第24章　圆 小专题(一)　旋转性质的综合运用 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

B C 85 60° 150° A D 2 17 60° 小专题(一)　旋转性质的综合运用 类型1：利用旋转结合特殊三角形、平行、垂直求角度 1．(无锡中考)如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α(0°＜α＜55°)，得到△ADE，DE交AC于F.当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于 （ ） A．80° B.85° C．90° D.95° 2.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为 （ ） A．65° B．70° C．75° D．80° 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n°(0＜n＜180)得到△ADE.若DE∥AB，则n的值为85 . 4.已知点O是△ABC内一点，连接OA，OB，将△BAO绕点B顺时针旋转，如图，若△ABC是等边三角形，OA＝5，OB＝12，△BAO旋转后得到△BCD，连接OC，OD，已知OC＝13，则∠BDO的度数为60°，∠AOB的度数为150°. 类型2：利用旋转结合特殊三角形、特殊平行四边形求长度 5．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 （ ） A．1.6 B．1.8 C．2 D．2.6 6.如图，正方形ABCD的边长为5，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF的长为 （ ） A.eq \r(41) B.eq \r(42) C.5eq \r(2) D.2eq \r(13) 7．如图，OA⊥OB，△CDE的边CD在OB 上，∠ECD＝45°，CE＝4.若将△CDE绕点C逆时针旋转75°得到△CMN，点E的对应点N恰好落在OA 上，则OC的长度为2 . 8．(庐江县期末)如图，矩形ABCD中，BC＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′.当点B′恰好落在边AD上时，旋转角为α，连接BB′.若∠AB′B＝75°，求旋转角α及AB的长． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴∠CBB′＝∠AB′B＝75°， 由旋转的性质得CB＝CB′， ∴∠CB′B＝∠CBB′＝75°， ∴∠BCB′＝180°－75°－75°＝30°， 即旋转角α为30°. 作B′E⊥BC于点E，如图． 则AB＝B′E＝eq \f(1,2)CB′＝2. 类型3：利用旋转结合特殊三角形证明 9．【问题背景】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.将一个含45°角的直角三角尺DEF按图①所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处，将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图②所示． (1)【证明推断】求证：DN＝DM；小明给出的思路：若要证明DN＝DM，只需证明△BDN≌△ADM即可，请根据小明的思路完成证明过程； (2)【延伸发现】连接AE，BF，如图③所示，求证：AE＝BF； (3)【迁移应用】延长EA交DF于点P，交BF于点Q.在图③中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系． (1)证明：∵D是BC的中点，即BD是Rt△ABC的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∠ABC＝∠DAC＝45°， ∵∠FDB＋∠FDA＝90°，∠FDA＋∠ADE＝90°， ∴∠FDB＝∠ADE， 易证△BDN≌△ADM(ASA)，∴DN＝DM. (2)证明：连接AD， ∵△DEF为等腰直角三角形，∴DE＝DF， 由(1)知∠FDB＝∠EDA，BD＝AD， 易证△FDB≌△EDA(SAS)， ∴AE＝BF. (3)解：作图如图，AE和BF的位置关系为相互垂直． 证明：由(2)知△FDB≌△EDA， ∴∠BFD＝∠AED， 又∵∠FPQ＝∠EPD，∴∠FQP＝∠PDE＝90°， 故AE和BF的位置关系为相互垂直． 类型4：利用旋转的性质求坐标 10．如图，在平面直角坐标系中，A(1，eq \r(3))，将线段OA绕点A顺时针旋转90°，得到线段AB，点B的坐标为(1－ ，1＋ )． (1－eq \r(3)，1＋eq \r(3)) 微专题1　旋转中的手拉手模型 【模型分析】 (1)全等型手拉手： 模型特点： 在△OAB中，OA＝OB，在△OCD中，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，连接AC，BD. 结论：△AOC≌△BOD(SAS) 简记为：双等腰，共顶点，顶角相等，旋转得全等 (2)相似型手拉手： 模型特点： △AOB∽△COD，且绕公共顶点O旋转． 结论：△AOC∽△BOD 简记为：非等腰，共顶点，顶角相等，旋转得相似 【针对训练】 1．如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D为AB边上的一点．若DE＝13，BD＝12，则线段AB的长为17 . 2.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，AD和BE交于点F，则∠AFB＝60°. $$