精品解析：河南省漯河市第三初级中学2024-2025学年九年级上学期10月期中考试数学试题

2024-2025学年第一学期九年级第二次数学学情监控 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（　　） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可． 【详解】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意； ②是中心对称图形，故本选项符合题意； ③不是中心对称图形，故本选项不合题意； ④是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟悉掌握概念是解题的关键 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 3. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形，由于，故根据方程的解的意义，求得的值，由根与系数的关系得到的值，即可求解． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，即 由根与系数的关系得：， ∴， 故选：A． 4. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大， ∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近， ∴， 故选：B． 5. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，得；但二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，则，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，而图中对称轴是y轴,故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 6. 已知点关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的两点的坐标特征以及一元一次不等式组的求解，关于原点对称的两点其横、纵坐标均互为相反数，据此可确定M在第三象限，再根据其所在象限即可建立一元一次不等式组求解． 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第一象限， ∴点M在第三象限， ∴， ∴， 在数轴上表示为： 故选：C． 7. 如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ） A. B. 对称轴为直线 C. 当时，x的取值范围是 D. 与y轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的开向下，所，故A选项正确，不符合题意； 因为二次函数的解析式为， 所以图象的对称轴为直线，故B选项正确，不符合题意； 因为二次函数的对称轴为直线，A，B两点是抛物线与x轴的交点， 所以A，B两点到对称轴的距离相等， 设B点坐标为，则有， 解得， 所以B点坐标为． 所以当时，x的取值范围是，故C选项正确，不符合题意； 当时，，，则抛物线与y轴的交点坐标为，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到，由此即可求解． 【详解】证明：∵绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 将一副三角板（与，，，）按如图所示的方式放置，点D在边上滑动，交于点G，交于点H，且在滑动过程中始终保持．若，则面积的最大值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形全等的判定和性质以及三角形面积等知识，先求出，作于M，证得，得出，设，则，根据三角形面积公式即可得到，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】解：如图，作于M． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ， ∴当时，有最大值为， 故选：C． 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可． 【详解】对称轴在y轴的右侧， ， 由图象可知：， ，故不正确，不符合题意； 当时，， ，故正确，符合题意； 由对称知，当时，函数值大于0，即，故正确，符合题意； ， ， ， ， ，故不正确，不符合题意； 当时，y的值最大此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故正确，符合题意， 故正确， 故选B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可． 【详解】解：抛物线， 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度， 得到 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键． 12. 已知关于x的方程的两实数根为，，若，则m的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系，以及方程有实数根：，进行计算即可． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍）或； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．注意，方程有实数根，判别式大于等于零． 13. 如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据旋转性质可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP'，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形，进而根据∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°，由此可利用勾股定理即可CP的值，则AP的长也可求出． 【详解】∵△BP'C是由△BPA旋转得到， ∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'， ∵∠ABP+∠PBC=90°， ∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°， ∴△BPP'是等腰直角三角形， ∴∠BP'P=45°， ∵∠APB=∠CP'B=135°， ∴∠PP'C=90°， ∵BP=2， ∴PP′==2， ∵PC=3， ∴CP'===1， ∴AP=CP′=1， 故答案为1． 14. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知：，所以当点在线段上时，的值最小，的周长也最小，以此为依据求解即可； 【详解】解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 15. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： 0 1 0 4 6 6 下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为；④函数的最大值为．其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、用待定系数法求函数解析式，先根据待定系数法求出抛物线的解析式为，由可判断①；令，则，解得，，以此可判断③；将抛物线解析式根据配方法化为顶点式得，以此可判断②、④． 【详解】解：把点，，代入中得：， 解得：， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的开口向下，故①正确； 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，，故③错误； ， 抛物线的对称轴为直线， 当，该二次函数取得最大值，最大值为， 故②、④正确． 综上，正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）移项，提取公因式，利用因式分解即可得到答案； （2）利用因式分解即可得到答案． 【小问1详解】 解：移项得， ， 因式分解得， ， ∴或， 解得：，， ∴原方程的解是：，； 【小问2详解】 解：因式分解得， ， ∴或， 解得：， ∴原方程的解是：． 17. 如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）将绕点B顺时针方向旋转90°，画出旋转后对应的，则点的坐标是______． （2）画出关于原点的中心对称图形，则点的坐标是______． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； 点的坐标是； （2） 如图，即为所求； 点的坐标是． 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握旋转的定义和性质及网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）分别作出绕点B顺时针方向旋转所得对应点，顺次连接可得答案； （2）分别作出三顶点关于原点O的中心对称点，再顺次连接可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若．则的度数为 ； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）旋转得到，利用三角形的内角和定理以及等边对等角进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，求出的长，旋转得到，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴． 20. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价应为18元 （3）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意列出方程，解方程即可求解； （3）根据题意求出与之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质解答即可求解； 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 把和代入得，， 解得：， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得：， ， ， 答：销售单价为18元； 【小问3详解】 解：由题意得，， ， ∴当时，的值最大，， 答：当单价为19元时，每天获利最大，最大利润为198元． 21. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？ 【答案】（1）y=-x2（2）从正常水位开始，持续10小时到达警戒线 【解析】 【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），再根据题意得到C（-5，-1），利用待定系数法即可得到抛物线解析式； （2）根据抛物线解析式计算出A点坐标，进而得到F点坐标，然后计算出EF的长，再算出持续时间即可． 【详解】解：（1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2. ∵CD＝10 m，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m， ∴C(－5，－1)． 把点C的坐标代入y＝ax2， 得a＝－， 故抛物线的解析式为y＝－x2. （2）∵AB宽20 m， ∴可设A(－10，b)． 把点A的坐标代入抛物线的解析式y＝－x2中， 解得b＝－4， ∴点A的坐标为(－10，－4)． 设AB与y轴交于点F，则F(0，－4)， ∴EF＝3 m. ∵水位以每小时0.3 m的速度上升， ∴3÷0.3＝10(时)． 答：从正常水位开始，持续10小时到达警戒线． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确得到C点坐标，求出抛物线解析式． 22. 如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）请求出点，，的坐标； （2）若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值； （3）若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标． 【答案】（1），， （2） （3）存在；或 【解析】 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于的一元二次方程即可得出点、的坐标，再令抛物线解析式中求出值即可得出点坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分，和三种情况考虑，根据等腰直角三角形的性质结合点、点的坐标找出点的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，再代入点坐标中即可得出结论． 【小问1详解】 解：当时， 解得：，， ， 当时，， ， ， ； 【小问2详解】 解：设直线解析式为， 由得， 解得， 直线的解析式为， 轴， 、的横坐标相同，并且、分别在抛物线和直线上， 设， 在第二象限， ， ， ，抛物线开口向下， 时，长度最大，最大值为； 【小问3详解】 解：在抛物线上存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下： 假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： 当时，设与轴交于，如图2， ，， ， ， ，， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时， 为等腰直角三角形， ， 又， 在上， 过作于，如图， 则， ， ， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时，，如图， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为，， ， 综上所述，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识点，解答本题的关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 23. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AD=AE，连接DC，点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点, (1)观察猜想：如图 1 中，△PMN 是 三角形； (2)探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD， CE．判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请求△PMN 面积的取值范围． 【答案】(1)等腰直角三角形； (2)∵∠BAC=∠DAE=90° ∴∠BAD=∠CAE ∵AB=AC，AD=AE ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴BD=CE，∠ABD=∠ACE ∵点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点 ∴MP=EC，NP=BD，MP∥EC，NP∥DB ∴MP=NP ∴△PMN 是等腰三角形 ∵∠A=90°，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45° ∵MP∥AC，NP∥AB ∴∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC ∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACB﹣∠ACD=∠DBC+45°﹣∠ACD ∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠DBC+45°﹣∠ACD+∠ACD+∠AC E=∠DBC+45°+∠ABD=∠ABC+45°=90° ∴△PMN 是等腰直角三角形 (3)≤S△PMN≤. 【解析】 【分析】（1）由AB=AC，AD=AE可得BD=CE，由点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45°， 进而可求出∠MPN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（2）根据SAS可证明△ABD≌△ACE即可证明BD=CE，∠ABD=∠ACE，由点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC的中点可得MP=PN，由MP∥AC，NP∥AB可知∠MPD=∠ECD，∠PNC=∠DBC，进而可证明∠PMN=90°，即可证明△PMN是等腰直角三角形；（3）由△PMN是等腰直角三角形可得S△PMN=BD2，根据三角形的三边关系即可得出△PMN 面积的取值范围． 【详解】（1）∵AB=AC，AD=AE ∴BD=CE ∵点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点 ∴MP=EC，NP=BD，MP∥AC，NP∥AB ∴MP=NP ∴△PMN 是等腰三角形 ∵∠A=90°，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45° ∵MP∥AC，NP∥AB ∴∠MPD=∠ACD，∠PNC=∠ABC=45° ∵∠DPN=∠PNC+∠DCB=45°+∠ACB﹣∠ACB=90°﹣∠ACD ∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+90°﹣∠ACD=90° ∴△PMN 是等腰直角三角形 （2）略 （3）∵△PMN 是等腰直角三角形 ∴S△PMN=PN2=×（BD）2=BD2． ∵将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转， ∴当点 D 在 AB 上时，BD 最短，此时 BD=AB﹣AD=6 当点 D 在 BA 的延长线上时，BD 最长，此时 BD=AB+AD=14 ∴≤S△PMN≤. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定、全等三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关知识是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级第二次数学学情监控 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（　　） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 3. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 9 4. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法错误的是（ ） A. B. 对称轴为直线 C. 当时，x的取值范围是 D. 与y轴的交点坐标为 8. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 将一副三角板（与，，，）按如图所示的方式放置，点D在边上滑动，交于点G，交于点H，且在滑动过程中始终保持．若，则面积的最大值是（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论　；；；；的实数其中正确结论的有　　 A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______． 12. 已知关于x的方程的两实数根为，，若，则m的值为___________． 13. 如图，P为正方形ABCD内一点，且BP=2，PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′，则AP=_______． 14. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为______． 15. 抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示： 0 1 0 4 6 6 下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴为直线；③抛物线与x轴的另一个交点坐标为；④函数的最大值为．其中正确的是______（填序号）． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在画有方格图的平面直角坐标系中，的三个顶点均在格点上． （1）将绕点B顺时针方向旋转90°，画出旋转后对应的，则点的坐标是______． （2）画出关于原点的中心对称图形，则点的坐标是______． 18. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 19. 如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在上，连接． （1）若．则的度数为 ； （2）若，求的长． 20. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 21. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20 m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1 m，这时水面宽度为10 m. (1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式； (2)若洪水到来时，水位以每小时0.3 m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？ 22. 如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． （1）请求出点，，的坐标； （2）若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值； （3）若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标． 23. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，AD=AE，连接DC，点 M、P、N 分别为 DE、DC、BC 的中点, (1)观察猜想：如图 1 中，△PMN 是 三角形； (2)探究证明：把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD， CE．判断△PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：将△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请求△PMN 面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $