7.4.1二项分布课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4 二项分布与超几何分布 新课程标准 1.理解伯努利试验以及n 重伯努利试验的概念，掌握随机变量服从二项分布的有关计算. 2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差. 3.通过理解 n 重伯努利试验的概念，培养学生数学抽象的核心素养.通过二项分布的有关计算 及应用，提高学生数学运算的核心素养. 7.4.1 二项分布 (一)教材梳理填空 1.伯努利试验的概念 只包含 两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 2.n 重伯努利试验的定义及特征 (1)定义：将一个伯努利试验独立地重复进行 n次 所组成的随机试验称为n 重伯努利试验. (2)特征：①同一个伯努利试验重复做n 次. ②各次试验的结果相互独立. 自学新教材 ·课前预习任务单 新课程学案 让核心素养落地生根 3.二项分布的概念 在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0<p<1),用 X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为P(X=k)=Chpk(1-p)”-k,k=0, 1, .如果随机变量X 的分布列具有上述的形式，则称随机变量X 服从 二项分布，记作 X～B(n,p) . [微思考] 二项分布与两点分布有何关系? 提示：(1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A 发生 (X=1) 或不发生(X=0); 二项分布是指在n 重伯努利试验中事件A 发生的 次数X 的分布列，试验次数为n 次(每次试验的结果也只有两种：事件A 发生或不发生),试验结果有n+1 种：事件A 恰好发生0次，1次，2次，…, n次. (2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即 n=1 的二项分布. 4.二项分布的均值和方差 (1)均值：若X～B(n,p),则 E(X)= np. (2)方差：若X～B(n,p), 则D(X)=np(1—p) (二)基本知能小试 1.判断正误 (1)在伯努利试验中，关注的是事件A 是否发生，而在n 重伯努利试验中， 关注的是事件A 发生的次数. ( ) (2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果. ( ) (3)将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方差等于 ( ) 答案：(1) √ (2) √. (3)× 2. 下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”;②甲、 乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”;③甲、乙 两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”; ④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标，其中是n 重伯努利试验 的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：根据n 重伯努利试验的定义可知，只有④符合n 重伯努利试验的定义. 答案：A 答案： 4.设随机变量 则 D(C 等于 解析：因为随机变量 则P(X=2) 等于 答案： ● 题型一 n 重伯努利试验 [学透用活] 在 n 重伯努利试验中，设事件A 发生的次数为X, 在每次试验中事件A 发 生的概率为p, 那么在 n 重伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率P(X= k)=Chpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n. [典例 1] 某气象站天气预报的准确率为80%,计算：(结果保留到小数点 后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率； (2)5次预报中至少有2次准确的概率； (3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率. [解] (1)记预报一次准确为事件A, 则 P(A)=0.8. 5次预报相当于5重伯努利试验， 2次准确的概率为C²×0.8²×0.2³=0.0512≈0.05, 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件是“5次预报全部不准确或 只有1次准确”,其概率为 C5×0.2⁵+C5×0.8×0.2⁴=0.00672. ∴所求概率为1—0.00672=0.99328≈0.99. (3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确. ∴所求概率为C4×0.8×0.2³×0.8=0.02048≈0.02. 故5次预报中恰有2次 准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02. [方法技巧] n重伯努利试验概率求解的关注点 (1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及 对立事件的概率公式. (2)运用n 重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验 是否为n 重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试 验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生),在任何一次试验中某一事件发 生的概率都相等，然后用相关公式求概率. [对点练清] 已知两名射击运动员的射击水平：甲击中目标靶的概率是0.7,乙击中目标 靶的概率是0.6.若让甲、乙两人各自向目标靶射击3次，则 (1)甲恰好击中目标2次的概率是 ; (2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是 . (结果保留两位有效 数字) 解析：由题意，甲向目标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.7,乙向目 标靶射击1次，击中目标靶的概率为0.6,两人射击均服从二项分布. (1)甲向目标靶射击3次，恰好击中2次的概率是C3×0.7²×(1—0.7)≈0.44. (2)甲、乙两人各向目标靶射击3次，恰好都击中2次的概率是[C3×0.7²×(1 —0.7)]×[C³×0.6²×(1—0.6)]≈0.19. 答案：(1)0.44 (2)0.19 题型二二项分布的应用 [探究发现] (1)在二项分布的概念中，n,p,k 各表示什么意义? 提示：n 为重复试验的次数；p 是在一次试验中某事件A 发生的概率； k是在n 次独立重复试验中事件A 发生的次数. (2)若X～B(n,p), 则 P(X=k) 为何值? 提示：P(X=k)=Chpk(1—p)n-k,k=0,1,2,…,n. [学透用活] [典例2] 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红 灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 遇到红灯时停留的时间都是2 min. (1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； (2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min 的概率. [解](1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A. 因为事件A 等价于事件“这名学生在第一个和第二个路口没有遇到红灯，在 第三个路口遇到红灯”, 所以事件A 的概率为 (2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min” 为事 件B, “这名学生在上学路上遇到k 次红灯”为事件Bk(k=0,1,2,3,4). 所以事件B 的概率为 由题意得 [方法技巧] (1)二项分布的简单应用是求 n 重伯努利试验中事件A 恰好发生 k 次的概 率 .解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分 布→找到参数n,p→ 写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率. (2)二项分布求解随机变量涉及“至少”“至多”问题的取值概率，其实质 是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或 者利用对立事件求概率. [提醒] 利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分 布的模型，也就是看它是否是n重伯努利试验，随机变量是否为在这n 重伯努 利试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就 不服从二项分布. [对点练清] 1.加工某种零件需经过三道工序.设第一、二、三道工序的合格率分别为 9 且各道工序互不影响， (1)加工一个零件是否是n 重伯努利试验?求该零件的合格率； (2)从该种零件中任取3件，恰好取到X 件合格品，X 是否服从二项分布? (3)在(2)的条件下，求恰好取到1件合格品的概率。 解：(1)加工一个零件需经过三道工序，各道工序互不影响，它们是独立的， 但三道工序的合格率不同，因此不是n 重伯努利试验. 由事件的独立性知， 该种零件的合格率 (2)从该种零件中任取3件，相当于3重伯努利试验，恰好取到X 件合格品， 即随机变量X 的取值是取到合格品的事件发生的次数，因此X 服从二项分 布 . (3)由二项分布的概率公式得，恰好取到1件合格品的概率 2.在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题.规定每位考生必须且只 需在其中选做一题.设4名考生选做这两题的可能性均为 (1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率； (2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X, 求 X 的分布列. 解：(1)设事件A 表示“甲选做第14题”,事件B 表示“乙选做第14题”, 则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“ABU A B”,且事件A,B 相互独立. 所以P(ABU A B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) X 0 1 2 3 4 P (2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.且 所以随机变量X 的分布列为 题型三二项分布的均值和方差 [学透用活] [典例3] (1)某运动员投篮投中的概率p=0.6, 则重复5次投篮时投中次 数 Y的数学期望等于 (2)一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗， 假设他在各交通 岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是 ①求这位司机遇到红灯数X 的期望与方差； ②若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y 的期望与方差. ● [解析] (1)∵Y 服从二项分布，即Y～B(5,0.6), ∴E(Y)=np=5×0.6=3, 即重复5次投篮时投中次数Y 的数学期望为3. 答案：3 (2)①易知司机遇上红灯次数X 服从二项分布， ∴E(Y)=30E(X)=60,D(Y)=900D(X)=1200. ②由已知Y=30X, ·· [方法技巧] (1)求二项分布的均值和方差的步骤： ①一是先判断随机变量是否服从二项分布； ②二是代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差. (2)解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相 应的公式求解.若ξ服从两点分布，则D(5)=p(1-p); 若ξ服从二项分布，即 ~B(n,p), 则D(5)=np(1—p). 1.设随机变量X 的分布列为 ,k=0,1,2, …,n, 且E(X)=24, 则 D(X)的值为 ( ) A.8 B.12 C D.16 解析：由题意可知 [对点练清] 答案：A ∴n=36. 2. 甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队三人，每人回答一个问题，答对者为 本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 9 乙队中三 人答对的概率分别为 少 少 9 且各人回答正确与否相互之间没有影响. 若用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和均值. ζ 0 1 2 3 P 7 — 9 4 9 8 27 解：由题意知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,且 所以ξ的分布列为 由于随机变量 则有 则有 [课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人 一次种植了n 株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p, 设 为成活沙柳的株数，均值E(G)为3,标准差√ D(ζ) (1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列； (2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率. (2)记“需要补种沙柳”为事件A, 则 P(A)=P(ξ≤3), 得 所以需要补种沙柳的概率 解：由题意知，ξ~B(n,p),P(ξ=k)=Chpk(1—p)"-k,k=0,1,…,n. (1)由E(ζ)=np=3, ξ 0 1 2 3 4 5 6 P ξ的分布列为 从而 n=6, 得 二、应用性 强调学以致用 2 . 现有10000人参加某保险公司的人身意外保险，该公司规定：每人每年付 给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10000元.如果每人每年死亡的 概率为0.006,那么该公司会赔本吗? [析题建模] 应用二项分布模型解决的实际问题，首先应判断问题是否符 合二项分布，若符合则按二项分布来解决.本题中该公司的盈利额与意外 死亡的人数有关联，且意外死亡人数服从二项分布，因而可利用二项分布 求解. 解：设这10000人中意外死亡的人数为X, 根据题意，X 服从参数为 n=10000,p=0.006 的二项分布，则它的分布 列为P(X=k)=C10000×0.006*(1—0.006)¹0000-k(k=0,1,2,…,10000). 死亡人数为X 时，公司要赔偿X 万元，此时公司的利润为(120一X)万元。 由上述分布列知公司赔本的概率为 这说明，该公司几乎不会赔本. $$