高一数学第三次月考卷（湘教版2019必修第一册第1～4章）-学易金卷：2024-2025学年高中上学期第三次月考

2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版+前四章，集合与逻辑10%+不等式16%+函数30%+指对函数44%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得：， ， 所以. 故选：D. 2．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】命题“，”的否定为：“，”. 故选：D 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以函数的定义域为， 故选：D 4．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对于，如， 则，， 此时. 对于，则， 则， 则. “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5．下列区间内存在方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，显然函数在R上连续，因， 故 在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根．    如图，作出函数和的图象，由图可知和有两个交点， 因，，即， 所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根， 由选项可知只有C项符合题意. 故选：C. 6．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 又当时，故排除C. 故选：D 7．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，单调递增，当时，单调递增，且在分界点处， 所以函数在定义域上单调递增， 所以，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 8．已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数为R上的偶函数，且在上是增函数， 则该函数在上为减函数，且有， 则，，， 因为，，， 即，由于函数在上为减函数， 所以，可得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 【答案】BC 【详解】易知函数的定义域为R，且，所以是偶函数，故A正确，B错误； 当时，，此时单调递增且过原点， 由函数为偶函数作出图像如下：    由图像可得在上是增函数，在上是减函数，故C错误，D正确； 故选：BC. 10．已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于选项A，当时，，故A错误; 对于选项B，，因为 ，所以， 所以，即，故B正确; 对于选项C，， 因为，所以， 所以，即，故C错误； 对于选项D，因为， 又因为，所以，所以，即，故D正确. 故选:BD. 11．已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】ACD 【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确； 由，可得， ，即，可得，故B错误； 令，则，即， 则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即， 当时，，即， 设，即，即有， 则在R上递增，故C正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的图象恒过的定点为 ． 【答案】 【详解】令，解得，且， 所以函数的图象恒过的定点为. 故答案为：. 13．已知，则的值为 . 【答案】 【详解】， ，， ，， ． 故答案为： 14．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）计算 (1) (2) 【详解】（1） （2） 16．（15分） 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 17．（15分） 已知函数，. (1)求函数的单调减区间; (2)若函数在区间的最小值为，求实数a的值; (3)证明的图象是轴对称图形. 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 于是 令，该函数在单调递增， 而在上单调递减， 所以的单调减区间为 （2），，令 当时，，因为，则， 所以，即，所以，综上得． （3）证明： 所以关于直线对称. 18．（17分） 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. （2）任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， ，，解得，又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需，且， 解不等式得：，又，故此时； ③当即时，在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， ，故，解得，又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 19．（17分） 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设． (1)判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (2)当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值； (3)当时，设，已知在上有两个零点，证明：． 【详解】（1）是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知， 可知， 所以， 故是“反比例对称函数”. （2）由题可知，，此时， 因为函数与的图像恰有一个交点，即有一个解， 得， 令，得仅有一个解， 显然， 因为，则有， 要使仅有一个解， 只需，或（舍） 所以. （3）不妨先设， 由题可知， 显然， 已知有两个零点，，则两个零点满足， 此时， 即，函数与函数，的两个交点横坐标满足； 可知利用复合函数单调性可知， 当时，单调递增； 时，单调递减； 由对勾函数性质可知 ， 在时，此时单调递减； 在时，此时单调递増； 得两函数示意图    当，此时， 相当于函数， 故所有的横坐标缩小为原来的倍；    故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D D B C D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．. 13．-1 14．. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1） （2） 16．（15分） 【详解】（1）令，可得， 可得，解得， 所以二次函数的不动点为和. （2）二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，且， 因为，即，解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 17．（15分） 【详解】（1）由得，所以的定义域为， 于是 令，该函数在单调递增， 而在上单调递减， 所以的单调减区间为 （2），，令 当时，，因为，则， 所以，即，所以，综上得． （3）证明： 所以关于直线对称. 18．（17分） 【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. （2）任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， ，，解得，又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需，且， 解不等式得：，又，故此时； ③当即时，在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， ，故，解得，又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 19．（17分） 【详解】（1）是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知， 可知， 所以， 故是“反比例对称函数”. （2）由题可知，，此时， 因为函数与的图像恰有一个交点，即有一个解， 得， 令，得仅有一个解， 显然， 因为，则有， 要使仅有一个解， 只需，或（舍） 所以. （3）不妨先设， 由题可知， 显然， 已知有两个零点，，则两个零点满足， 此时， 即，函数与函数，的两个交点横坐标满足； 可知利用复合函数单调性可知， 当时，单调递增； 时，单调递减； 由对勾函数性质可知 ， 在时，此时单调递减； 在时，此时单调递増； 得两函数示意图    当，此时， 相当于函数， 故所有的横坐标缩小为原来的倍；    故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一数学上学期第三次月考卷 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年高一数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版+前四章，集合与逻辑 10%+不等式 16%+函数 30%+指对函数 44%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知集合𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 9}, 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 10}，则𝐴 ∩ 𝐵 =（ ） A．{𝑥 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 9} B．{1,2,3} C．{𝑥 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 3} D．{0,1,2,3} 2．命题“∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 > 0”的否定为（ ） A．∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0 B．∀𝑥 ∉ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0 C．∃𝑥 ∉ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 > 0 D．∃𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0 3．函数𝑓(𝑥) = √3 − 𝑥 + lg(𝑥 − 1)的定义域为（ ） A．{𝑥|𝑥 ≥ 3} B．{𝑥|𝑥 < 1} C．{𝑥|1 ≤ 𝑥 ≤ 3} D．{𝑥|1 < 𝑥 ≤ 3} 4．如果对于任意实数𝑥，[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，例如[π] = 3，[0.6] = 0，[−1.6] = −2，那么“|𝑥 − 𝑦| < 1” 是“[𝑥] = [𝑦]”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列区间内存在方程|𝑥 | = 2 的根的是（ ） A．(−2, −1) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 6．函数𝑓(𝑥) = 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数𝑓(𝑥) = 2 , 𝑥 ≥ 0 −2 , 𝑥 < 0 ，则不等式𝑓(2 − 𝑥) > 𝑓(𝑥)的解集为（ ） A．(−∞, −1) B．(−∞, 1) C．(−1, +∞) D．(1, +∞) 8．已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)为偶函数，且𝑓(𝑥)在区间(−∞, 0]上是增函数，记𝑎 = 𝑓 log ，𝑏 = 𝑓 log ， 𝑐 = 𝑓 ，则 a，b，c的大小关系是（ ） A．𝑎 < 𝑐 < 𝑏 B．𝑏 < 𝑎 < 𝑐 C．𝑏 < 𝑐 < 𝑎 D．𝑐 < 𝑎 < 𝑏 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知函数𝑓(𝑥) = |𝑥|，下列说法错误的是（ ） A．𝑓(𝑥)是偶函数 B．𝑓(𝑥)是奇函数 C．𝑓(𝑥)在(0, +∞)上是减函数 D．𝑓(𝑥)在(−∞, 0)上是减函数 10．已知𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅，下列命题为真命题的是（ ） A．若𝑏 < 𝑎 < 0，则𝑏 ⋅ 𝑐 < 𝑎 ⋅ 𝑐 B．若𝑏 > 𝑎 > 0 > 𝑐，则 < C．若𝑐 > 𝑏 > 𝑎 > 0，则 > D．若𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 0，则 > 11．已知函数𝑓(𝑥)的定义域为 R，对任意实数𝑥, 𝑦满足𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + ．且𝑓 = 0，当𝑥 > 时， 𝑓(𝑥) > 0，则下列结论正确的是（ ） A．𝑓(0) = − B．𝑓(−1) = C．𝑓(𝑥)为增函数 D．𝑓(𝑥) + 为奇函数 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 12．函数𝑓(𝑥) = 𝑎 + 2𝑥(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)的图象恒过的定点为 ． 13．已知2 = 24 = 3，则 的值为 . 14．已知实数𝑎，𝑏满足−1 < 𝑎 < 1 < 𝑏，且𝑎 + 𝑏 = 2，则 + 的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）计算 (1) 2 − (−π) + 3 − (1.5) (2)log √27 + lg25 + lg4 − 7log + log 2 16．（15 分） 对于二次函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)，若∃𝑥 ∈ R，使得𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 成立，则称𝑥 为二次函数 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)的不动点. (1)求二次函数𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 − 2的不动点； (2)若二次函数𝑦 = 2𝑥 − (2 + 𝑎)𝑥 + 𝑎 − 1有两个不相等的不动点𝑥 , 𝑥 ，且𝑥 , 𝑥 > 0，求 + 的最小值. 17．（15 分） 已知函数𝑓(𝑥) = log (𝑥 + 2) + log (4 − 𝑥)，(0 < 𝑎 < 1). (1)求函数𝑓(𝑥)的单调减区间; (2)若函数𝑓(𝑥)在区间[0,3]的最小值为−2，求实数 a的值; (3)证明𝑓(𝑥)的图象是轴对称图形. 18．（17 分） 已知函数𝑦 = 𝜑(𝑥)的图象关于点𝑃(𝑎, 𝑏)成中心对称图形的充要条件是𝑦 = 𝜑(𝑎 + 𝑥) − 𝑏是奇函数，给定函数 𝑓(𝑥) = 𝑥 − ． (1)求函数𝑓(𝑥)图象的对称中心； (2)用定义证明𝑓(𝑥)在区间(0, +∞)上的单调性； (3)已知函数𝑔(𝑥)的图象关于点(1,1)对称，且当𝑥 ∈ [0,1]时，𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑚𝑥 + 𝑚．若对任意𝑥 ∈ [0,2]，总 存在𝑥 ∈ [1,5]，使得𝑔(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 )，求实数 m的取值范围． 19．（17 分） 已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝐷，若存在常数𝑘(𝑘 > 0)，使得对𝐷内的任意𝑥，都有𝑓(𝑥) = 𝑓 ，则称𝑓(𝑥)是“反 比例对称函数”．设𝑓(𝑥) = log 𝑥 · log , 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + − 𝑚． (1)判断函数𝑓(𝑥) = log 𝑥 ⋅ log 是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (2)当𝑎 = 1时，若函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图像恰有一个交点，求𝑚的值； (3)当𝑎 > 1时，设ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)，已知ℎ(𝑥)在(0, +∞)上有两个零点𝑥 , 𝑥 ，证明：𝑥 𝑥 < 16． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期第三次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版+前四章，集合与逻辑 10%+不等式 16%+函数 30%+指对函数 44%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知集合𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 9}, 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 10}，则𝐴 ∩ 𝐵 =（ ） A．{𝑥 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 9} B．{1,2,3} C．{𝑥 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 3} D．{0,1,2,3} 【答案】D 【详解】由题意可得：𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 9} = {0,1,2,3}， 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 10} = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}， 所以𝐴 ∩ 𝐵 = {0,1,2,3}. 故选：D. 2．命题“∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 > 0”的否定为（ ） A．∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0 B．∀𝑥 ∉ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0 C．∃𝑥 ∉ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 > 0 D．∃𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0 【答案】D 【详解】命题“∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 > 0”的否定为：“∃𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0”. 故选：D 3．函数𝑓(𝑥) = √3 − 𝑥 + lg(𝑥 − 1)的定义域为（ ） A．{𝑥|𝑥 ≥ 3} B．{𝑥|𝑥 < 1} C．{𝑥|1 ≤ 𝑥 ≤ 3} D．{𝑥|1 < 𝑥 ≤ 3} 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【答案】D 【详解】 3 − 𝑥 ≥ 0 𝑥 − 1 > 0 ⇒ 𝑥 ≤ 3 𝑥 > 1 ， 所以函数𝑓(𝑥) = √3 − 𝑥 + lg(𝑥 − 1)的定义域为{𝑥|1 < 𝑥 ≤ 3}， 故选：D 4．如果对于任意实数𝑥，[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，例如[π] = 3，[0.6] = 0，[−1.6] = −2，那么“|𝑥 − 𝑦| < 1” 是“[𝑥] = [𝑦]”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对于|𝑥 − 𝑦| < 1，如𝑥 = −0.4, 𝑦 = 0.5， 则|𝑥 − 𝑦| = |−0.4 − 0.5| = 0.9 < 1，[𝑥] = [−0.4] = −1, [𝑦] = [0.5] = 0， 此时[𝑥] ≠ [𝑦]. 对于[𝑥] = [𝑦]，则𝑥, 𝑦 ∈ [𝑛, 𝑛 + 1), 𝑛 ∈ Z， 则𝑥 ∈ [𝑛, 𝑛 + 1), −𝑦 ∈ (−𝑛 − 1, −𝑛]， 则𝑥 − 𝑦 ∈ (−1,1), |𝑥 − 𝑦| < 1. “|𝑥 − 𝑦| < 1”是“[𝑥] = [𝑦]”的必要不充分条件. 故选：B 5．下列区间内存在方程|𝑥 | = 2 的根的是（ ） A．(−2, −1) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 【答案】C 【详解】令𝐹(𝑥) = |𝑥 | − 2 ，显然函数𝐹(𝑥)在 R上连续，因𝐹(1)𝐹(2) = (−1) × 4 = −4 < 0， 故 𝐹(𝑥)在区间(1,2)上存在零点，即方程|𝑥 | = 2 在区间(1,2)上有实数根． 如图，作出函数𝑦 = |𝑥 |和𝑦 = 2 的图象，由图可知𝑦 = |𝑥 |和𝑦 = 2 有两个交点， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 因𝑥 = −1, |𝑥 | = 1 > 2 = ，𝑥 = 0, |𝑥 | = 0 < 2 = 1，即𝐹(−1)𝐹(0) < 0， 所以𝐹(𝑥)在区间(−1,0)上存在零点，即方程|𝑥 | = 2 在区间(−1,0)上有实数根， 由选项可知只有 C 项符合题意. 故选：C. 6．函数𝑓(𝑥) = 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数𝑓(𝑥) = 的定义域为R，且𝑓(−𝑥) = ( ) = − = −𝑓(𝑥)， 所以𝑓(𝑥) = 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 A、B； 又当𝑥 > 0时𝑓(𝑥) > 0，故排除 C. 故选：D 7．已知函数𝑓(𝑥) = 2 , 𝑥 ≥ 0 −2 , 𝑥 < 0 ，则不等式𝑓(2 − 𝑥) > 𝑓(𝑥)的解集为（ ） A．(−∞, −1) B．(−∞, 1) C．(−1, +∞) D．(1, +∞) 【答案】B 【详解】当𝑥 ≥ 0时，𝑦 = 2 单调递增，当𝑥 < 0时，𝑦 = −2 单调递增，且在分界点处−2 < 2 ， 所以函数𝑓(𝑥)在定义域上单调递增， 所以𝑓(2 − 𝑥) > 𝑓(𝑥) ⇔ 2 − 𝑥 > 𝑥，得𝑥 < 1， 所以不等式的解集为(−∞, 1). 故选：B 8．已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)为偶函数，且𝑓(𝑥)在区间(−∞, 0]上是增函数，记𝑎 = 𝑓 log ，𝑏 = 𝑓 log ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 𝑐 = 𝑓 ，则 a，b，c的大小关系是（ ） A．𝑎 < 𝑐 < 𝑏 B．𝑏 < 𝑎 < 𝑐 C．𝑏 < 𝑐 < 𝑎 D．𝑐 < 𝑎 < 𝑏 【答案】C 【详解】由函数𝑦 = 𝑓(𝑥)为 R上的偶函数，且在(−∞, 0]上是增函数， 则该函数在[0, +∞)上为减函数，且有𝑓(𝑥) = 𝑓(|𝑥|)， 则𝑎 = 𝑓 log = 𝑓(log 2)，𝑏 = 𝑓 log = 𝑓(log 5)，𝑐 = 𝑓 ， 因为log 2 < log √5 = ，log 5 > log 2 = 1， = < < = 1， 即log 2 < < log 5，由于函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在[0, +∞)上为减函数， 所以𝑓(log 2) > 𝑓 > 𝑓(log 5)，可得𝑏 < 𝑐 < 𝑎. 故选：C 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知函数𝑓(𝑥) = |𝑥|，下列说法错误的是（ ） A．𝑓(𝑥)是偶函数 B．𝑓(𝑥)是奇函数 C．𝑓(𝑥)在(0, +∞)上是减函数 D．𝑓(𝑥)在(−∞, 0)上是减函数 【答案】BC 【详解】易知函数𝑓(𝑥)的定义域为 R，且𝑓(−𝑥) = |−𝑥| = |𝑥| = 𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)是偶函数，故 A 正确，B 错误； 当𝑥 ≥ 0时，𝑓(𝑥) = |𝑥| = √𝑥 = 𝑥 ，此时𝑓(𝑥)单调递增且过原点， 由函数为偶函数作出图像如下： 由图像可得𝑓(𝑥)在(0, +∞)上是增函数，在(−∞, 0)上是减函数，故 C 错误，D 正确； 故选：BC. 10．已知𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅，下列命题为真命题的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 A．若𝑏 < 𝑎 < 0，则𝑏 ⋅ 𝑐 < 𝑎 ⋅ 𝑐 B．若𝑏 > 𝑎 > 0 > 𝑐，则 < C．若𝑐 > 𝑏 > 𝑎 > 0，则 > D．若𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 0，则 > 【答案】BD 【详解】对于选项 A，当𝑐 = 0时，𝑏 ⋅ 𝑐 = 𝑎 ⋅ 𝑐 ，故 A 错误; 对于选项 B， − = ( )，因为𝑏 > 𝑎 > 0 > 𝑐，所以(𝑏 − 𝑎) > 0, 𝑎𝑏 > 0， 所以 − = ( ) < 0，即 < ，故 B 正确; 对于选项 C， − = ( ) ( )( ) ， 因为𝑐 > 𝑏 > 𝑎 > 0，所以𝑐 − 𝑎 > 0, 𝑐 − 𝑏 > 0, 𝑎 − 𝑏 < 0， 所以 − = ( ) ( )( ) < 0，即 < ，故 C 错误； 对于选项 D，因为 − = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ， 又因为𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 0，所以𝑎 − 𝑏 > 0, 𝑏 + 𝑐 > 0，所以 ( ) ( ) > 0，即 > ，故 D 正确. 故选:BD. 11．已知函数𝑓(𝑥)的定义域为 R，对任意实数𝑥, 𝑦满足𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + ．且𝑓 = 0，当𝑥 > 时， 𝑓(𝑥) > 0，则下列结论正确的是（ ） A．𝑓(0) = − B．𝑓(−1) = C．𝑓(𝑥)为增函数 D．𝑓(𝑥) + 为奇函数 【答案】ACD 【详解】函数𝑓(𝑥)的定义域为 R，对任意实数𝑥, 𝑦满足𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + ， 令𝑥 = 𝑦 = 0，可得𝑓(0) = 2𝑓(0) + ，即有𝑓(0) = − ，故 A 正确； 由𝑓 = 0，可得𝑓(1) = 2𝑓 + = ， 𝑓(1 − 1) = 𝑓(1) + 𝑓(−1) + ，即− = + 𝑓(−1) + ，可得𝑓(−1) = − ，故 B 错误； 令𝑦 = −𝑥，则𝑓(𝑥 − 𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥) + = − ，即 𝑓(𝑥) + + 𝑓(−𝑥) + = 0， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 则函数𝑓(𝑥) + 为奇函数，故 D 正确； 令𝑥 = , 𝑦 = − ，可得𝑓(0) = 𝑓 + 𝑓 − + = 𝑓 − + = − 即𝑓 − = −1， 当𝑥 > 时，𝑓(𝑥) > 0，即𝑥 − > 0, 𝑓 𝑥 − = 𝑓(𝑥) + 𝑓 − + = 𝑓(𝑥) − > − ， 设𝑥 < 𝑥 ，即𝑥 − 𝑥 > 0，即有𝑓(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 − 𝑥 ) + 𝑓(𝑥 ) + > − + 𝑓(𝑥 ) + = 𝑓(𝑥 )， 则𝑓(𝑥)在 R 上递增，故 C 正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．函数𝑓(𝑥) = 𝑎 + 2𝑥(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)的图象恒过的定点为 ． 【答案】(3,7) 【详解】令𝑥 − 3 = 0，解得𝑥 = 3，且𝑓(3) = 7， 所以函数𝑓(𝑥)的图象恒过的定点为(3,7). 故答案为：(3,7). 13．已知2 = 24 = 3，则 的值为 . 【答案】−1 【详解】∵ 2 = 24 = 3， ∴ 𝑥 = log 3，𝑦 = log 3， ∴ = log 2， = log 24， ∴ = − = 3log 2 − log 24 = log 8 − log 24 = log = −1． 故答案为：−1 14．已知实数𝑎，𝑏满足−1 < 𝑎 < 1 < 𝑏，且𝑎 + 𝑏 = 2，则 + 的最小值为 ． 【答案】√3 − 1 【详解】因为−1 < 𝑎 < 1 < 𝑏，所以𝑎 + 1 > 0，𝑏 − 1 > 0， 因为𝑎 + 𝑏 = 2，所以(𝑎 + 1) + (𝑏 − 1) = 2， 由𝑎 + 𝑏 = 2，所以 + = + ( ) = + − 3. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 所以 + − 3 = + [(𝑎 + 1) + (𝑏 − 1)] − 3 = 1 + 3 + + ( ) − 3 ≥ 4 + 2 ⋅ ( ) − 3 = 2 + √3 − 3 = √3 − 1， 当且仅当 = ( ) ，即𝑎 = −2 + √3, 𝑏 = 4 − √3时，等号成立. 故答案为：√3 − 1 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）计算 (1) 2 − (−π) + 3 − (1.5) (2)log √27 + lg25 + lg4 − 7log + log 2 【详解】（1） 2 − (−π) + 3 − (1.5) = − 1 + − = 3 2 × − 1 + 3 2 × − 2 3 = 3 2 − 1 + 3 2 − 4 9 = 3 2 − 1 + 2 3 − 4 9 = 1 2 （2）log √27 + lg25 + lg4 − 7log + log 2 = log 3 + lg(25 × 4) − 2 + log 2 = 3 2 + 2 − 2 + 1 2 = 2 16．（15 分） 对于二次函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)，若∃𝑥 ∈ R，使得𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 成立，则称𝑥 为二次函数 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)的不动点. (1)求二次函数𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 − 2的不动点； (2)若二次函数𝑦 = 2𝑥 − (2 + 𝑎)𝑥 + 𝑎 − 1有两个不相等的不动点𝑥 , 𝑥 ，且𝑥 , 𝑥 > 0，求 + 的最小值. 【详解】（1）令𝑥 + 2𝑥 − 2 = 𝑥，可得𝑥 + 𝑥 − 2 = 0， 可得(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0，解得𝑥 = −2, 𝑥 = 1， 所以二次函数𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 − 2的不动点为−2和1. （2）二次函数𝑦 = 2𝑥 − (2 + 𝑎)𝑥 + 𝑎 − 1有两个不相等的不动点𝑥 , 𝑥 ，且𝑥 , 𝑥 > 0， 则方程2𝑥 − (2 + 𝑎)𝑥 + 𝑎 − 1 = 𝑥有两个不相等的正实数根， 即方程2𝑥 − (3 + 𝑎)𝑥 + 𝑎 − 1 = 0有两个不相等的正实数根， 所以Δ = (3 + 𝑎) − 8(𝑎 − 1) > 0，且𝑥 + 𝑥 = , 𝑥 𝑥 = ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 因为𝑥 , 𝑥 > 0，即 > 0，解得𝑎 > 1，可得𝑎 − 1 > 0， 所以 + = = ( ) = = ( ) = ( ) ( ) ( ) = + + 2 ≥ 2 ⋅ + 2 = 6， 当且仅当 = ，即𝑎 = 5时等号成立， 所以 + 的最小值为6. 17．（15 分） 已知函数𝑓(𝑥) = log (𝑥 + 2) + log (4 − 𝑥)，(0 < 𝑎 < 1). (1)求函数𝑓(𝑥)的单调减区间; (2)若函数𝑓(𝑥)在区间[0,3]的最小值为−2，求实数 a的值; (3)证明𝑓(𝑥)的图象是轴对称图形. 【详解】（1）由 𝑥 + 2 > 0 4 − 𝑥 > 0 得−2 < 𝑥 < 4，所以𝑓(𝑥)的定义域为(−2,4)， 于是𝑓(𝑥) = log (𝑥 + 2)(4 − 𝑥) 令𝑡 = (𝑥 + 2)(4 − 𝑥) = −(𝑥 − 1) + 9，该函数在(−2,1)单调递增， 而𝑓(𝑡) = log 𝑡, 0 < 𝑎 < 1在(0, +∞)上单调递减， 所以𝑓(𝑥)的单调减区间为(−2,1) （2）𝑓(𝑥) = log (𝑥 + 2)(4 − 𝑥)，𝑥 ∈ [0,3]，令𝑡 = (𝑥 + 2)(4 − 𝑥) = −(𝑥 − 1) + 9 当0 ≤ 𝑥 ≤ 3时，5 ≤ 𝑡 ≤ 9，因为0 < 𝑎 < 1，则log 9 ≤ log 𝑡 ≤ log 5， 所以𝑓(𝑥) = log 9 = −2，即𝑎 = 9，所以𝑎 = ，综上得𝑎 = ． （3）证明：𝑓(2 − 𝑥) = log (4 − 𝑥) + log (2 + 𝑥) = 𝑓(𝑥) 所以𝑓(𝑥)关于直线𝑥 = 1对称. 18．（17 分） 已知函数𝑦 = 𝜑(𝑥)的图象关于点𝑃(𝑎, 𝑏)成中心对称图形的充要条件是𝑦 = 𝜑(𝑎 + 𝑥) − 𝑏是奇函数，给定函数 𝑓(𝑥) = 𝑥 − ． (1)求函数𝑓(𝑥)图象的对称中心； (2)用定义证明𝑓(𝑥)在区间(0, +∞)上的单调性； (3)已知函数𝑔(𝑥)的图象关于点(1,1)对称，且当𝑥 ∈ [0,1]时，𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑚𝑥 + 𝑚．若对任意𝑥 ∈ [0,2]，总 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 存在𝑥 ∈ [1,5]，使得𝑔(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 )，求实数 m的取值范围． 【详解】（1）设函数𝑓(𝑥)图象的对称中心为(𝑎, 𝑏)，则𝑓(𝑎 + 𝑥) + 𝑓(𝑎 − 𝑥) − 2𝑏 = 0， 即(𝑥 + 𝑎) − + (−𝑥 + 𝑎) − − 2𝑏 = 0， 整理得(𝑎 − 𝑏)𝑥 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 1) − 6(𝑎 + 1)， 于是(𝑎 − 𝑏) = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 1) − 6(𝑎 + 1) = 0，解得𝑎 = 𝑏 = −1， 所以𝑓(𝑥)的对称中心为(−1, −1). （2）任取𝑥 , 𝑥 ∈ (0, +∞)，且𝑥 < 𝑥 ，则 𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 − − 𝑥 − = (𝑥 − 𝑥 ) 1 + ( )( ) ， 所以𝑥 − 𝑥 < 0且1 + ( )( ) > 0， 所以𝑓(𝑥 ) − 𝑓(𝑥 ) < 0，即𝑓(𝑥 ) < 𝑓(𝑥 )， 所以𝑓(𝑥) = 𝑥 − 在(0, +∞)上单调递增. （3）由题意得：𝑔(𝑥)的值域是𝑓(𝑥)值域的子集， 由（2）知𝑓(𝑥)在[1,5]上单调递增，故𝑓(𝑥)的值域为[−2,4]， 于是原问题转化为𝑔(𝑥)在[0,2]上的值域𝐴 ⊆ [−2,4]， ①当 ≤ 0即𝑚 ≤ 0时，𝑔(𝑥)在[0,1]上单调递增， 同时𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑚𝑥 + 𝑚的图象恒过对称中心(1,1)， 可知𝑔(𝑥)在(1,2]上也单调递增，故𝑔(𝑥)在[0,2]上单调递增， 又𝑔(0) = 𝑚，𝑔(2) = 2 − 𝑔(0) = 2 − 𝑚，故𝐴 = [𝑚, 2 − 𝑚]， ∵ [𝑚, 2 − 𝑚] ⊆ [−2,4]，∴ 𝑚 ≥ −2 2 − 𝑚 ≤ 4 ，解得𝑚 ≥ −2，又𝑚 ≤ 0，故此时−2 ≤ 𝑚 ≤ 0； ②当0 < < 1即0 < 𝑚 < 2时，𝑔(𝑥)在 0, 上单调递减， , 1 上单调递增， 又𝑔(𝑥)过对称中心(1,1)，故𝑔(𝑥)在 1,2 − 上单调递增， 2 − , 2 上单调递减， 故此时𝐴 = min 𝑔(2), 𝑔 , max 𝑔(0), 𝑔 2 − ， 欲使𝐴 ⊆ [−2,4]，只需 𝑔(2) = 2 − 𝑔(0) = 2 − 𝑚 ≥ −2 𝑔 = − + 𝑚 ≥ −2 ，且 𝑔(0) = 𝑚 ≤ 4 𝑔 2 − = 2 − 𝑔 = − 𝑚 + 2 ≤ 4 ， 解不等式得：2 − 2√3 ≤ 𝑚 ≤ 4，又0 < 𝑚 < 2，故此时0 < 𝑚 < 2； ③当 ≥ 1即𝑚 ≥ 2时，𝑔(𝑥)在[0,1]上单调递减，在(1,2]上也单调递减， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 由对称性知𝑔(𝑥)在[0,2]上单调递减，于是𝐴 = [2 − 𝑚, 𝑚]， ∵ [2 − 𝑚, 𝑚] ⊆ [−2,4]，故 2 − 𝑚 ≥ −2 𝑚 ≤ 4 ，解得𝑚 ≤ 4，又𝑚 ≥ 2，故此时2 ≤ 𝑚 ≤ 4， 综上，实数𝑚的取值范围是[−2,4]. 19．（17 分） 已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝐷，若存在常数𝑘(𝑘 > 0)，使得对𝐷内的任意𝑥，都有𝑓(𝑥) = 𝑓 ，则称𝑓(𝑥)是“反 比例对称函数”．设𝑓(𝑥) = log 𝑥 · log , 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + − 𝑚． (1)判断函数𝑓(𝑥) = log 𝑥 ⋅ log 是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (2)当𝑎 = 1时，若函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图像恰有一个交点，求𝑚的值； (3)当𝑎 > 1时，设ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)，已知ℎ(𝑥)在(0, +∞)上有两个零点𝑥 , 𝑥 ，证明：𝑥 𝑥 < 16． 【详解】（1）𝑓(𝑥) = log 𝑥 · log 是“反比例对称函数”，理由如下： 由题可知𝑓(𝑥) = log 𝑥 · log = log 𝑥 · log ， 可知𝑓 = log · log 𝑥， 所以𝑓(𝑥) = 𝑓 ， 故𝑓(𝑥)是“反比例对称函数”. （2）由题可知，𝑥 > 0，此时𝑔(𝑥) = 𝑥 + − 𝑚， 因为函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图像恰有一个交点，即𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 0有一个解， 得 log 𝑥 · log − 𝑥 − + 𝑚 = 0 ⇒ 𝑚 = 𝑥 + − log 𝑥 · log ， 令𝐻(𝑥) = 𝑥 + − log 𝑥 · log ，得𝑚 = 𝐻(𝑥)仅有一个解， 显然𝐻 = + 𝑥 − log · log 𝑥 = 𝐻(𝑥)， 因为𝑚 = 𝐻(𝑥)，则有𝑚 = 𝐻 ， 要使𝑚 = 𝐻(𝑥)仅有一个解， 只需𝑥 = ⇒ 𝑥 = 4，或𝑥 = −4（舍） 所以𝑚 = 𝐻(4) = . （3）不妨先设𝑎 = 1， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 由题可知ℎ(𝑥) = log 𝑥 · log − 𝑥 − + 𝑚， 显然ℎ = + 𝑥 − log · log 𝑥 + 𝑚 = ℎ(𝑥)， 已知ℎ(𝑥)有两个零点，𝑥 , 𝑥 ，则两个零点满足𝑥 = ， 此时𝑥 𝑥 = 16， 即，函数𝑓(𝑥) = log 𝑥 · log 与函数𝑔(𝑥) = 𝑥 + − 𝑚，的两个交点横坐标满足𝑥 𝑥 = 16； 可知𝑓(𝑥) = log 𝑥 · log = log 𝑥 − (log 𝑥) 利用复合函数单调性可知， 当𝑥 ∈ (0,4)时，𝑓(𝑥)单调递增； 𝑥 ∈ (4, +∞)时，𝑓(𝑥)单调递减； 由对勾函数性质可知𝑔(𝑥) = 𝑥 + − 𝑚 ， 在𝑥 ∈ (0,4)时，此时𝑔(𝑥)单调递减； 在𝑥 ∈ (4, +∞)时，此时(𝑥)单调递増； 得两函数示意图 当𝑎 > 1，此时𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + − 𝑚， 相当于函数𝑔(𝑥) = 𝑥 + − 𝑚 ⇒ 𝑔(𝑎𝑥) = 𝑎𝑥 + − 𝑚， 故所有的横坐标缩小为原来的 倍； 故两函数新的交点横坐标会相对于开始变小，故𝑥 𝑥 < 16. ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版+前四章，集合与逻辑10%+不等式16%+函数30%+指对函数44%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列区间内存在方程的根的是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   7．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 10．已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的图象恒过的定点为 ． 13．已知，则的值为 . 14．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）计算 (1) (2) 16．（15分） 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 17．（15分） 已知函数，. (1)求函数的单调减区间; (2)若函数在区间的最小值为，求实数a的值; (3)证明的图象是轴对称图形. 18．（17分） 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 19．（17分） 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设． (1)判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (2)当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值； (3)当时，设，已知在上有两个零点，证明：． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期第三次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版+前四章，集合与逻辑10%+不等式16%+函数30%+指对函数44%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．下列区间内存在方程的根的是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   7．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法错误的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是减函数 D．在上是减函数 10．已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的图象恒过的定点为 ． 13．已知，则的值为 . 14．已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）计算 (1) (2) 16．（15分） 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 17．（15分） 已知函数，. (1)求函数的单调减区间; (2)若函数在区间的最小值为，求实数a的值; (3)证明的图象是轴对称图形. 18．（17分） 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 19．（17分） 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设． (1)判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (2)当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值； (3)当时，设，已知在上有两个零点，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年高一数学上学期第三次月考卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版+前四章，集合与逻辑 10%+不等式 16%+函数 30%+指对函数 44%。 5．难度系数：0.65。 第一部分（选择题 共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知集合𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑁 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 9}, 𝐵 = {𝑥 ∈ 𝑁 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 10}，则𝐴 ∩ 𝐵 =（ ） A．{𝑥 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 9} B．{1,2,3} C．{𝑥 ∣ 0 ≤ 𝑥 ≤ 3} D．{0,1,2,3} 2．命题“∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 > 0”的否定为（ ） A．∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0 B．∀𝑥 ∉ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0 C．∃𝑥 ∉ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 > 0 D．∃𝑥 ∈ 𝑅，𝑥 + 𝑥 + 1 ≤ 0 3．函数𝑓(𝑥) = √3 − 𝑥 + lg(𝑥 − 1)的定义域为（ ） A．{𝑥|𝑥 ≥ 3} B．{𝑥|𝑥 < 1} C．{𝑥|1 ≤ 𝑥 ≤ 3} D．{𝑥|1 < 𝑥 ≤ 3} 4．如果对于任意实数𝑥，[𝑥]表示不超过𝑥的最大整数，例如[π] = 3，[0.6] = 0，[−1.6] = −2，那么“|𝑥 − 𝑦| < 1” 是“[𝑥] = [𝑦]”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 5．下列区间内存在方程|𝑥 | = 2 的根的是（ ） A．(−2, −1) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 6．函数𝑓(𝑥) = 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数𝑓(𝑥) = 2 , 𝑥 ≥ 0 −2 , 𝑥 < 0 ，则不等式𝑓(2 − 𝑥) > 𝑓(𝑥)的解集为（ ） A．(−∞, −1) B．(−∞, 1) C．(−1, +∞) D．(1, +∞) 8．已知定义在R上的函数𝑓(𝑥)为偶函数，且𝑓(𝑥)在区间(−∞, 0]上是增函数，记𝑎 = 𝑓 log ，𝑏 = 𝑓 log ， 𝑐 = 𝑓 ，则 a，b，c的大小关系是（ ） A．𝑎 < 𝑐 < 𝑏 B．𝑏 < 𝑎 < 𝑐 C．𝑏 < 𝑐 < 𝑎 D．𝑐 < 𝑎 < 𝑏 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 9．已知函数𝑓(𝑥) = |𝑥|，下列说法错误的是（ ） A．𝑓(𝑥)是偶函数 B．𝑓(𝑥)是奇函数 C．𝑓(𝑥)在(0, +∞)上是减函数 D．𝑓(𝑥)在(−∞, 0)上是减函数 10．已知𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅，下列命题为真命题的是（ ） A．若𝑏 < 𝑎 < 0，则𝑏 ⋅ 𝑐 < 𝑎 ⋅ 𝑐 B．若𝑏 > 𝑎 > 0 > 𝑐，则 < C．若𝑐 > 𝑏 > 𝑎 > 0，则 > D．若𝑎 > 𝑏 > 𝑐 > 0，则 > 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 11．已知函数𝑓(𝑥)的定义域为 R，对任意实数𝑥, 𝑦满足𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + ．且𝑓 = 0，当𝑥 > 时， 𝑓(𝑥) > 0，则下列结论正确的是（ ） A．𝑓(0) = − B．𝑓(−1) = C．𝑓(𝑥)为增函数 D．𝑓(𝑥) + 为奇函数 第二部分（非选择题 共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分． 12．函数𝑓(𝑥) = 𝑎 + 2𝑥(𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)的图象恒过的定点为 ． 13．已知2 = 24 = 3，则 的值为 . 14．已知实数𝑎，𝑏满足−1 < 𝑎 < 1 < 𝑏，且𝑎 + 𝑏 = 2，则 + 的最小值为 ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）计算 (1) 2 − (−π) + 3 − (1.5) (2)log √27 + lg25 + lg4 − 7log + log 2 16．（15 分） 对于二次函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)，若∃𝑥 ∈ R，使得𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 成立，则称𝑥 为二次函数 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)的不动点. (1)求二次函数𝑦 = 𝑥 + 2𝑥 − 2的不动点； (2)若二次函数𝑦 = 2𝑥 − (2 + 𝑎)𝑥 + 𝑎 − 1有两个不相等的不动点𝑥 , 𝑥 ，且𝑥 , 𝑥 > 0，求 + 的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 17．（15 分） 已知函数𝑓(𝑥) = log (𝑥 + 2) + log (4 − 𝑥)，(0 < 𝑎 < 1). (1)求函数𝑓(𝑥)的单调减区间; (2)若函数𝑓(𝑥)在区间[0,3]的最小值为−2，求实数 a的值; (3)证明𝑓(𝑥)的图象是轴对称图形. 18．（17 分） 已知函数𝑦 = 𝜑(𝑥)的图象关于点𝑃(𝑎, 𝑏)成中心对称图形的充要条件是𝑦 = 𝜑(𝑎 + 𝑥) − 𝑏是奇函数，给定函数 𝑓(𝑥) = 𝑥 − ． (1)求函数𝑓(𝑥)图象的对称中心； (2)用定义证明𝑓(𝑥)在区间(0, +∞)上的单调性； (3)已知函数𝑔(𝑥)的图象关于点(1,1)对称，且当𝑥 ∈ [0,1]时，𝑔(𝑥) = 𝑥 − 𝑚𝑥 + 𝑚．若对任意𝑥 ∈ [0,2]，总 存在𝑥 ∈ [1,5]，使得𝑔(𝑥 ) = 𝑓(𝑥 )，求实数 m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 19．（17 分） 已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝐷，若存在常数𝑘(𝑘 > 0)，使得对𝐷内的任意𝑥，都有𝑓(𝑥) = 𝑓 ，则称𝑓(𝑥)是“反 比例对称函数”．设𝑓(𝑥) = log 𝑥 · log , 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥 + − 𝑚． (1)判断函数𝑓(𝑥) = log 𝑥 ⋅ log 是否为“反比例对称函数”，并说明理由； (2)当𝑎 = 1时，若函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)的图像恰有一个交点，求𝑚的值； (3)当𝑎 > 1时，设ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)，已知ℎ(𝑥)在(0, +∞)上有两个零点𝑥 , 𝑥 ，证明：𝑥 𝑥 < 16．