14.1 勾股定理（20大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第14章 勾股定理 14.1 勾股定理（20大题型提分练） 题型一 用勾股定理解三角形 1．在中，，则点C到斜边的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理和三角形面积的计算公式是解题关键，先利用勾股定理求出斜边，再利用面积求出斜边上的高即可． 【详解】在中，， 由勾股定理可得，， ， 设点C到斜边的距离是， 三角形的面积为， 解得． 点C到斜边的距离是． 故选：D． 2．在直角中，为的斜边，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，，即可求解； 【详解】解：由题意得：， 故选：B 3．如图，的周长为36，，且，则的长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查勾股定理，根据，设，根据勾股定理求出的长，再根据三角形的周长列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， ∵的周长为36， ∴，解得：， ∴； 故答案为：9． 4．在中，，，，那么 ． 【答案】 【分析】在中，为斜边，可得，根据，即可求得  此题主要考查了勾股定理的灵活运用，本题中已知斜边与一条直角边，正确的运用勾股定理求另一直角边是解答该题的关键． 【详解】解：在直角中，， 为斜边  ∴， ，，    故答案为： 5．如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式．首先根据勾股定理求出的斜边的长度，再根据三角形的面积公式得到等式，把、、代入即可求得的长． 【详解】解：如图所示 在中，，，， 由勾股定理得 ， 中，为斜边上的高， ， ， ，，， ， ． 故答案为：． 题型二 己知两点坐标求两点距离 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：C 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面上两点间的距离，掌握距离公式是解题的关键． 【详解】解：点到原点的距离是， 故选C． 3．在直角坐标平面中，已知，，那么 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中两点间的距离，掌握勾股定理和两点间的距离公式是解题的关键．根据平面直角坐标系中两点间的距离公式，直接求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 4．在平面直角坐标系中，A 、B两点的坐标分别为，那么两点之间的距离 ． 【答案】5 【分析】根据两点间距离公式计算解答即可． 本题考查了两点间距离公式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：A 、B两点的坐标分别为， 故， 故答案为：5． 5．定义：平面直角坐标系中，点和点的距离为，例如：点和的距离为． (1)在平面直角坐标系中，点和点的距离是 ，点和点的距离是 ； (2)在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点M的对应点是，点N的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标； (3)已知在平面直角坐标系内两点坐标，，那么这两点之间距离公式为，求：的最小值． 【答案】(1)6；5 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了两点的距离公式及应用： （1）根据两点距离公式进行计算便可； （2）根据两点距离公式列出m的方程进行解答便可； （3）把变形为，则y可以看作是点到点和的距离之和，从而得到当点时，在以点和为端点的线段上时，点到点和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：点和点的距离是， 点和点的距离是； 故答案为：；5 （2）解：∵，的坐标是，， ∴， 解得：或12， ∴的坐标是或， 当的坐标是时，点M先向左平移6个单位，再向下平移8个单位到达点的位置， ∵，将线段平移到， ∴点的坐标为，即； 当的坐标是时，点M先向左平移6个单位，再向上平移8个单位到达点的位置， ∵，将线段平移到， ∴点的坐标为，即； 终上所述，点的坐标或； （3）解：∵， ∴， ∴y可以看作是点到点和的距离之和， ∴当点在以点和为端点的线段上时，点到点和的距离之和最小， 即y的最小值为点和之间的距离，为． 题型三 勾股树(数)问题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6、7、10 B．12、16、20 C．1、2、3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴6，7，10不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴12、16、20是勾股数，符合题意； C、∵， ∴1，2，3不是勾股数，不符合题意； D、∵都不是正整数， ∴不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A． B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数问题，若三个正整数满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，那么这三个数是勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A、这组数都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵， ∴3，4，5是勾股数，符合题意； C、∵， ∴2，8，10不是勾股数，不符合题意； D、1，，这组数不都是正整数，故1，，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 3．若9、41、m是一组勾股数，则m的值为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键． 分两种情况讨论：当m最大时，当41最大时，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：当m最大时，，不是正整数，舍去 当41最大时， ，符合题意． 故答案为：40． 4．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【答案】 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 【详解】解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 5．判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义(凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.)及勾股定理的逆定理计算判断即可． （1）分别计算三边的平方，即可完成判断； （2）分别计算三边的平方，即可完成判断； （3）根据勾股数不能为分数完成判断； （3）根据勾股数不能为负数完成判断； 【详解】（1）解：因为, 所以3，4，7不是勾股数； （2）因为, 所以5，12，13是勾股数； （3）因为勾股数不能为分数，所以不是勾股数； （4）因为勾股数不能为负数，所以3，-4，5不是勾股数． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为(      ) A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理的应用．根据勾股定理可得，从而可得，，同理，，再根据，代入求值即可． 【详解】解：标记字母如图： 为直角三角形， ， 又， ， ， 同理，，， 在中，，， 所以阴影部分的面积为 ． 故选：D． 2．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形类规律类、等腰直角三角形的性质、勾股定理．先根据题意求得前几个正方形的面积，继而可得第n个正方形的边长为，则，即可求解． 【详解】解：由题意得，第一个正方形的边长为2，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴第二个正方形的边长为， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴第三个正方形的边长为， ∴， 同理可得，第四个正方形的边长为， ∴， ⋯， ∴第n个正方形的边长为， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据勾股定理，结合正方形的面积公式得出是解题的关键． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 4．如图，两个阴影部分都是正方形，两个正方形的面积分别为36，64，则c的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， ∴（负值舍去）， 故答案为：10． 5．综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 【答案】【解决问题】；【拓展探究】结论仍成立，理由见解析；【推广应用】30 【分析】本题主要考查勾股定理； （1）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （2）先分别列式表示出，，，再运用勾股定理可得； （3）先分别求得三个半圆和的面积，且由勾股定理可得两个小半圆面积的和等于大半圆的面积，再根据图中阴影部分的面积等于两个小半圆和的面积的和减去大半圆的面积进行计算即可． 【详解】[解决问题]解：在中，，，，，由勾股定理得： ， 由正方形面积公式可得：， ∴； 故答案为； [拓展探究]解：成立，理由如下： 在中，由勾股定理得：， 根据圆的面积公式可得：， ∴； [推广应用]解：如图， 根据（2）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积． 阴影部分的面积直径为5与直径为12的两个半圆面积之和直角三角形的面积直角为13的半圆 直角三角形的面积， 阴影部分的面积． 题型五 勾股定理与网格问题 1．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理，根据正方形网格（每个小正方形的边长都是1）列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：C． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长． 本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理得： ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 3．图中每个小方格的边长是1，若线段能与线段、组成一个直角三角形，线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查勾股定理，根据勾股定理得出，的长度，然后分为是斜边和是直角边进而利用勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：，， 当是斜边时，， 当是直角边时，， 故答案为：或． 4．如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及正方形的面积的计算．结合网格图，利用勾股定理求正方形边长是解此题的关键．先利用勾股定理计算得长，再利用正方形面积公式即可求得答案． 【详解】∵为直角三角形，由勾股定理得： ， 故易知阴影为正方形， 故 故答案为： 5．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出以为底边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上； (2)在图2中画出以为腰的等腰三角形，点在小正方形的顶点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理： （1）如图所示，取格点B，连接，则等腰三角形即为所求； （2）如图所示，取格点D，连接，则等腰三角形即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，等腰三角形即为所求； （2）解：如图所示，等腰三角形即为所求． 题型六 勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长等于（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，在中，根据勾股定理先求出的值，设，由折叠得，在中，利用勾股定理可求出x的值，即为的长． 【详解】解：在中，， ， 由折叠得，， 设，则，， 在中，， ， 解得， 即， 故选：B． 2．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用．利用平行线的性质以及折叠的性质，即可得到，即，再根据勾股定理可得，最后利用面积法得出，可得，进而依据，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 4．如图：将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，连接．若，，则的面积 ． 【答案】 【分析】求的面积，边是的高，有，利用勾股定理可求出边即可．本题考查了折叠与勾股定理． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 设， ∵使点B与点D重合，折痕为， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， 的面积为． 故答案为：． 5．如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 【答案】 【分析】由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，，得出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长．本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知：，，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， 题型七 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 1．以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理可直接求解． 【详解】解：以4，5为直角边的直角三角形斜边长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 【答案】A 【分析】由勾股定理解答． 【详解】解：由题意得， 直角三角形的斜边为： 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    【答案】21 【分析】根据勾股定理即可解答． 【详解】解：，，， 在中，， 在中，， 又在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理是解题关键． 4．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    【答案】8 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 5．如图，在四边形中，，求的长． 【答案】． 【分析】延长相交于点，中，解得，继而根据含30°角直角三角形的性质解得，，在中，由勾股定理解得的长即可． 【详解】解：延长相交于点， 中， 中， 设 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 题型八 利用勾股定理证明线段平方关系 1．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 2．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据勾股定理逐一判断即可求解． 【详解】解：，，是中，，的对边， 若，则； 若，则； 若，则； 故①②③正确； 只有当时才有， 故④错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 4．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 5．概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    【答案】新意应用：四边形是垂直四边形，理由见解析；性质探究：，证明见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理： 新意应用：连接，根据线段垂直平分线的判定定理，即可求解； 性质探究：根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：新意应用：四边形是垂直四边形， 理由：连接，      ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 即四边形是垂直四边形； 性质探究：，理由如下： ∵， ∴， 由勾股定理得，，， ∴． 题型九 勾股定理的证明方法 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形是边长为c的正方形，则其面积为，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为，根据两种表示方法表示的面积相等即可得到结论． 【详解】解：大正方形是边长为c的正方形，则其面积为， 中间的小正方形是边长为的正方形，则其面积为， 大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积为， ∴，即， 故选：C． 3．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 【答案】③④/④③ 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，解题的关键是理解题意，掌握利用等面积法进行证明．分别求出①②③④的面积，进行化简即可得． 【详解】解：①长方形的面积：， ②， ③， 整理，得， ④， 整理，得， 故答案为：③④． 4．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    【答案】20 【分析】由题意可知:大正方形的边长为，，根据勾股定理和正方形的面积以及题目给出的已知数据即可求的长度． 【详解】解：由题意可知：大正方形的边长为：， 直角三角形边长分别为， 根据勾股定理可得：， 又， 可得：，， ． 故答案为：20 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用几何直观和图形面积，本题属于基础题形． 5．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，首先根据正方形和三角形的面积公式，用含，，的代数式分别表示，，再根据题意列方程即可得到结论． 【详解】证明：根据题意得，图1中空白部分的面积， 图2中空白部分的面积， 由，得， ． 题型十 以弦图为背景的计算题 1．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（   ） A．25 B．19 C．13 D．169 【答案】A 【分析】考查勾股定理的证明，完全平方公式的运算，关键是根据正方形、直角三角形的性质及分析问题解答．根据正方形的面积及直角边的关系，列出，然后求解． 【详解】解：∵它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ∴， 则 故选：A． 2．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可． 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边． 先设直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设大直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，则， ∴， ∵大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是， ∴， 解得（舍去负值）， ∴小正方形的边长为：． 故答案为：． 4．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，则，，，先证明，再证明，即可得到答案． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且， 由题意可知：，，， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴ ， 故答案为：108． 5．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 【答案】(1)，，， (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积为： 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是． 故答案为：，，， （2）解：根据题意得：空白部分的面积为 当，时，原式． 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 1．甲、乙两人玩跑步游戏，两人从同一地点同时出发，甲向西跑了16米，乙向北跑了30米，此时他们两人之间的距离为（   ） A．28米 B．30米 C．32米 D．34米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 根据题意得甲乙二人所走路线构成一个直角，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设甲乙同时从点C出发，甲向西跑了16米为点A，以向北乙向北跑了30米为点B， 甲乙二人所走路线构成一个直角，如图所示： ，，， 在中， 米 故选：D． 2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 3．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 【答案】20米/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是能够将圆柱体的侧面展开，并分析出每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形． 根据题意得到把圆柱体的侧面展开后是长方形，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把圆柱体的侧面展开后是长方形，如图，雕龙把大长方形均分为2个小长方形，则雕刻在石柱上的巨龙的最短长度为2个小长方形的对角线的和， 底面周长约为6米，柱身高约16米， ， ， ∴雕刻在石柱上的巨龙至少为米． 故答案为：20米． 4．一长方形门框宽为1.5米，高为2米．安装门框时为了增强稳定性，在门框的对角线处钉上一根木条，这根木条至少长 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 根据长方形的性质可得木条的长度等于长方形的长和宽的平方和的算术平方根． 【详解】解：木条的长为（米）． 故答案为：． 5．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 【答案】这辆货车不能通过这个大门，理由见解析 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意求出的长，进而求出的长，即可得出答案，根据题意求出的长是解题关键． 【详解】解：这辆货车不能通过这个大门，理由如下： 如图，设与矩形的宽的交点为E，   ， ， ∴， ∴这辆货车不能通过这个大门． 题型十二 勾股定理与无理数 1．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长．先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题， 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ，A为， ， 点表示点数为． 故选：． 2．如图，已知，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，由题意得：，即可求解 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴数轴上C点所表示的数为：， 故选：D 3．数学书本告诉我们：边长为1的正方形的对角线长是，则数轴上的点P表示的实数为 ； 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据点P的位置即可得出结论． 【详解】解：如图，设数轴上表示2的数为点Q， ∵正方形的边长为1， ∴P点表示． 故答案为：． 4．如图，数轴上点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴．先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得， 圆弧半径为， 则点表示的实数为． 故答案为：． 5．在数轴上作出对应的点P． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，如图，轴，截取，根据勾股定理可得，再以点O为圆心，以为半径画弧与数轴的交点P即为所求． 【详解】解：如图在原点右侧作，轴，截取，连接，再以点O为圆心，以为半径画弧与数轴的交点P，则点P即为所求． ∵，， ∴， ∴， ∵点P在原点O的右边， ∴点P表示的数为． 题型十三 判断三边能否构成直角三角形 1．以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可． 【详解】A．， 以为边长能组成直角三角形，故本选项符合题意． B．， 以为边长不能组成三角形，故本选项不符合题意． C．， 以为边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． D．， 以为边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．在中，，，的对边分别是 a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长构成勾股数或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．直角三角形的判定方法，大约有以下几种：①勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；②三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于第三个内角的度数；根据两种情况进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴设，，， ∴， ∴是直角三角形，符合题意； B、由，不能够判断是直角三角形，不符合题意； C、，此时，不能够判断是直角三角形，不符合题意； D、，那么、、，不是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 3．在中，的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 【答案】/90度 【分析】先运用非负数性质求得a，b，c的值，再运用勾股定理的逆定理求得．此题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 4．已知的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则的形状是 【答案】直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理及算术平方根非负数的性质，根据题意得出a，b，c的值是解题关键． 利用绝对值以及偶次方的性质和二次根式的性质得出a，b，c的值，然后利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 5．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，注意计算的准确性即可． （1）根据题意可得，即可判断； （2）由（1）得：，根据，，即可求解； 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵km，km，km， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：∵点A到点B的距离等于点A到点G的距离， ∴， ∵ 又由（1）得：， ∴， 即：， 解得：． 题型十四 图形上与己知两点构成直角三角形的点 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 【答案】D 【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决． 【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选D． 【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 2．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G. 因而共有6个满足条件的顶点. 故选D. 3．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0） 【分析】因为点P、A、B在x轴上，所以P、A、B三点不能构成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC两种情况进行分析即可． 【详解】解：∵点P、A、B在x轴上， ∴P、A、B三点不能构成三角形． 设点P的坐标为（m，0）． 当△PAC为直角三角形时， ①∠APC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠ACP＝90°时，如图， ∵∠ACP＝90° ∴AC2＋PC2＝AP2， ， 解得，m＝， ∴点P的坐标为（，0）； 当△PBC为直角三角形时， ①∠BPC＝90°，易知点P在原点处坐标为（0，0）； ②∠BCP＝90°时， ∵∠BCP＝90°，CO⊥PB， ∴PO＝BO＝2， ∴点P的坐标为（﹣2，0）． 综上所述点P的坐标为（0，0），（，0），（﹣2，0）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类． 4．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 5．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 【答案】见解析 【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置. 【详解】过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②.  【点睛】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理. 题型十五 在网格中判断直角三角形 1．如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，利用勾股定理求，，的长可判断为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：由图可知：，，， ，， ∴为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 2．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分为斜边，以及分别为直角顶点，分类讨论，即可求解． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选：A． 3．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到，再根据三角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 4．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况． 【详解】解：如图所示，即为所求， ∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4， 故答案为：4． 5．（1）在数轴上作出对应的点，（不写作法，保留作图痕迹） 结论： （2）正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点画一个直角三角形，使三边都为无理数． 结论： 【答案】（1）图见详解（答案不唯一）（2）图见详解（答案不唯一） 【分析】（1）过在数轴为2的点作垂线，以数2为圆心，2为半径画圆，与垂线交于A和B点，记原点为O，连接，以为半径画弧，交数轴于点C，结合勾股定理列式，即，据此即可作答． （2）先根据勾股定理算出，因为，所以是直角三角形，则，，这三边都是无理数，即可作答． 本题考查了实数与数轴，勾股定理与勾股逆定理，无理数的定义， 【详解】解：（1）在数轴上作出对应的点，即点C如图所示： ； （2）直角三角形如图所示： 则， ∵， ∴是直角三角形， 则，这三边都是无理数， 即图中直角三角形满足题意（答案不唯一）． 题型十六 利用勾股定理的逆定理求解 1．若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在三角形中，若两较小的边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可得该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形，且两直角边的长分别为1和3， ∴该三角形的面积为， 故选：D． 2．在中，三边长分别为6，8，10，那么的面积为（    ） A．48 B．24 C．30 D．40 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．在一个三角形中，若两较小边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，根据可得到是直角三角形，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵的三边长分别为6，8，10，且， ∴是直角三角形，且两直角边的长为6和8， ∴的面积为， 故选：B． 3．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 4．如果一个三角形的三边分别为1，，，则其面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴边1，为直角边， ∴三角形面积． 故答案为：． 5．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理．连接，勾股定理求得的值，进而根据，求得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴, ∴是直角三角形，且． ∴四边形的面积 ． 题型十七 勾股定理逆定理的实际应用 1．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结．两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形．但由于粗心大意将原本的等长12段分成了等长13段（共14个结），工匠依然握住第1个和最后一个结，两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，此时形成的三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确两条较小边的平方之和与最长边的平方之间的关系，判断出三角形的形状．先设出每两个结之间的距离为a，然后即可表示出各段对应的长度，然后根据两条较小边的平方之和与最长边的平方之间的关系，即可判断该三角形的形状． 【详解】解：设每两个结之间的距离为a，则三段的长度为， ， 此时形成的三角形是钝角三角形， 故选：． 2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（    ） A．60 B．75 C．30 D．78 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明这块沙田是直角三角形，从而得出直角边为5，12，斜边为13，最后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵一块三角形沙田，三条边长分别为5，12，13， ∴，， ∴， ∴这块沙田是直角三角形， 直角边为5，12，斜边为13， ∴这块沙田的面积为 故选：C． 3．一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】垂直 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出“电线杆、地面、拉线围成了直角三角形”，得出电线杆与地面的垂直关系即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵电线杆高，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线，拉线工人发现所用线长为， ∴， ∴电线杆、地面、拉线围成了直角三角形，电线杆与地面的线段是直角边， ∴电线杆与地面垂直， 故答案为：垂直． 4．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 【答案】南偏西 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟练掌握勾股定理的逆定理及方位角是解题的关键． 根据勾股定理逆定理求出，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得：（海里），（海里），，海里， ∴， ∴， ∴， ∴乙船沿南偏西方向航行． 故答案为：南偏西． 5．如图所示的，小明制作一个模具，，，，，，求这个模具的面积． 【答案】这个模具的面积为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．连接，勾股定理求得，进而勾由股定理逆定理得出是直角三角形，进而根据即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 则在中，根据勾股定理得： ， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 答：这个模具的面积是． 题型十八 勾股定理逆定理的拓展问题 1．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的拓展知识，只需比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系即可得解．若三角形的三边分别是、、，是三角形的最长边，则有：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是直角三角形；（3）这个三角形是钝角三角形．掌握利用比较较小的两边的平方和与最长边的平方的大小关系来推导三角形的形状是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 2．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 【详解】解：∵42+92=97＜122， ∴三角形为钝角三角形， ∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部． 3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 【答案】14 【分析】根据勾股定理的几何意义，可得的面积为A、B的面积和，的面积为C、D的面积和，E的面积为F、G的面积之和． 【详解】由题意可知，的面积为2，的面积为3，的面积为5，的面积为4， ∴的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为5， 故的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为9， 同理可得：的面积为：． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 4．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 【答案】1或或． 【分析】根据勾股定理求出AC，再分三种情况：当点P在这AB边上时，当点P在这AD边上时，当点P在这AC边上时，进行讨论即可求解． 【详解】∵Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4， ∴AC＝BD＝＝5， 当点P在这AB边上时，∵，AB＝4， ∴PA＝1； 当点P在这AD边上时，∵， ∴PA2+42＝PB2，即PA2+42＝（3PA）2， 解得PA＝； 当点P在这AC边上时， PE＝AP，AE＝AP，BE＝4﹣AP， ∵， ∴， ∴5PA2+4PA﹣10＝0， 解得PA＝（舍去），PA＝． 故PA的长为1或或． 故答案为：1或或． 【点睛】此题考查了勾股定理，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．注意分类思想的应用． 5．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 【答案】（1）；；  （2）是直角三角形；证明见解析 【分析】（1）根据题意找到规律即可写出； （2）由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：（1）用含（且为整数）的代数式表示，，，为a＝，b＝2n，c＝ 故答案为：；； （2）以a，b，c为边的三角形是直角三角形 证明：∵a＝ n2－1 ，b＝ 2n ，c＝ n2 ＋1     ． ∴a2＝（n2－1）2＝n4－2n2＋1     b2＝（2n）2＝4n2 c2＝（ n2 ＋1）2 ＝n4＋2n2＋1． 又∵ a2＋b2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1 ∴ a2＋b2＝c2 ∴ 以a，b，c为边的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 题型十九 反证法证明中的假设 1．已知五个数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于0.2，首先要假设（    ） A．有1个数小于0.2 B．每个数都小于0.2 C．有1个数大于0.2 D．每个数都大于0.2 【答案】B 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，找出至少有一个大于或等于0.5的反面，得到答案．本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：已知五个正数的和等于1， 用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于0.2， 先要假设这五个正数都小于0.2， 故选：B． 2．用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不小于时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于或等于 D．每一个内角都大于或等于 【答案】B 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不小于”时，首先应该假设这个钝角三角形中每一个内角都小于， 故选：B 3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中 ． 【答案】所有的角都为锐角 【分析】本题考查的是反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中所有的角都为锐角， 故答案为：所有的角都为锐角． 4．用反证法证明“等腰三角形的两个底角小于”，先应假设 ． 【答案】等腰三角形的两个底角大于或等于 【分析】本题考查的是反证法，根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的两个底角大于等于， 故答案为：等腰三角形的两个底角大于等于． 5．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 【答案】见解析． 【分析】假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角，不妨设，则，这与三角形内角和为相矛盾，不成立，由此即可证明． 【详解】证明：假设三角形的三个内角中有两个（或三个）直角， 不妨设，则， 这与三角形内角和为相矛盾，不成立， 所以一个三角形中不能有两个直角． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 题型二十 用反证法证明命题 1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 【答案】C 【分析】本题考查了反证法“假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法”，熟记定义是解题关键．根据反证法的定义即可解答． 【详解】解：由证明过程可知，证明方法是反证法， 故选：C． 2．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤， ③假设在中，， ④由，得，即， ②，这与三角形内角和为矛盾， ①因此假设不成立．， 综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④②①． 故选：C． 3．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ． 【答案】 【分析】根据反证法的特点，假设结论的相反意义成立即可． 【详解】在中，若，则，则应假设， 故答案为：． 【点睛】此题考查了反证法，正确理解反证法的证明思想是解题的关键． 4．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 【答案】③①②⑤④ 【分析】反证法：先假设的结论的反面成立，再通过推论说明假设不成立，从而可得原来结论成立，根据反证法的步骤可得答案． 【详解】证明：③假设； ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． ④∴； 故答案为：③①②⑤④ 【点睛】本题考查的是反证法的含义，掌握反证法的步骤是解本题的关键． 5．如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是反证法，熟知等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键． 假设是钝角或直角，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理进行证明即可． 【详解】证明：假设是钝角或直角． ∵，是底边上的高， ∴． ∵是钝角或直角， ∴，不符合三角形内角和定理， ∴假设不成立， ∴是一个锐角． 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．4，5，6 B．1，2， C．6，8，10 D．5，12，23 【答案】C 【分析】此题考查勾股数，关键是根据满足的三个正整数，称为勾股数解答．根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，但不是正整数，故本选项不符合题意； C、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用勾股定理可知，，即，结合，得到的值． 【详解】解：以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，， ,, 是直角三角形， 即 又 故选：C． 3．如图，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点A，则这个点A表示的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，熟练掌握斜边的求法是解题的关键． 根据勾股定理求出，再根据数轴的特点即可得出答案． 【详解】∵， ∴， ∴点A所表示的数是：． 故选：C． 4．如图，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，设单位正方形的边长为1，由勾股定理得出，，，，再由勾股定理逆定理判断即可得解． 【详解】解：设单位正方形的边长为1， 则，，，， ∵， ∴能构成一个直角三角形三边的线段是、、，故B符合题意， ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 5．下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了用反证法证明命题的正确性，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法． 【详解】解：假设：“好”，则“客”，因为积的末尾是“客”，故“好”或9．若“好”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，则“居”，因为不同的汉字代表不同的数字，引出矛盾．故“好”．显然“好”； 假设：“好”，因为积是五位数，则“客”，因为积的末尾是“客”，故只有“客”，从而“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“好”，因为积是五位数，不同的汉字代表不同的数字，则“客“，但若“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾； 假设：“客”，因为积的末尾是“客”，则“居”，因为积的首是“居”，引出矛盾． 故只有“好”． 故选：C． 6．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 7．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 8．已知，则以x，y，z为边长的三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及非负数的性质，先利用非负数的性质求出x、y、z的值，然后利用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解∶， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴以x，y，z为边长的三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 9．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形． 【答案】3或2或． 【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作BF⊥AD于F， 则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1， ∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得，      当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3， 如图2，作BH⊥AD于H， 仿照上述作法，当∠ACB=90°时， 由勾股定理得，   由得： 解得： 同理可得：当∠ABC=90°时， 综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或． 【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 10．用反证法证明“在中至多有一个直角或钝角”时，应假设 ． 【答案】在中最少有两个直角或钝角 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明“在中至多有一个直角或钝角”时第一步应假设：在中最少有两个直角或钝角， 故答案为：在中最少有两个直角或钝角． 【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 11．如图，在中，，点是、平分线的交点． (1)连接，求证：平分；（不能利用“三角形三条角平分线相交于一点”直接来证明） (2)若，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点O到边的距离是1 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到． （1）过作于，于，于，由角平分线的性质推出，，得到，即可证明平分； （2）由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，即可求出，于是得到点到边的距离是1． 【详解】（1）证明：过作于，于，于， 点是、平分线的交点， ，， ， ，， 平分； （2）解：，，， ， 的面积的面积的面积的面积， ， ， ， 点到边的距离是1． 12．已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质等知识．熟练掌握勾股定理，折叠的性质是解题的关键． （1）由题意知，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由折叠的性质可知，，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长度为； （2）解：由折叠的性质可知，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长度为． 13．2020年全国人民摆脱贫困，奋力奔小康，某村委为完善村里基础设施，决定给村里安上节能路灯如图，已知一路灯灯杆高9米，杆顶部A与地面一固定点C之间要拉一根笔直的铁丝，已知固定点C到旗杆底部B的距离是7米，一工人准备了一根12米长的铁丝，你认为这根铁丝够用吗？（请说明理由） 【答案】这根铁丝够用 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理求出斜边的长，注意勾股定理的灵活运用．根据是个直角三角形，再根据勾股定理可求出的长，再与铁丝的长比较即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， ， ， 这根铁丝够用． 14．如图所示，在中，，，，．求的长． 【答案】15 【分析】本题考查勾股定理和逆定理，先根据勾股定理逆定理，得到，进而得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 15．用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【分析】利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【详解】证明：连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即和不可能互相平分． 【点睛】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理（20大题型提分练） 题型一 用勾股定理解三角形 1．在中，，则点C到斜边的距离是（　　） A． B． C． D． 2．在直角中，为的斜边，，则的长为（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 3．如图，的周长为36，，且，则的长为 ． 4．在中，，，，那么 ． 5．如图，在中，，两直角边，．求斜边上的高的长． 题型二 己知两点坐标求两点距离 1．在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A．2 B．1 C． D．3 2．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B．3 C． D． 3．在直角坐标平面中，已知，，那么 ． 4．在平面直角坐标系中，A 、B两点的坐标分别为，那么两点之间的距离 ． 5．定义：平面直角坐标系中，点和点的距离为，例如：点和的距离为． (1)在平面直角坐标系中，点和点的距离是 ，点和点的距离是 ； (2)在平面直角坐标系中，已知点和，将线段平移到，点M的对应点是，点N的对应点是，若的坐标是，且，求点的坐标； (3)已知在平面直角坐标系内两点坐标，，那么这两点之间距离公式为，求：的最小值． 题型三 勾股树(数)问题 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．6、7、10 B．12、16、20 C．1、2、3 D． 2．在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A． B．3，4，5 C．2，8，10 D．1，， 3．若9、41、m是一组勾股数，则m的值为 ． 4．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 5．判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，分别以的三边为斜边向外作等腰直角三角形，若斜边 ，则 图中阴影部分的面积为(      ) A．6 B．9 C．12 D．18 2．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ． 4．如图，两个阴影部分都是正方形，两个正方形的面积分别为36，64，则c的值为 ． 5．综合与实践 【问题背景】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．如图1，在中，，以Rt的三边长向外作正方形的面积分别为． 【解决问题】试猜想之间存在的等量关系，直接写出结论______． 【拓展探究】如图2，如果以的三边长为直径向外作半圆，那么上面的结论是否成立？请说明理由． 【推广应用】如图3，在中，，三边分别为，分别以它的三边为直径向上作半圆，请直接写出图3中阴影部分的面积． 题型五 勾股定理与网格问题 1．如图，在的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，A，B均在格点上，则线段的长为（　　） A．1 B．2 C． D． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 3．图中每个小方格的边长是1，若线段能与线段、组成一个直角三角形，线段的长度是 ． 4．如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 5．图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出以为底边的等腰三角形，点在小正方形的顶点上； (2)在图2中画出以为腰的等腰三角形，点在小正方形的顶点上． 题型六 勾股定理与折叠问题 1．如图，中，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长等于（　　） A．2 B． C． D．3 2．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，D为斜边上的一动点（不包含A，B两端点），将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，若，则的长为 ．    4．如图：将长方形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为，连接．若，，则的面积 ． 5．如图所示，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，若点在边上，，，求的长． 题型七 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 1．以4，5为直角边的直角三角形斜边长为（    ） A．3 B． C．6 D．7 2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 3．如图，四边形ABCD的对角线交于点O．若，，，则 ．    4．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    5．如图，在四边形中，，求的长． 题型八 利用勾股定理证明线段平方关系 1．在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 2．已知a，b，c是中，，的对边，下列说法正确的有（  ）个 ①若，则+；②若，则；③若，则+；④总有+． A．1 B．2 C．3 D．4 3．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 4．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 5．概念理解：对角线互相垂直的四边形叫做垂直四边形．如图1，四边形中，； 新意应用：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂直四边形吗？请说明理由； 性质探究：如图1，垂直四边形被对角线分成了四个直角三角形，与有什么关系？并证明你的猜想．    题型九 勾股定理的证明方法 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示图形，通过该图形可以验证公式（   ） A． B． C． D． 3．人们很早就发现直角三角形的三边满足的关系，我国汉代“赵爽弦图”（如图）就巧妙的利用图形面积证明了这一关系．下列几何图形中，可以正确的解释直角三角形三边这一关系的图有 ．（直接填写图序号） 4．如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为，较长的直角边长为，大正方形的边长是，那么 ．    5．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为．请利用达芬奇的方法证明勾股定理．    题型十 以弦图为背景的计算题 1．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（   ） A．25 B．19 C．13 D．169 2．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 3．如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为 ． 4．勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ． 5．现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状． (1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：整个组合图形面积表示，方法一：以c为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为 ；根据面积相等，直接得等式 ，化简最后结果是 ，从而证明勾股定理． (2)当，时，求空白部分的面积． 题型十一 用勾股定理构造图形解决问题 1．甲、乙两人玩跑步游戏，两人从同一地点同时出发，甲向西跑了16米，乙向北跑了30米，此时他们两人之间的距离为（   ） A．28米 B．30米 C．32米 D．34米 2．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 3．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为 ． 4．一长方形门框宽为1.5米，高为2米．安装门框时为了增强稳定性，在门框的对角线处钉上一根木条，这根木条至少长 米． 5．某工厂的大门如图所示，其中下方是高为2.3米、宽为2米的矩形，上方是半径为1米的半圆形．货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门？请说明你的理由． 题型十二 勾股定理与无理数 1．如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为（　　） A． B． C． D． 3．数学书本告诉我们：边长为1的正方形的对角线长是，则数轴上的点P表示的实数为 ； 4．如图，数轴上点表示的数是 ． 5．在数轴上作出对应的点P． 题型十三 判断三边能否构成直角三角形 1．以下列各组数为边长的三角形中，是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，的对边分别是 a、b、c．下列条件中，可以判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．在中，的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 4．已知的三边长分别为a，b，c，且这三边长满足，则的形状是 5．笔直的河流一侧有一旅游地点G，河边有两个漂流点A、B，且点A到点B的距离等于点A到点G的距离．近阶段由于点G到点A的路线处于维修中，为方便游客决定在河边新建一个漂流点C（点A、B、C在同一条直线上），并新建一条路，测得km，km，km． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 题型十四 图形上与己知两点构成直角三角形的点 1．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 2．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 3．已知在平面直角坐标系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．点P在x轴上运动，当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为 ． 4．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当 s时，是等腰三角形；当 s时，是直角三角形． 5．如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 题型十五 在网格中判断直角三角形 1．如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 4．如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ． 5．（1）在数轴上作出对应的点，（不写作法，保留作图痕迹） 结论： （2）正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点画一个直角三角形，使三边都为无理数． 结论： 题型十六 利用勾股定理的逆定理求解 1．若一个三角形的三边长分别为1、3和，则这个三角形的面积是（    ） A．3 B． C． D． 2．在中，三边长分别为6，8，10，那么的面积为（    ） A．48 B．24 C．30 D．40 3．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 4．如果一个三角形的三边分别为1，，，则其面积为 ． 5．如图，在四边形中，，，，，．求四边形的面积． 题型十七 勾股定理逆定理的实际应用 1．据说古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结．两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形．但由于粗心大意将原本的等长12段分成了等长13段（共14个结），工匠依然握住第1个和最后一个结，两个助手分别握住第4个和第8个结，拉紧绳子，此时形成的三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 2．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二，大斜十三，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块空角形沙田，三条边长分别为5，12，13，问该沙田的面积为（    ） A．60 B．75 C．30 D．78 3．一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 4．如图，某港口在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点 ，处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么乙船沿 方向航行． 5．如图所示的，小明制作一个模具，，，，，，求这个模具的面积． 题型十八 勾股定理逆定理的拓展问题 1．若一个三角形的三条边的长度分别为，则这个三角形是(   ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（　　　） A． B． C． D． 3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是 ． 4．如图，已知Rt△ABD≌Rt△BAC，AD＝3，AB＝4，∠DAB＝∠CBA＝90°，点P在这两个三角形的边上运动，若，则PA的长为 ． 5．在一次“探究性学习”中，老师设计了如下数表： 2 3 4 5 6 … … 4 6 8 10 12 … … （1）观察上表，用含（且为整数）的代数式表示，，，则 ， ， ． （2）在（1）的条件下判断：以，，为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论． 题型十九 反证法证明中的假设 1．已知五个数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于0.2，首先要假设（    ） A．有1个数小于0.2 B．每个数都小于0.2 C．有1个数大于0.2 D．每个数都大于0.2 2．用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不小于时，首先应该假设这个三角形中（    ） A．有一个内角小于 B．每一个内角都小于 C．有一个内角大于或等于 D．每一个内角都大于或等于 3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，则首先应该提出假设是：这个四边形中 ． 4．用反证法证明“等腰三角形的两个底角小于”，先应假设 ． 5．用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 题型二十 用反证法证明命题 1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角． 已知：． 求证：，，中不能有两个角是直角． 证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，． 于是． 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立． 所以，一个三角形中不能有两个角是直角． 上述证明方法是（    ） A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法 2．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①因此假设不成立． ②，这与三角形内角和为矛盾 ③假设在中， ④由，得，即． 这四个步骤正确的顺序应是（    ） A．④③①② B．①②③④ C．③④②① D．③④①② 3．若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应假设 ． 4．求证：两直线平行，内错角相等． 如图1，若，且，被所截，求证：．    以下是打乱的用反证法证明的过程： ①如图2，过点作直线，使； ②依据“内错角相等，两直线平行”，可得； ③假设； ④∴； ⑤与“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，假设不成立． 证明步骤的正确顺序是 ． 5．如图，在等腰三角形中，，是底边上的高，请你利用反证法证明是一个锐角． 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．4，5，6 B．1，2， C．6，8，10 D．5，12，23 2．如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（    ） A．20 B．30 C．40 D．50 3．如图，以原点O为圆心，以长为半径画弧，交数轴于点A，则这个点A表示的实数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 5．下面算式中，每个汉字代表0，1，2，…，9中的一个数字，不同的汉字代表不同的数字．算式中的乘数应是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 6．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 7．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 8．已知，则以x，y，z为边长的三角形是 三角形． 9．如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为 为直角三角形． 10．用反证法证明“在中至多有一个直角或钝角”时，应假设 ． 11．如图，在中，，点是、平分线的交点． (1)连接，求证：平分；（不能利用“三角形三条角平分线相交于一点”直接来证明） (2)若，，求点到边的距离． 12．已知：如图，长方形中，，沿直线把折叠，点O恰好落在上一点F处． (1)求的长度． (2)求的长度． 13．2020年全国人民摆脱贫困，奋力奔小康，某村委为完善村里基础设施，决定给村里安上节能路灯如图，已知一路灯灯杆高9米，杆顶部A与地面一固定点C之间要拉一根笔直的铁丝，已知固定点C到旗杆底部B的距离是7米，一工人准备了一根12米长的铁丝，你认为这根铁丝够用吗？（请说明理由） 14．如图所示，在中，，，，．求的长． 15．用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$