (2)若，E为AC的中点，求； (3)若，D为△ABC外接圆上一点（D与B位于AC的异侧），当四边形ABCD的面积取得最大值时，求BD的长． 19．行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵A，取值为一个标量，写作或．无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数． (1)求的对称轴方程； (2)在中，若，，，对任意实数t恒有，求面积的最大值； (3)在中，若，点I为内心，且满足，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D A A C B C BCD AC 题号 11 答案 ABCD 1．B 【详解】因为，且， 则，可得，所以. 故选：B. 2．A 【详解】当与共线时，此时，当时，，此时与方向相反， 当与的夹角为钝角时，则需且与不反向，所以且，解得， 故选：A 3．D 【详解】由题意知P是的边BC所在直线上任意一点，即共线， 则由，可得， 故， 故选：D 4．A 【详解】对于A，若是单位向量，且共线，则，或，故A不正确； 对于B, 若，则，即, ,则，，，四点共面，故B正确； 对于C，若，则，即， 则，且三点共线，因此可得点是线段的中点，故C正确； 对于D，若，，则，，则，故D正确； 故选：A. 5．A 【详解】因为，所以， 由余弦定理可得， 由是，的等差中项，所以， 故， 解得，， 因为，所以. 故选：A. 6．C 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值，为. 故选：C. 7．B 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得，综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 8．C 【详解】由题意可知：， ∴，故①不成立； ∵， ∴，故②成立； ∵在上的投影： ∴在上的投影向量为，成立；故③成立； 如图：    当点在线段上时，此时在上的投影最大， 在中，，∴ ∴ ，故④不正确. 故选：C. 9．BCD 【详解】对于A，，， 由，则，即，解得，故A错误； 对于B，由，则，， 由，则，故B正确； 对于C、D，，， 由共线，则，即， 可得，解得，故C、D正确； 故选：BCD. 10．AC 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 11．ABCD 【详解】对A，由，， 且不共线，所以，A正确； 对B，由，可得， 整理得，，所以，B正确； 对C，若为的内心，且， 则， 又，（为三角形内切圆的半径） 所以，则为直角三角形，且，C正确； 对D， ，， ， 若为的垂心，则， ， ， 所以，，， 又因为， ， 又因为 所以 即， 同理可得，， 所以 ， 结合奔驰定理可知，D正确； 故选：ABCD. 12．/ 【详解】如图，连结，则，， 若，所以，所以 故答案为： 13．8 【详解】因为，所以，而角为三角形内角，所以，    由，， 所以， 化简得到，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以，所以的最小值为8. 故答案为：8. 14． 【详解】在中，由余弦定理可得，即； 因此满足，可得是以的直角三角形； 以为坐标原点，分别为轴，轴，如下图所示; , 易知即为向量的夹角， 所以. 故答案为： 15．(1)证明见解析；(2)；(3)． 【详解】（1）因为，且、、之间的夹角均为120°， 所以，所以向量垂直于向量． （2）因，， 向量在上的投影向量. （3）由，得，得，所以 ， 因为，代入上式，得，解得或． 故k的取值范围为． 16．(1)(2)4 【详解】（1）由，得， 整理得，所以由余弦定理，得， 因为，所以； （2）由（1）根据正弦定理，得，解得， 由余弦定理，得， 解得，所以的周长为. 17．(1)，(2). 【详解】（1）依题意， ，因此函数的最小正周期， 由，解得， 所以的单调递减区间是. （2）由（1）知，，即， 在锐角中，，则，即， 由正弦定理，得， 因此， 由，得，则，于是， 所以面积的取值范围为. 18．(1)(2)(3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得， 整理，得， 由余弦定理，得. 因为，所以. （2）因为， 所以. （3）由正弦定理，知， 因为，，，所以，所以， 因为，所以，所以，. 因为A，B，C，D四点共圆，所以，，    当四边形ABCD的面积取得最大值时，D为的中点， 即，， ， 在△BDC中，由正弦定理得，， 所以，所以. 19．(1)；(2)；(3). 【详解】（1） ， 由，得， 所以的对称轴为. （2）由（1）知，，则， 由，得，则，解得， 由，得，两边平方并整理得， 对任意实数t恒成立， 则，得， 于是，又，，解得， ，当且仅当等号成立， 所以当时，面积的最大值为. （3）在中，，则，解得， 延长AI交BC于点D，内切圆切BC，AC于E，F，设， 则，而点共线，于是，即， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$