8.4.2 机械能守恒定律的应用 课件 -2022-2023学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

第八章 机械能守恒定律 8.4.2 机械能守恒定律的应用 人教版（2019） 授课人： 2022-2023学年高中物理同步备课必修第二册 1 目录 contents 机械能守恒的判断 01 02 单个物体+直线 03 单个物体+曲线 04 连接体+轻绳 2 1.内容： 在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能和势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 2.适用对象：单个质点、多个物体组成的系统 ★强调：“守恒”的含义——变中之不变。不单是初、末两个状态的机械能相等，而是指系统的机械能在某一过程中的任一时刻都相等！机械能“守恒” 一定有机械能“不变” ，但是机械能“不变” 不一定“守恒” 。 知识回顾 （1）EK2+EP2=EK1+EP1 即E2=E1 3、表达式： 守恒观点 （必须先选0势能面） 转化观点 转移观点 （2）ΔEk=-ΔEp 或 ΔEk增＝ΔEp减 （3）ΔEA=-ΔEB 或 ΔEA增＝ΔEB减 意义：初末状态机械能相等 意义：系统势能的减小量（增加量）等于动能的增加量（减小量） 意义：系统只有A、B两物体（部分）时，A增加（减少）的机械能等于B减少（增加）的机械能。 （4）ΔE=0 意义：系统机械能变化量为0 1.确定研究对象（物体或系统）和研究过程； 2.对研究对象进行正确的受力分析； 3.判定各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件（是否只有重力或弹簧弹力做功）； 4.视解题方便选取零势能参考平面(恰当选取参考平面)，并确定研究对象在始、末状态时的机械能； 5.根据机械能守恒定律列出方程，或再辅之以其他方程，进行求解。 应用机械能守恒定律解题的一般步骤 对比项目 机械能守恒定律 动能定理 不同点 需要判断是否满足守恒条件，需要确定零势能面 不需要选参考面，一般不考虑适用条件 相同点 只需考虑初、末状态，不用考虑中间过程 应用范围 能用机械能守恒定律解决的问题一般都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决 结论 动能定理比机械能守恒定律应用更广泛，更普遍 对比分析动能定理和机械能守恒定律的应用特点 规律总结 动能定理与机械能守恒定律的区别 1、能用机械能守恒定律的，都能用动能定理；能用动能定理的，不一定能用机械能守恒定律，因为有的不符合守恒条件。 2、机械能守恒定律只涉及能量，不涉及功，功隐含于能量的转化中；动能定理只涉及功和动能，其他能量隐含于功中。 3、他们都是能量守恒的不同表现。 导入新课 机械能守恒应用 守恒条件 题型+方法 单个物体 直线+曲线 多个物体 轻绳 轻杆 轻弹簧 机械能守恒的判断 01 9 (1)用做功来分析：分析物体或物体系统的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则物体或物体系统的机械能守恒。 (2)用能量转化来分析：若物体系统中只有动能和势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒．（动能与势能变化量的绝对值相等） (3)用增减情况分析：若物体系统的动能与势能均增加，则系统机械能不守恒；若系统的动能不变，而势能发生了变化，或系统的势能不变，而动能发生了变化，则系统机械能不守恒。（利用机械能的定义分析动能和势能的和是否变化 ） 常用方法： 【典例】如图，倾角为θ的光滑斜面体C固定于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物体A相连接，释放后，A将向下运动，则在A碰地前的运动过程中(　　) A．A的加速度大小为g B．物体A机械能守恒 C．由于斜面光滑，所以物块B的机械能守恒 D．A、B组成的系统机械能守恒 D 【解析】小物体A向下运动的过程中除受到重力以外，还受到细绳向上的拉力，物体A下落的加速度一定小于g，故A错误；物体A下落过程中，细绳的拉力做负功，A的机械能不守恒，故B错误；由于斜面光滑，A、B组成的系统在整个运动过程中， 只有重力做功，系统机械能守恒，但细绳拉力 对B做正功，B的机械能增加，故C错误，D正确。 【正确答案】D 【典例】(多选) 如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　) A.斜劈对小球的弹力不做功 B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒 C.斜劈的机械能守恒 D.小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量 BD 【解析】小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功，故A选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故C选项错误.不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能 相互转化，系统机械能守恒，故B、D正确。 【正确答案】BD 【典例】如图，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，小球从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　) A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功 B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态 C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中， 小球与槽组成的系统机械能守恒 D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒 C 【解析】小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽有向左运动的趋势，但实际上没有动，整个系统中只有重力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒；小球过了半圆形槽的最低点以后，半圆形槽向右运动。系统没有其他形式的能量产生，满足机械能守恒的条件，所以系统的机械能守恒；小球从A点至到达槽最低点过程中，小球先失重，后超重；小球由最低点向右侧最高点运动的过程中，半圆形槽也向右移动，半 圆形槽对小球做负功，小球的机械能不守恒，故选项C正确。 【正确答案】C 单个物体+直线 02 17 【典例】(多选)如图，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为 g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体（ ） CD 【解析】这个过程中物体上升的高度为h，则重力势能增加了mgh，故A错误； 【正确答案】CD 【典例】如图，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，L<BC，∠BCE＝α，斜面上链条长为x(x>x0)时，链条的速度大小为 。 (用x0、x、L、g、α表示) 图7 【解析】链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以AB面为零势能面，则 单个物体+曲线 03 21 解题方法： 一般选取物体运动的最低点作为重力势能的零势参考点，把物体运动开始时的机械能和物体运动结束时的机械能分别写出来，并使之相等。 注意点：在固定的光滑圆弧类和悬点定的摆动类两种题目中，常和向心力的公式结合使用。这在计算中是要特别注意的。 解:A→B,机械能守恒，以地面为参考平面， 【例题】如图，物体从A点沿固定在地面的半圆形碗内下滑，碗半径为R，碗内面光滑，物体滑到B点时的速度是多少？(BO与水平方向成30o夹角) B 30o O A→B,动能定理 【例题】如图所示，质量为m的物体以某一初速v0从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过最低点B的速度为 ，求： (1)物体在A点时的速度； (2)物体离开C点后还能上升多高． A→B，机械能守恒 B→最高点，机械能守恒 解：以B点所在平面为参考平面 【典例】如图，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R， 重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中（ ） A.重力做功 2mgR B.机械能减少 mgR C.合外力做功mgR D.克服摩擦力做功 mgR 图4 D 【解析】从P到B的过程中，小球下降的高度为R，WG＝mgR，选项A错误； 【正确答案】D 【典例】如图，带有底座的光滑竖直圆形轨道半径为R，置于粗糙水平地面上。一质量为m的小球在圆形轨道最低点A以水平初速度v0向右运动，小球在圆形轨道内部做完整的圆周运动，圆形轨道始终没有移动。设重加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．当小球运动与圆心等高处的C点时，装置对地面的摩擦力方向向左 B．小球对轨道的最大压力与最小压力之差为6mg C．底座对地面的最大摩擦力与最小摩擦力之差为3mg D．小球的最大速度与最小速度之差为 B 【正确答案】B 系统的机械能守恒 由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，要看两个方面: （1）系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统的机械能就减少。不做功，系统的机械能就不变。 （2）系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能。 系统间的相互作用力分为三类： 刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等 弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。 其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。 在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。 连接体+轻绳 03 35 1.常见模型 3．重点点拨 (1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 (3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 2．模型分析 这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。 【例题】如图所示，一轻绳跨过定滑轮悬挂质量为mA、mB的A、B两物块，滑轮的质量以及所有摩擦不计，已知mB>mA初始时两物块均静止，在两物块运动过程中，下列说法中正确的是（ ） A、B减少的重力势能等于A增加的重力势能 B、B的机械能守恒 C、系统的机械能守恒，但两物体各自的机械能都在变化 D、B机械能的减少等于A机械能的增加 D、既然系统的机械能守恒，所以B机械能的减少等于A机械能的增加 mAg F mBg F CD A、由于运动的高度相同，而质量不同，据EP=mgh,B减少的重力势能大于A增加的重力势能 B、B下降时拉力做负功，B的机械能守恒在减少 C、AB组成的系统与外界无能量交换，所以系统的机械能守恒；A的动能势能都在增加，机械能增加，所以两物体各自的机械能都在变化 【例题】如图所示，物体A和B系在跨过定滑轮的细绳两端，物体A的质量mA＝1.5 kg，物体B的质量mB＝1 kg.开始时把A托起来，使B刚好与地面接触，此时物体A离地面高度为h＝1 m，放手让A从静止开始下落，g取10 m/s2，求： (1)当A着地时，A的速度多大？ (2)物体A落地后，B还能上升多高？ (2)A落地后，B以2 m/s的初速度竖直向上运动，它还能上升的最大高度为H，由机械能守恒得 mBgH＝mBv2/2 解得H＝0.2 m． 【例题】如图，倾角为的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度？ 解：在能量转化中，m的重力势能减小，动能增加，M的重力势能和动能都增加，机械能的减少量等于增加量 可得 需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关系来确定两个物体的速度关系 【例题】一固定的三角形木块，其斜面的倾角θ=30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮。一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦。设当A沿斜面下滑S距离后，细线突然断了。求物块B上升的最大高度H。 30º A B S S v h v 解：该题A、B组成的系统只有它们的重力做功，故系统机械能守恒。 设物块A沿斜面下滑S距离时的速度为v，则有： ４mgs•sinθ－mgs = （４m+m）v2 1 2 ( 势能的减少量 = 动能的增加量 ) 细线突然断的瞬间，物块B垂直上升的初速度为v，此后B作竖直上抛运动。设继续上升的高度为h， 由机械能守恒得 mgh = mv2 1 2 物块B上升的最大高度: H=h+S 三式连立解得 H=1.2S 【例题】如图所示，光滑半圆（半径为R)上有两个小球，所量分别为m和M，（M﹥m）由细线挂着，今由静止开始释放，求： （1）小球m至最高C点时的速度。 （2）该过程中绳的张力对B物体做的功。 解：（1）从开始→最高点，系统机械能守恒 （2）从开始→最高点，对m应用动能定理 【典例9】(多选)如图所示，NPQ是由光滑细杆弯成的半圆弧，其半径为R，半圆弧的一端固定在天花板上的N点，NQ是半圆弧的直径，处于竖直方向，P点是半圆弧上与圆心等高的点。质量为m的小球A(可视为质点)穿在细杆上，通过轻绳与质量也为m的小球B相连，轻绳绕过轻小定滑轮C。将小球A移到P点，此时CP段轻绳处于水平伸直状态，CP＝2R，然后将小球A由静止释放。若不计一切摩擦，当小球A由P点运动到圆弧最低点Q的过程中，下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　) 【正确答案】ACD 【典例10】（2021·江苏省天一中学高一期中）如图所示，固定斜面的倾角为，斜面与水平台面间有一定滑轮，质量分别为、m的两滑块P、Q，通过不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮连接，轻绳一部分与水平台面平行，另一部分与斜面平行，已知滑块Q与水平台面间的动摩擦因数为0.3，其它摩擦不计，重力加速度为g，取 。在两滑块由静止释放后的运动过程中（　　） A．两滑块的加速度大小为 0.3g B．轻绳对Q做的功等于Q动能的增加量 C．Q机械能的增加量小于P机械能的减少量 D．P机械能的减少量等于系统摩擦产生的热量 【典例11】（2021·渝中区·重庆巴蜀中学高三月考）如图所示，将质量为3m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，杆足够长，下列说法正确的是（　　） A．环到达B处时，重物上升的高度 B．环到达B处时，环与重物的速度大小相等 C．环从A到B，环减少的机械能大于重物增加的机械能 D．环能下降的最大高度为 【典例12】如图，光滑管状轨道ABC由直轨道AB和圆弧形轨道BC组成，二者在B处相切并平滑连接，O为圆心，O、A在同一条水平线上，OC竖直，一直径略小于圆管直径的质量为m的小球，用细线穿过管道与质量为M的物块连接，物块距离地面足够高，将小球由A点静止释放，当小球运动到B处时细线断裂，小球继续运动.已知弧形轨道的半径为R＝ m，所对应的圆心角为53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g＝10 m/s2. (1)若M＝5m，求小球运动到B处时的速度大小； 图3 (2)若M＝5m，求小球从C点抛出后下落高度h＝ m时 到C点的水平位移； (3)M、m满足什么关系时，小球能够运动到C点？ 【解析】（1）小球从A到B：M、m系统机械能守恒 小球离开C后做平抛运动，x＝vCt 线断后，小球从B到C，vC≥0 （3）小球从A到B,M、m组成的系统机械能守恒 连接体+轻杆 04 55 1．常见模型 2．重点点拨 (1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 （3）模型特点 这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。 【典例13】 如图，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动.已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放.(重力加速度为g) (1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？ (2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？ 图8 分析：由轻杆和两个小球所构成的系统受到外界三个力的作用，即A球受到的重力、B球受到的重力、轴对杆的作用力。 两球受到的重力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作用力由于作用点没有位移而对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，弹力对A球做负功，对B球做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。 图8 【解析】（1）小球A和B及杆组成的系统机械能守恒 vA＝2lω，vB＝lω 【例题】如图所示，长为2L的轻杆OB，O端装有转轴，B端固定一个质量为m的小球B，OB中点A固定一个质量为m的小球A，若OB杆从水平位置静止开始释放转到竖直位置的过程中，求 （1）A、B球摆到最低点的速度大小各是多少？ （2）轻杆对A、B球各做功多少？ （3）轻杆对A、B球所做的总功为多少？ （1）求A、B球摆到最低点的速度大小？ A、B系统机械能守恒 （2）求轻杆对A、B球各做功多少？ 动能定理 对A球： 对B球： 分别以A、B两球为研究对象，机械能守恒吗？ （3）求轻杆对A、B球所做的总功为多少？ A、B系统机械能守恒 【典例14】（2021·江苏南京市·高一月考）如图所示，长为2L的轻质杆一端用铰链固定于O点，杆的中点固定有质量为m的小球A，杆的另一端固定有质量为2m的小球B。现将杆从水平位置由静止释放，不计杆、球系统在竖直平面内转动过程中所受的摩擦，重力加速度为g，求： （1）刚释放杆时，B球的加速度大小a； （2）由水平位置转过90°时，杆转动的角速度ω； （3）杆转至竖直位置时，杆对铰链的作用力F。 【典例15】（2020·山西大同市·高三月考）如图所示，左侧固定竖直的半径为R的光滑半圆环，最高点和最低点与圆心在同一竖直线上。右侧与圆心O等高处固定一光滑水平直杆，直杆左端与圆心重合且与半圆环在同一平面内。质量均为m的两个小球A(a)、B(b)分别套在半圆环和直杆上，两球之间用长L= R的轻杆通过铰链连接。现在从圆环的最高处给A球一个向左的轻微扰动，使A球沿圆环下滑，下滑过程中轻杆不会与水平杆相碰，不计一切摩擦，小球A、B均可看作质点，重力加速度为g。求∶ (1)小球A滑到与圆心等高处时向心力的大小； (2)如图，小球A从开始下滑至O点下方，且轻杆与 水平杆的夹角=30°的过程中，轻杆对小球B做的功。 连接体+轻弹簧 05 68 与弹簧相关的机械能守恒问题 1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 3．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。 【例题】如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上.其正上方A位置有一只小球.小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零.对于小球下降阶段，下列说法中正确的是(不计空气阻力) (　　 ) A.在B位置小球动能最大 B.在C位置小球动能最大 C.从A→C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加 D.整个过程中小球和弹簧组成的系统机械能守恒 BD 【解析】小球从B运动至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速，从C运动到D，重力小于弹力，合力向上，小球减速，故在C点动能最大，故A错误，B正确.小球下降过程中，只有重力和弹簧弹力做功，小球和弹簧系统机械能守恒，D正确；从A→C位置小球重力势能的减少量等于动能增加量和弹性势能增加量之和，故C错误. 【典例16】（2021·全国高三月考）如图所示，一倾角为30°的斜面固定在水平地面上，一质量为M的物块A放在斜面上恰好不下滑。将一不可伸长的轻绳一端连接A，另一端跨过光滑定滑轮后与一轻弹簧相连，轻弹簧下端栓接质量为m的重物B。开始时弹簧恰处于原长，将B由静止释放，当B下降到最低点时（未着地），A恰好不上滑。下列说法不正确的是（　　） A．M=2m B．B下落一半距离时有最大速度 C．B下落过程中A、B系统机械能守恒 D．在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量 【典例17】水平面上固定一个倾角θ＝30°的光滑斜面，斜面底端挡板与斜面垂直，两块可视为质点的物块a和物块b，质量分别为m和2m，它们之间用劲度系数为k的轻弹簧拴接，开始时施加外力使得物块a和b间的弹簧处于原长置于斜面上，此时物块a离斜面底端挡板的距离为L。现撤去外力，让两物块自由滑下，当物块a接触挡板时，速度瞬间变为零，此后物块b运动到最高点时，物块a恰好不离开挡板，不计任何阻力，重力加速度为g。则从两物块自由下滑到物块b第一次回到最高点这一过程，下列说法正确的是(　　) 【解析】从斜面下滑时，两物块的加速度相同，弹簧处于原长状态，物块b的机械能守恒，当物块a接触挡板后，弹簧先对物块b做负功，速度减为零后，弹簧对物块b再做正功至弹簧反向恢复原长，而后物块b再向上运动，弹簧的弹性势能增加，因此两物块自由下滑到物块b第一次回到最高点这一运动过程中，物块b的机械能不守恒，A错误；对两物块和弹簧组成的系统，由于物块a接触挡板后速度瞬间变为零，有机械能损失，所以这一运动过程中，两物块和弹簧组成的系统机械能 不守恒，B错误；物块b运动到最高点时， 物块a恰好不离开挡板， 【正确答案】D 【典例18】（2021·重庆北碚区·西南大学附中高一月考）如图所示，A、B两物体通过劲度系数k=50N/m的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过细线绕过轻质定滑轮相连用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证弹簧、细线ab段和cd段均竖直。已知A、B的质量均为m=0.5kg，重力加速度g=10m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后，C竖直向下运动，A刚要离开地面时，B获得最大速度vB，当时C未落地。求： （1）C的质量mC； （2）B的最大速度vB； （3）从释放C到B获得最大速度的过程中，绳子拉力对C所做的功。 1.多个物体组成的系统，单个物体机械能一般不守恒，系统机械能往往是守恒的； 2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系； 3.机械能守恒定律表达式的选取技巧 (1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2 或ΔEk＝－ΔEp (2)当研究对象为两个物体组成的系统时： ①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑 应用表达式ΔEk＝－ΔEp ②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB 总结一：多物体组成的系统机械能守恒 比较内容 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1=E2 ΔEk=-ΔEp ΔEA=-ΔEB W=ΔEk 应用范围 只有重力和弹力做功时 无条件限制 物理意义 其他力(重力、 弹力以外)所做 的功是机械能变化的量度 合外力对物体做的功是 动能变化的量度 关注角度 守恒的条件和始末状态机械能 的形式及大小 动能的变化及改变动能的 方式(合外力做功情况) 总结二：动能定理与机械能守恒定律的比较 说明：应用动能定理不需要满足什么条件，功能关系问题时优先考虑动能定理。 绳子链条类 06 80 【例题】长为L质量分布均匀的绳子，对称地悬挂在轻小的定滑轮上，如图所示，轻轻地推动一下，让绳子滑下，那么当绳子离开滑轮的瞬间，绳子的速度？ 解（法一）：由机械能守恒定律得：取初态时绳子最下端为零势能参考面: v = mg · mv 2 1 2 L 4 L 4 （绳子初态的机械能=绳子末态时的机械能） ∴v = 解（法二）：由机械能守恒定律得： v L 2 （绳子减少的势能=绳子增加的动能） = · mg · mv 2 1 2 L 2 1 2 ∴v = 解:铁链下滑过程中只有重力做功，机械能守恒.选取桌面处为零势能面,设铁链总质量为m,链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v,则 由机械能守恒定律 EK2+EP2=EK1+EP1 得 初态： 末态： 【例题】长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的1/4垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度为多大？ 对于绳索、链条之类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置对物体来说，不是固定不变的，能否确定其重心的位置则是解决这类问题的关键，顺便指出的是均匀质量分布的规则物体常以重心位置来确定物体的重力势能。此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小，可视作对折来求重心，也可分段考虑出各部分的重力势能后求出代数和作为总的重力势能。至于零势能参考面可以任意选取，但以系统初末状态重力势能便于表示为宜。 知识点拨 A.重力势能增加了mgh B.克服摩擦力做功mgh C.动能损失了mgh D.机械能损失了mgh 机械能的损失量为ΔE＝Ffx＝mg·2h＝mgh，故D正确. 加速度a＝g＝，摩擦力Ff＝mg，物体在斜面上能够上升的最大高度为h，发生的位移为2h，则克服摩擦力做功Wf＝Ff·2h＝mg·2h＝，B错误； 由动能定理可知，动能损失量为ΔEk＝F合·2h＝m·g·2h＝mgh，故C正确； －x0g·x0sin α＝mv2－xg·xsin α 解得v＝ 小球到达B点时恰好对轨道没有压力，则有mg＝m，设摩擦力对小球做的功为Wf，从P到B的过程，由动能定理可得mgR＋Wf＝mvB2，联立以上两式解得：Wf＝－mgR，即克服摩擦力做功mgR，机械能减少mgR，故B错误，D正确； 根据动能定理知：W合＝mvB2＝mgR，故C错误. 【解析】A．当小球运动与圆心等高处的C点时，装置对小球的支持力向左提供向心力，根据牛顿第三定律，小球对装置的力向右；装置静止，根据受力平衡，地面对装置的力水平向左，再根据牛顿第三定律，装置对地面的摩擦力方向向右，A错误；B．小球在最低点时 解得 设最高点速度为 ，从最低点到最高点，根据机械能守恒定律 解得 在最高点 解得 小球对轨道的最大压力与最小压力之差为 ，B正确； C．底座对地面的最大摩擦力与最小摩擦力为0，最大摩擦力出现在小球与轨道圆心等高时，由于小球速度的具体数值未知，所以最大摩擦力未知，C错误； D．最低点时小球速度最大，最高点时小球速度最小，设最高点速度为 ，从最低点到最高点，根据机械能守恒定律 解得 小球的最大速度与最小速度之差 ，D错误。故选B。 【典例】随着人们生活水平的提高，冬季滑雪成为人们休闲娱乐的一项主要运动，某滑雪场的冲关滑道如图所示，粗糙的直轨道AB与半径为 的光滑圆弧轨道BCD在B处中滑连接，O为圆弧轨道BCD的圆心，C点为圆弧轨道的最低点，半径OB、OD与OC的夹角分别为37°和53°，距D点的竖直高度为米处有一空中平台。小明质量为30kg，从直轨道AB上距B点5m的位置以一定的初速度下滑，经圆弧轨道从D点冲出，刚好沿空中平台的边缘水平滑上平台冲关成功，已知小明与直轨道AB间的动摩擦因数 。（重力加速度 ， ， ， ， ）求： (1)小明滑上空中平台时的速度大小； (2)小明滑到C点时对轨道的压力大小； (3)小明开始下滑时的速度大小 【解析】(1)小明经圆弧轨道从D点冲出，刚好沿空中平台的边缘水平滑上平台冲关成功，则逆过程从平台到D点是平抛运动，到D点时竖直方向的分速度，由 解得 则在D点时水平方向的速度为 因此小明滑上平台的速度为 从C点到平台边缘的过程，由机械能守恒定律 解得 经过C点时，由向心力公式得 解得 由牛顿第三定律知，小明对轨道的压力大小为 (3)从开始运动到C点的过程，由动能定理得 解得 A．小球A刚释放时，小球A、B的加速度大小分别为aA＝g、aB＝0 B．小球A的动能可能先增大后减小 C．小球A始终比小球B运动得快(释放点P除外) D．当小球A绕滑轮转过30°时，小球A的动能为eq \f(8－2\r(3),5)mgR 【解析】刚释放小球A时，小球A的加速度aA＝g，小球B的加速度aB＝0，A项正确；下滑过程中，小球A所受的合力与速度成锐角，故小球A的动能一直增大，B项错误；根据运动的合成与分解可知，小球A沿绳方向的分速度与小球B的速度大小相等，故在下滑过程中，小球A的速度始终比小球B的速度大，C项正确；当小球A绕滑轮转过30°时，vAcos 60°＝vB，由几何关系可知hB＝2R－eq \r(3)R，hA＝Rsin 60°，由于小球A、B组成的系统机械能守恒，有mghA＋mghB＝eq \f(1,2)mveq \o\al(2,A)＋eq \f(1,2)mveq \o\al(2,B)，解得eq \f(1,2)mveq \o\al(2,A)＝eq \f(8－2\r(3),5)mgR，D项正确。 【解析】A．由于轻绳不可伸长，两滑块的加速度大小相等，整体由牛顿第二定律可得 解得 ，A正确； B．轻绳对Q做的功与摩擦力对Q做的功之和等于Q动能的增加量，B错误； C．由于摩擦力做负功使系统机械能减小，故Q机械能的增加量小于P机械能的减少量，C正确；D．P机械能的减少量等于系统摩擦产生的热量与Q机械能的增加量之和，D错误。 故选AC。 【解析】A．根据几何关系，环从A下滑至B点时，下降的高度为d，则重物上升的高度 ，故A错误。B．环到达B处时，对环的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有 ，得 ，故B错误。C．环下滑过程中无摩擦力对系统做功，故系统机械能守恒，即满足环减小的机械能等于重物增加的机械能，故C错误。 环下滑到最大高度为h时环和重物的速度均为0，此时 重物上升的最大高度为 ，根据机械能守恒 ，得 ，故D正确。 【答案】（1）2 m/s （2） m（3）M≥m （2）小球从B到C，根据机械能守恒，有mv2＝mvC2＋mgR(1－cos 53°) h＝gt2 解得x＝ m； (M＋m)v2＝MgxAB－mgxABsin 53° 在Rt△OAB中，得xAB＝，解得v＝2 m/s； mvC2－mvB2＝－mgR(1－cos 53°) 联立解得M ≥ m (M＋m)vB2＝MgxAB－mgxABsin 53° 【答案】vB＝，vA＝（2）W＝－mgl 联立解得vB＝，vA＝ （2）对A球，由动能定理得mg·2l＋W＝mvA2 联立解得W＝－mgl 设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω，有mg·2l－mgl＝mvA2＋mvB2 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】（1）刚释放杆时，B球的速度为0，而B球所受的重力竖直向下，据向心力公式分析可知，杆对B球无力作用，对B球在杆刚释放时有 解得 （2）对A、B两球系统，在杆转过90°的过程中有 解得 当杆转至竖直位置时对A： 对B： 杆对铰链的作用力 解得 【解析】(1)小球A滑到与圆心等高处时，在水平方向的分速度为0，由动能定理得 解得 则向心力大小为 小球A从开始下滑至O点下方时，设A球速度为 ，B球 的速度为 ，由关联速度得 ， 对系统动能定理得 ， 又对B动能定理得 联立解得 【答案】(1) ；(2) 【解析】A．A恰好不下滑时有 ，当B下落到最低点时，弹簧弹力F=2mg 而A恰好不上滑，则对A有 ，所以M=2m，所以A正确； B．B下落一半距离时F=mg，合力为0，有最大速度，所以B正确； C．由能量守恒可知，B与弹簧系统机械能守恒，所以C错误； D在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧 弹力做的功等于B机械能的减少量，所以D正确。故选C。 A．这一运动过程中，物块b的机械能守恒 B．这一运动过程中，两物块和弹簧组成的系统机械能守恒 C．物块b运动到最高点时，弹簧形变量大小为eq \f(mg,k) D．物块b运动到最高点时，弹簧的弹性势能为mgL－eq \f(m2g2,2k) 对物块a分析得mgsin θ＝kx，得x＝eq \f(mg,2k)，C错误；当物块a接触挡板时，速度瞬间变为零，物块b先向下加速又减速到零，再反向加速，最后再减速为零到最高点，这一过程物块b与弹簧组成的系统机械能守恒，有2mg(L－x)sin θ＝EP，解得EP＝mgL－eq \f(m2g2,2k)，D项正确。故选D项。 【答案】（1）1kg；（2） ；（3） 【解析】（1）物体A刚离开地面时，物体B获得最大速度vm，加速度为0， 对B有T-mg-kxA=0，对C有mCg-T=0，对A有kxA-mg=0，解得：mC=2m=1kg （2）开始时系统静止，且线上无拉力，此时弹簧的压缩量为x1，对B根据平衡条件可得kx1=mg，由上问知 则从释放至A刚要离开地面过程中，弹性势能变化量为零；此过程中A、B、C组成的系统机械能守恒，系统重力势能的减少量等于动能的增加量，即 ，联立方程，解得 （3）对C由动能定理，可得 ，联立方程，解得 $$