6.3.2二项式系数的性质课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

6.3.2 项式系数的性质 高二数学选择性必修第三册 第六章计数原理 学习目标 1.理解和掌握二项式系数的性质，并会 进行简单的应用； 2.理解和初步掌握赋值法及其应用； 3.能灵活应用二项式系数的性质求二项展开式 系数最大项. 4.核心素养：数学抽象、数学运算。 一、回顾旧知 1、二项式定理： 二项式系数：Ch( k=0,1,…,n) 通项： T+1=Cha”-kb 0 (a+b)n 展开式的二项式系数 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 通过计算填表，你发现了什么?每一行的系数具有 对称性 除此以外还有什么规律呢? 二、探究新知 1.计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表： 上表写成如下形式： (a+b)¹—— → 11 (a+b)²—— → 121 (a+b)³——— → 1331 (a+b)⁴—— →14641 (a+b)⁵ — →15101051 (a+b)⁶ —→ 1615201561 (a+b)⁷ 1 7213535217 1 ●●● ●●● 1 Cn-1 Cn-12……Cn-1k-1 Cn-1k……Cn-1n-2 1 能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? 上表写成如下形式： (a+b)¹— → 11 (a+b)²—— → 121 (a+b)³—— → 1331 (a+b)⁴—— → 14641 (a+b)⁵——→ 15101051 (a+b)⁶—→ 1615201561 ①在同一行中，每行两端都是1,与这两个1等距离 的项的系数相等. ②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于 它“肩上”两个数的和. 杨辉三角 这样的二项式 系数表，早在我国 南宋数学家杨辉 1261年所著的 《详解九章算法》 一书里就已经出 现了，在这本书里 记载着类似右侧 的表： 早在我国南宋数学家杨辉1261年所 著 的《详解九章算法》二项式系数表， 在书中说明了表里“—”以外的每一个 数都等于它肩上两个数的和；指出这个方 法出于《释锁》算书，且我国北宋数学 明我国发现这个表不晚于11世纪在欧洲， 这个表被认为是法国数学家帕斯卡 (1623-1662) 首先发现的，他们把这个表 叫做白斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发 现要比欧洲早五百年左右. 2.二项式系数的性质 (a+b)”展开式的二项式系 数依次是：C%,Cn,C²,…,Cn 从函数角度看，Cn可看 成是以r 为自变量的函数f(r) , 其定义域是：{0,1,2,…,n} 当n=6 时， 其图象是7个孤立点 f (r) 20 15 r 1).对称性 与首末两端“等距离”的 两个二项式系数相等。 这一性质可直接由公式 n 图象的对称轴：r= 2 3 6 3.二项式系数的性质 f(r) 20- 15- 得到 3.二项式系数的性质 2).增减性与最大值 n-k+1 所以C" 相对于 的增减情况由 k 决定 由： 可知，当 时 ，二项式系数是逐渐增 大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减 小的，且中间项取得最大值 当n是偶数时，中间的一项C 取 得最 大值. n+ 当n是奇数时，中间的两项Cn² 和 Cn² 相等， (r且同时取得最大值 f(r) 个 2 n 2 n为奇数 n 十1 2 2 n为偶数 2 n 3.二项式系数的性质 3).各二项式系数的和 在二项式定理中，令a=b=1 ,则 ： 这就是说(a+b)”的展开式的各二项式系数的和 等于 2 n 同时由于 C0=1 上式还可以写成： 这是组合总数公式. 一 般地，(a+b)” 展开式的二项式系数 Cn,Cn,…C” 有如下性质： (3).当 时， 当 三、应用新知 1.例1.证明：在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明：在展开式 赋值法 2.变式训练1 (1).已知 ,那么Ci6 = a+b ; (2).若(a+b)” 的展开式中的第十项和第十一项 的二项式系数最大，则n=19 (3).在(a+b)²0 展开式中，与第五项的系数相同的项是( C ) A 第15项 B 第16项 C 第17项 D 第18项 2.变式训练1 (4).在(a+b)¹0 展开式中，系数最大的项是( A ) A第6项 B第7项 C第6项和第7项 D 第5项和第7项 (5).在(a -b)10展开式中，系数最大的项是( D ) A第6项 B第7项 C第6项和第7项 D第5项和第7项 3.例2.在(2 x-3y)¹° 展开式中 (1).求二项式系数的和；1024 (2).各项系数的和； 1 (3).奇数项的二项式系数和与偶数项的 二项式系数和； 512 (4).奇数项的系数和与偶数项的系数和. 1+510 1-510 2 2 4.变式训练2 1).已知：(2x+1)¹0=aox¹⁰+a₁x⁹+a₂x⁸+..+a₉X+a₁0 (1).求a₀+a₁+a₂+....+a₉+a₁0 的值；3¹⁰=59049 其奇次项系数的和是 f(1)-f(-1) 其偶次项系数的和是ro)²f(-1) 2 (2).求a₀+a₂+a₄+....+a₁0 的值 . 1 2 结论：设 f(x)=(a+bx)n 3 10 +1) 4.变式训练2 2).若(2x-1)⁰=a₀+a,x+a₂x²+…+a,x⁹+a₁ox¹⁰ , 则a₂+a₃+…+a₉+a₁₀ 的值为( D ) A.—20 B.0 C.1 D.20 5.例3求 证 ：3 n> 2-1. (n+2) (n∈N, 且n≥2) 证明：∵3”=(2+1)^ 又∵n≥2, 上式至少有三项，且 C²·2”-²+…+Cn-1·2+C>0 ∴3n > 2n-1.(n+2) (n∈N,且n≥2) 2 ,(n∈N*,n≥3). 成立 +1 成立 n—1 5.变式训练3 证 明 证明：要证 只需证 所以原不等式成立 十 2 四、课堂小结 1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的 组合数，它有三条性质，要理解和掌握好； 2.注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能 混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而 系数最大的不一定是中间项； 3.理解和掌握“赋值法”,它是解决有关二项 展开式系数的问题的重要手段. 作业：课本P35 习题6.3 9、10题 $$