24．4　直线与圆的位置关系 第2课时　切线的性质与判定 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

切点 垂直 B A D 34° D ∠ABC＝90°(答案不唯一) B A 相切 2 第2课时　切线的性质与判定 要点感知 1．圆的切线垂直于经过__切点__的半径． 2．经过半径外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线． 典例导学 如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为(　　　) A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1.5 cm 【自主解答】 【名师支招】已知条件中有圆的切线时，作连接圆心与切点的半径是常用辅助线，根据切线的性质，可得切线垂直于此半径，简称“见半径，连半径，得垂直”． 易错易混 【易错原因】错误理解题意，选择错误证法 如图，PO平分∠MPN，⊙O与PM相切于点A.求证：PN是⊙O的切线． 【自主解答】 连接OA，作OB⊥PN于点B，则∠OBP＝90°. ∵⊙O与PM相切于点A， ∴∠OAP＝90°.∴∠OAP＝∠OBP. 又∵∠OPA＝∠OPB，OP＝OP， ∴△AOP≌BOP(AAS)．∴OB＝OA. ∴PN是⊙O的切线． 知识点1：切线的性质 1．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝25°，则∠AOB的度数为 (　　) A．65° B．55° C．45° D．35° 2．直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为 ( 　) A．5 B．6 C．7 D．8 3．(合肥模拟)如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.如果∠C＝28°，那么∠A的度数为__34°. 知识点2：切线的判定 4．下列说法中正确的是 (　　) A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．经过半径外端的直线是圆的切线 C．经过切点的直线是圆的切线 D．圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线 5．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请添加一个条件，使BC是⊙O的切线，则添加的条件可以为__∠ABC＝90°(答案不唯一)__． 6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B＝60°. (1)求∠ADC的度数； (2)求证：AE是⊙O的切线． (1)解：∠ADC＝∠B＝60°. (2)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°，又∵∠B＝60°，∴∠BAC＝30°， ∵∠EAC＝60°，∴∠BAE＝90°，∴BA⊥AE， 又∵AB是⊙O的直径，∴AE是⊙O的切线． 7．(重庆中考)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC，若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为 （ ） A．30° B.40° C.50° D.60° 8.(温州中考)如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是 （ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 9．如图，△ABC中，∠A＝90°，作∠ABC的平分线交AC于点D，以D为圆心，DA为半径作圆，与射线BD交于点E，F. (1)⊙D与直线BC的位置关系为相切(选填“相离”“相切”或“相交”)； (2)若AB＝3，AC＝4，BC＝5，则tan∠CDF＝2 . 10．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA上的一点，过点D作CD⊥OA 交弦AB于点E，交⊙O于点F，连接BC，且CE＝CB.求证：BC是⊙O的切线． 证明：连接OB. ∵OB＝OA，CE＝CB， ∴∠OAB＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC. 又∵CD⊥OA， ∴∠OAB＋∠AED＝∠OAB＋∠CEB＝90°， ∴∠OBA＋∠ABC＝90°，即∠OBC＝90°， ∴OB⊥BC.又∵OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线． 11．(河南中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.求证：BD＝BF. 证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠BDA＝90°，∴BD⊥AC， ∠BDC＝90°， ∵BF切⊙O于点B，∴AB⊥BF， ∵CF∥AB，∴CF⊥BF， ∠FCB＝∠ABC，∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠FCB， ∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD＝BF. 12．(安徽中考)已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD. (1)如图①，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图②，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE.求证：CE⊥AB. (1)解：∵OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°， ∴OD＝eq \r(3)·OC＝eq \r(3)， ∴AD＝OD－OA＝eq \r(3)－1. (2)证明：∵DC与⊙O相切， ∴OC⊥CD， 即∠ACD＋∠OCA＝90°， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∵∠ACD＝∠ACE， ∴∠OAC＋∠ACE＝90°， ∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB. $$