24．5　三角形的内切圆 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

相切 内心 外切 内心 115° B B 90° C 45° 24．5　三角形的内切圆 要点感知 1．与三角形三边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的__内心__，这个三角形叫做圆的__外切__三角形． 2．三角形的__内心__到三角形的三边距离相等． 典例导学 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求△ABC的内切圆半径． 【思路分析】有两种方法，一是连接三角形的三个顶点和内心，将三角形分成三个三角形，利用面积法求内切圆半径；二是连接内心与直角边上的两个切点构成正方形，利用斜边AB的长列出关于半径r的方程求解． 【自主解答】 如图，△ABC的内切圆为⊙O，切点分别为D，E，F，连接OD，OF，OE，则四边形OFCD是正方形，在Rt△ABC中， AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝10.设内切圆半径为r. 则AD＝6－r＝AE，BF＝8－r＝BE， ∴6－r＋8－r＝10，r＝2. 【名师支招】直角三角形中，内切圆半径r＝eq \f(a＋b－c,2)(其中c为斜边)． 易错易混 【易错原因】内心与外心的概念混淆不清 如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为________． 【自主解答】 知识点1：三角形的内切圆及作图 1．三角形的内心是指 (　　) A．三条垂直平分线的交点 B．三条内角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 2．如图，制作铁皮桶，需在一块三角形的材料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．(保留作图痕迹，不要求写作法) 解：如图，作出三角形的角平分线BD，CE， 角平分线交点O即为所画圆的圆心， 过点O作OF⊥BC，垂足为F， 以O为圆心，OF为半径， 作⊙O既为所求作的圆． 知识点2：三角形内切圆的性质 3．如图，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠DOE的度数是 (　　) A．70° B．110° C．120° D．130° 4．如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝__90°__. 5．如图，△ABC的面积为4 cm2，周长为10 cm，求△ABC的内切圆半径． 解：连接OA，OB，OC. ∵S△ABC＝S△AOB＋S△OBC＋S△OAC， ∴eq \f(1,2)AB·r＋eq \f(1,2)BC·r＋eq \f(1,2)AC·r＝4. ∴eq \f(1,2)r(AB＋BC＋AC)＝4，即eq \f(1,2)×10×r＝4.解得r＝eq \f(4,5). 即△ABC的内切圆半径为eq \f(4,5) cm. 6．如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则 (　　) A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，I为△ABC的内心，延长CI交AB于点D，连接AI，BI. (1)∠BID的度数为45°； (2)若BI＝4，BD＝eq \r(10)，则AB的长为 . eq \f(8\r(10),5) 8．如图，☉O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交☉O于点D，连接BD，BE. (1)求证：DB＝DE； (2)若AE＝3，DF＝4，求DB的长． (1)证明：∵点E是△ABC的内心， ∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE， 又∵∠CAD与∠CBD所对弧均为弧eq \o(CD,\s\up18(︵))， ∴∠CAD＝∠CBD＝∠BAD. ∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD， ∠DBE＝∠CBE＋∠CBD， ∴∠BED＝∠DBE，故DB＝DE. (2)解：由(1)知∠DBF＝∠BAD， 又∵∠D＝∠D，∴△ABD∽△BFD， ∴eq \f(BD,FD)＝eq \f(AD,BD)，设EF＝x，则eq \f(4＋x,4)＝eq \f(7＋x,4＋x)， 解得x1＝2，x2＝－6(不符合题意，舍去)， 则DB＝4＋x＝4＋2＝6. 9．如图①，△ABC的周长为l，内切圆⊙O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积． ∵S△ABC＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCA， S△OAB＝eq \f(1,2)AB·r， S△OBC＝eq \f(1,2)BC·r，S△OCA＝eq \f(1,2)CA·r， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·r＋eq \f(1,2)BC·r＋eq \f(1,2)CA·r＝eq \f(1,2)l·r. ∴r＝eq \f(2S△ABC,l)(可作为三角形内切圆半径公式) (1)【理解应用】利用公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半径； (2)【类比推理】若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图②)，且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式； (3)【拓展延伸】若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，…，an，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)． 解：(1)以5，12，13为边长的三角形为直角三角形，易得r＝eq \f(2×30,5＋12＋13)＝2. (2)连接OA，OB，OC，OD.设内接圆半径为r，则 S四边形ABCD＝S△OAB＋S△OBC＋S△OCD＋S△ODA ＝eq \f(1,2)a·r＋eq \f(1,2)b·r＋eq \f(1,2)c·r＋eq \f(1,2)d·r ＝eq \f(1,2)(a＋b＋c＋d)·r. ∴r＝eq \f(2S,a＋b＋c＋d). (3)猜想：r＝eq \f(2S,a1＋a2＋…＋an). $$