24．4　直线与圆的位置关系 第3课时　切线长定理 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

两 线段 长 相等 两条切线的夹角 B D C C 6 B A 219° 第3课时　切线长定理 要点感知 1．过圆外一点能够作圆的__两__条切线．切线上一点到切点之间的__线段长__叫做这点到圆的切线长． 2．切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长__相等__，圆心与这一点的连线平分__两条切线的夹角__． 典例导学 如图，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，以AB为直径的半圆切另一腰CD于点P，若AB＝12 cm，梯形面积为120 cm2，求CD的长． 【思路分析】连接OP，由切线长定理可知，CD＝BC＋AD，由AB＝12 cm，梯形的面积为120 cm2即可求出BC＋AD，从而求得CD. 【自主解答】 连接OP.∵以AB为直径的半圆切另一腰CD于点P，∴OP⊥CD. ∵直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∴∠B＝90°， 即AD，BC是半圆的切线， ∴DA＝DP，CB＝CP，∴CD＝BC＋AD. ∵AB＝12 cm，梯形面积为120 cm2， ∴eq \f(1,2)(BC＋AD)·AB＝120， 解得BC＋AD＝20 cm，∴CD＝20 cm. 【名师支招】切线长定理包括线段相等和角相等两个结论，解题时应有选择的应用，它是证明线段相等、角相等、弧相等以及垂直关系的重要依据． 知识点：切线长定理 1．(杭州中考)P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝3，则PB的长为 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝50°，则∠AOP的度数为 （ ） A．50° B．55° C．60° D．65° 3．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的度数是 （ ） A．65° B．70° C．75° D．80° 4．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是点P，C，D.若AB＝5，AC＝3，则BD的长是 （ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°. (1)PA的长为__6__； (2)求∠COD的度数． 解：(2)∵∠APB＝60°， ∴∠PCE＋∠PDE＝120°， ∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°. ∵CA，CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝eq \f(1,2)∠ACD，∠ODE＝eq \f(1,2)∠CDB， ∴∠OCE＋∠ODE＝eq \f(1,2)(∠ACD＋∠CDB)＝120°， ∴∠COD＝180°－120°＝60°. 6．(安徽模拟)如图，已知AB，AC是⊙O的切线，B，C为切点，OD∥AC交劣弧 eq \o(BC,\s\up18(︵)) 　于点D.∠A＝40°，则∠BOD的度数是 （ ） A．40° B．50° C．55° D.60° 7．(台州中考)如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC边上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则⊙O的半径为 (　　) A．2eq \r(3) B．3 C．4 D．4－eq \r(3) 8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C，D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝219°. 9．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°. (1)求∠APB的度数； (2)当OA＝3时，求AP的长． 解：(1)∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PA＝PB，OA⊥PA； ∵∠OAB＝30°， ∴∠BAP＝90°－30° ＝60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APB＝60°. (2)连接OP.∵PA，PB是⊙O的切线， ∴PO平分∠APB，即∠APO＝eq \f(1,2)∠APB＝30°， 又∵在Rt△OAP中，OA＝3，∠APO＝30°， ∴AP＝eq \f(OA,tan 30°)＝3eq \r(3). 10．如图，AC⊥BC于点C，BC＝4，AC＝3，⊙O与直线AB，AC，BC都相切，切点分别为E，D，F.求⊙O的半径． 解：连接OD，OF. ∵AC⊥BC，BC＝4，AC＝3，∴AB＝5. ∵AC，BF是⊙O的切线， ∴∠ODC＝∠OFC＝∠DCF＝90°，OD＝OF， ∴四边形ODCF为正方形，∴OD＝CD＝CF， 设CD＝CF＝x，则AD＝AE＝3－x， 由切线长定理得BF＝BE，∴5＋3－x＝4＋x， ∴x＝2，即⊙O的半径为2. 11．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以BC为直径作圆，再过A点作圆的切线，交DC于点E，切点为点F，求： (1)△ADE的面积； (2)BF的长． 解：(1)由题中条件可知 EC＝EF，AF＝AB＝4. 故设EC＝EF＝x， 则DE＝4－x. 在Rt△ADE中， 42＋(4－x)2＝(4＋x)2， 解得x＝1，则DE＝3. ∴S△ADE＝6 cm2. (2)连接OA交BF于点G，则OA⊥BF， ∴BF＝2BG. 在Rt△ABO中，AO＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5). 由面积法可知eq \f(1,2)BG·AO＝eq \f(1,2)AB·BO， 即2eq \r(5)BG＝8， ∴BG＝eq \f(4,5) eq \r(5)，∴BF＝eq \f(8,5) eq \r(5) cm. $$