4.2.2等差数列的前n项和性质及应用（第二课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和的 性质及应用(第2课时) 人教A版(2019) 选择性必修第二册 ■■■ ①推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”. ②方程(组)思想的应用，“知三求一”,“知三求二” . 等差数列前n 项和可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0) 或一次函数(d=0). 等差数列前n项和公式? 提示： 新知导入 设等差数列{an}的前n项和为Sn, 则 1.数列{an}是等差数列→Sn=pn²+qn(p、q 为常数)→数列 是等差数列. 2.等差数列的依次k 项之和，Sk,S₂ k-Sk,S₃k-S₂k,. ..组成公差为k²d的等差数列. 3.若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d, ①当项数为偶数2n时 ，S偶-S奇=nd ②当项数为偶数2n-1时 ，S 奇 - 偶 =an, S₂n-1=(2n-1)an 拓展 等差数列前n项和的常用性质 新知讲解 例8某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位， 从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位. 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn. 由题意可知，{an}是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数 列的前n项和公式求首项. 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数 列{an}, 其 前n项和为Sn · 根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S₂0=800. a₁=21. 因此，第1排应安排21个座位。 合作探究 例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a₁=10, 公 差d=-2, 则Sn是否存在 最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 分析：由a₁ >0 和d<0, 可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k, 使得当n≥k 时 ，an<0,Sn 递减.这样，就把求Sn的最大值转化为 求{an}的所有正数项的和. 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成 所以当d≠0 时 ，Sn 可以看成是二次函数 ∈ R) 当x=n 时的函数值 如图4.2-4,当d<0 时 ，Sn 关于n的图象是一条开口向下的抛 物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求出相应的n,Sn的值， 合作探究 图4 . 2 - 4 例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a₁=10, 公差d=-2, 则Sn是否存在 最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 解法1: 由an+1一an=-2<0 ,得an+1<an, 所以{an}是递减数列. 又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12, 可 知 ： 当n<6 时 ，an>0; 当n=6 时 ，an=0; 当n>6 时 ，an<0; 所以 S₁ <S₂ <…<S₅=S₆ >S₇ >…. 也就是说，当n=5 或6时，Sn最大. 所以Sn的最大值为30. 合作探究 例9 已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a₁=10, 公差d=-2, 则Sn是否存在 最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由. 解法2: 所以，当n取与 最接近的正数即5或6时，S,最大，最大值为30. 合作探究 思考 在例9中，当d=-3.5 时 ，Sn 有最大值吗?结合例9考虑更一般的等差数列 前n 项和的最大值问题 提示： 结合Sn对应的二次函数知，Sn 有最大值，当n=3 时 ，Sn取到最大值. 合作探究 将Sn配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意n∈N* 当d>0 时 ，Sn有最小值；当d<0 时 ，Sn有最大值； 且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值 (2)图象法： 利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使Sn取得最值. ( 3 ) 邻 项 变 号 法 ： 当a₁>0,d<0 时，满 的项数n使Sn取得最大值 当a₁ <0,d>0 时，满足 的项数n使Sn取得最小值. 拓 展 等差数列前n项和Sn的最值 (1)二次函数法： 求第21项到第30项的和 解法1: 设等差数列{an}的首项为a₁ , 公差为d, 得 1(例题改编) 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220 S₁0=310,S₂0-S₁0=910. 所以 所以 a₂1=4+20×6=124, 于是 所以第21项到第30项的和为1510. 课堂练习 解方程组，得 已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220 求第21项到第30项的和 解法2: 数列S₁0,S₂0-S₁0,S₃0- S₂0构成等差数列 即310,910 ,S ₃0-S₂0 成等差数列 所以 2×910=310+(S₃0-S20) 所以S₃0-S₂0=1510 课堂练习 2在等差数列{an}中 ，a₁+a₂+a₃=18,a₁8+a₁9+a₂o=78, 则此数列前20项的和等于多少? 解：等差数列{an}中 ， ∵a₁+a₂+a₃=18,a₁8 +a₁9 +a₂0=78, ∴a₁+a₂+a₃+a₁8+a₁9+a₂0=3(a₁+a₂0)=18+78=96 ∴a₁+a₂0=32, ∴此数列前20项的和 所以，此数列前20项的和等于320. 课堂练习 3已知数列{an},{bn} 均为等差数列，其前n项和分别为Sn,Tn,. 课堂练习 解：由等差数列的性质知 则 ∵S奇 =a₁+a₃+…+a2n+1=132, S偶 =az+a₄+…+azn=120 ∴S 奇 -S 偶 =Qzn+1-nd=an+1=12 ∴S2n+1=S 奇 +S 偶 = 2 5 2 = 4等差数列{an}共有2n+1 项，所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和 为120,则n等于 10 解法1: 12(2n+1)=252 解得n=10 课堂练习 解法2: 由题意可得 上面两式相比，得 =(n+1)an+1=132 解得n=10 ● 5在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a₁ >0,S₃=S₁1, 当 Sn取得最 大值时，n 的值为 解法1:(函数法) 由S₃=S₁1, 可 得 课堂练习 故当n=7 时 ，Sn最大. 因为a₁>0, 即 5在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a₁>0,S₃=S₁1, 当 Sn取得最 大值时，n 的值为 解法2:(邻项变号法) 由解法1知 欲使Sn最大，则 解得6.5≤n≤7.5 故当n=7 时 ，Sn最大. 合作探究 ● 5在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a₁ >0,S₃=S₁1, 当Sn取得最 大值时，n 的值为 7. 解法3:(等差数列的性质) 依题意，数列单调递减，公差d<0. 因为S₃=S₁1=S₃+a₄+a₅+…+a₁o+a₁₁ 所以 a₄+a₅+…+a₁o+a₁1=0 又a₄+a₁1=a₅+a₁0=a₆+ag =a₇+a₈ 即 a₄+Q₁1=a₇+ag=0 故当n=7 时 ，a₇>0,ag<0. 故当n=7 时 ，Sn最大. 合作探究 等差数列前n项和的常用性质 1.数列{an}是等差数列→Sn=pn²+qn(p、q 为常数)一数列 是等差数列. 2.等差数列的依次k 项之和，Sk, S₂ k-Sk,S₃ k-S₂ k,... 组成公差为 的 等差数列. 等差数列前n项和Sn的最值 (1)二次函数法： (2)图象法： (3)邻项变号法： 课堂总结 1等差数列前n项和的常用性质 2例题 3等差数列前n项和Sn的最值 4课堂练习 板书设计 课本25页习题4.2 6,7,8 放作业布置 $$