24．3　圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

两边 一半 相等 相等 直角 直径 B D 60° D B D 61 90° 1 100° 24.3 圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论 要点感知 1．顶点在圆上，并且__两边__都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角． 2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一半__． 3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__相等__，相等的圆周角所对的弧也__相等__． 4．半圆或直径所对的圆周角是__直__；90°的圆周角所对的弦是__直径． 典例导学 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠ACB的平分线交⊙O于点D.若AB＝10，AC＝6，求BC，BD的长． 【自主解答】 ∵AB是直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6， ∴BC＝eq \r(AB2－AC2)＝8，即BC＝8. ∵∠ACB的平分线交⊙O于点D， ∴∠DCA＝∠BCD，∴eq \o(AD,\s\up18(︵))＝eq \o(BD,\s\up18(︵))，∴AD＝BD， ∴在Rt△ABD中，AD＝BD＝eq \f(\r(2),2)AB＝5eq \r(2)，即BD＝5eq \r(2). 【名师支招】涉及直径时，通常利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 知识点1：圆周角与圆周角定理 1．下列图形中的角是圆周角的是 (　　) 2．如图，A，B，C三点在⊙O上，且∠AOB＝80°，则∠ACB的度数为(　　) A．100° B．80° C．50° D．40° 3．(重庆中考)如图，△ABC的顶点A，B，C均在⊙O上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC的度数为__60°__. 知识点2：圆周角定理的推论 4．如图，图中与∠A相等的角是 (　　) A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 5．(广东中考)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝50°，则∠D的度数为（ ） A．20° B．40° C.50° D.80° 6．如图，已知四边形ABCD的四个顶点均在⊙O上，AB＝BC，BD交AC于点E.求证：DB平分∠ADC. 证明：∵AB＝BC， ∴eq \o(AB,\s\up18(︵))＝eq \o(BC,\s\up18(︵))， ∴∠BDA＝∠BDC， ∴DB平分∠ADC. 7．(梧州中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是 (　　) A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD 8．(核心素养·创新意识)如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D 对应的刻度是58°，则∠ACD＝__61__度． 9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，eq \o(BC,\s\up18(︵))＝eq \o(BD,\s\up18(︵)). (1)∠AEC＝90°； (2)若∠CDB＝30°，AC＝2eq \r(3)，则OE＝1 . 10．如图，⊙O的弦AB，CD的延长线相交于点P，且AB＝CD.求证：PA＝PC. 证明：连接AC， ∵AB＝CD，∴eq \o(AB,\s\up18(︵))＝eq \o(CD,\s\up18(︵))， ∴eq \o(AB,\s\up18(︵))＋eq \o(BD,\s\up18(︵))＝eq \o(BD,\s\up18(︵))＋eq \o(CD,\s\up18(︵))， 即eq \o(AD,\s\up18(︵))＝eq \o(CB,\s\up18(︵))，∴∠C＝∠A， ∴PA＝PC. 11．(衡阳中考)如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是 eq \o(AC,\s\up8(︵)) 的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G. (1)求证：AF＝DF； (2)若AF＝eq \f(5,2)，sin∠ABD＝eq \f(\r(5),5)，求⊙O的半径． (1)证明：∵D是eq \o(AC,\s\up18(︵)) 的中点，∴eq \o(AD,\s\up18(︵))＝eq \o(CD,\s\up18(︵))， ∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，∴eq \o(AD,\s\up18(︵)) ＝eq \o(AH,\s\up18(︵))， ∴eq \o(CD,\s\up18(︵))＝eq \o(AH,\s\up18(︵))， ∴∠ADH＝∠CAD，∴AF＝DF. (2)解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB＋∠B＝90°， ∵∠DAE＋∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠B，∴sin∠ADE＝eq \f(\r(5),5)， ∴tan∠ADE＝eq \f(1,2)，设AE＝x，则DE＝2x， ∵DF＝AF＝eq \f(5,2)，∴EF＝2x－eq \f(5,2)， ∵AE2＋EF2＝AF2，∴x＝2， ∴AD＝eq \f(AE,sin∠ADE)＝2eq \r(5)，∴AB＝eq \f(AD,sin∠ABD)＝10， ∴⊙O的半径为5. 微专题4　教材P31T6的变式与拓展 【方法指导】 条件：AB为⊙O的直径， CD平分∠ACB. 结论：∠DAB＝∠DBA＝45°. AD＝BD＝eq \f(\r(2),2)AB， AC＋BC＝eq \r(2)CD. 【针对训练】 1．在上图中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD平分∠ACB，则AD＝5 ，BD＝5 ，CD＝7 . 2．在上图中，∠ACB≠90°，CD平分∠ACB，∠ABD＝40°，则∠ADB＝100°. 5eq \r(2) 5eq \r(2) 7eq \r(2) $$