精品解析：四川省自贡市田家炳中学2024-2025学年九年级上学期期中检测数学试题

自贡市田家炳中学2024-2025学年度上期九年级半期考试数学试卷 姓名 ： 班级： 学号： 一、选择题（共12小题，每题4分，共48分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； C、方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列函数是二次函数的有（　　） （1）y＝1﹣x2；（2）y＝；（3）y＝x（x﹣3）；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝2x+1；（6）y＝2（x+3）2﹣2x2． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可得． 【详解】（1）函数是二次函数； （2）函数不是二次函数； （3）函数整理为，是二次函数； （4）只有当时，函数才是二次函数； （5）函数是一次函数； （6）函数整理为，是一次函数； 综上，是二次函数的为（1）（3），共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题关键． 3. 关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 0或2 D. 0或 【答案】C 【解析】 【分析】利用提取公因式法将原方程化为，得或，求解即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得， 得，， 解得，， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法将二次方程化为一次方程是解题关键． 4. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A. B. 3 C. D. 都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数． 根据题意得到，，即可求得m的范围．要特别注意二次项系数这一条件，当时，方程就是一元一次方程了． 【详解】解：由一元二次方程的定义可知， 解得：． 故选：C． 5. 已知有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据一元二次方程的定义得到，再利用判别式求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 6. 已知点，，是抛物线上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为x=2，判定在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，即可求解. 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的开口，对称轴，函数的增减性，熟练确定函数的增减性，判断点与对称轴的位置关系是解题的关键． 7. 若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能够熟练的利用二次函数的顶点式，得到顶点坐标是解题的关键，利用，可得顶点坐标为，根据顶点在第二象限，即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴顶点为， ∴顶点在第二象限， ∴，， ∴， 故选：D． 8. 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么能正确反映函数y＝ax+b图象的只可能是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查了二次函数图象与系数的关系及一次函数图象与系数的关系. 由图象开口向上可知a大于0，又对称轴x=＜0．可得b＞0，由此可得出此题答案． 解：图象开口向上可知a大于0， 又对称轴x=＜0．可得b＞0， 所以，函数y=ax+b图象是递增趋势，且与y轴的交点坐标大于0， 故选B． 9. 当k取任意实数时，抛物线的顶点所在曲线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据顶点式求得定点坐标，看顶点坐标符合哪一个函数关系式即可求解． 【详解】抛物线的顶点是（）， 可知当x=k时， ，即， 所以（）在抛物线的图象上， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 【答案】A 【解析】 【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4． 故选A． 11. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，先根据一次函数的图象判断的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，即可得出答案，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线与y轴交于点， A、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，符合题意； B、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； C、由可得，则，故抛物线开口向下，即对称轴，不符合题意； D、由可得，则，故抛物线开口向上，即对称轴，不符合题意； 故选：A． 12. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，且，下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴位置得到，利用抛物线与y轴的交点位置得到，则可对①进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；把A点坐标代入解析式可对③进行判断；设A、B两点的横坐标为m，n，则，，利用根与系数的关系可对④进行判断． 【详解】解：由抛物线的开口可知：， 由抛物线与y轴的交点位置可知：， 由对称轴的位置可知：， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点可知：， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴A的横坐标为：c， ∴令， ∴， ∴，则， 故③错误； 设抛物线与x轴交点的横坐标为m，n， ∴，， ∵， ∴，故④正确； 故选：B． 二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分） 13. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 【答案】24或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、勾股定理及其逆定理，解题的关键是分类讨论思想的运用．先解出一元二次方程的两个根，然后分两种情况求出三角形的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ①当三角形的三条边长分别为时，， 根据勾股定理的逆定理可知，此时三角形是直角三角形，两条直角的边长为6与8， 因此三角形的面积为：； ②当三角形的三条边长分别为时，此时三角形为等腰三角形（如图） 利用勾股定理可求得等腰三角形底边上的高： 因此，三角形的面积为： ∴三角形的面积为24或． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据判别式为正，求得m的取值范围，根据范围即可求得最小整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 则m可以取到的整数值是不小于2的整数， 但，即． 故m可以取到的最小整数值是3． 故答案为：3． 15. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义可得及开口向下时即可解答． 【详解】解：根据题意得： 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质． 16. 一元二次方程的解为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴，， ∴． 故答案为：． 17. 二次函数和一次函数的图象，如图所示，则当时，x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数图像在上方部分的x的取值范围即可解答． 【详解】解：由函数图像可得：的解集为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了函数图象与不等式的关系，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 18. 对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的_____ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，根据得到是原方程的一个根，进而得到，判断①；根据根的判别式判断②；把代入方程，判断③；公式法求方程的根，判断④． 【详解】解：当，则：是方程的一个根， ∴；故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴， ∵， ∴，故方程必有两个不相等的实根；故②正确； 把代入，得：，当时，；故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴或， ∴或， ∴；故④正确； 故答案为：①②④ 三、解答题（19-22题每题8分，23-24题每题10分，25题12分，26题14分，共78分．） 19. 解方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）移项，提公因式，根据因式分解法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：， 移项得，， 即， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 移项得，， 配方得，，即， ∴， 解得：，． 20. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【小问1详解】 解：将代入方程可得： ，解得： 【小问2详解】 略 21. 已知是方程的两根，在不解方程的前提下，求下列各式的值． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由一元二次方程的根与系数的关系可得，； （1）将所求式子变形为，然后整体代入上面两个式子计算即可； （2）先求得，再根据平方根的定义计算即可． 【小问1详解】 解：∵，，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴； 【小问2详解】 解：∵，，是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ， ∴． 22. 有三人患了流感，经过两轮传染后共有243人患上流感，那么每轮传染中平均一人传染几人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了8个人． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染人，第二轮传染人，再根据经过两轮传染后共有人患了流感列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 由题意，得， 解得：（舍去），， 答：每轮传染中平均一个人传染了8个人． 23. 阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程、绝对值的性质及一元二次方程的解法，解题的关键是通过换元法将含绝对值的复杂方程转化为普通的一元二次方程，再结合绝对值的非负性对解进行取舍． 先根据，将原方程化为；令，将方程转化为关于的一元二次方程，求解得，；根据绝对值的非负性，舍去；解，得，进而求出，． 【详解】解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了增加盈利，但要保证顾客得到实惠，商场决定采取降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出10件． （1）若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件降价多少元时商场平均每天能获得最大盈利？ 【答案】（1）若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价30元； （2）每件降价20元时商场平均每天能获得最大盈利． 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出，所以此时商场平均每天盈利元，根据商场平均每天要盈利元，为等量关系列出方程求解即可． （2）设商场平均每天盈利元，由（1）可知商场平均每天盈利元与每件衬衫应降价元之间的函数关系为：，用“配方法”求出该函数的最大值，并求出降价多少． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出， 由题意，得， 解，得，， 为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为30， 所以，若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价30元； 【小问2详解】 解：设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元， 由题意，得 ， 当元时，该函数取得最大值2880元， 答：每件降价20元时商场平均每天能获得最大盈利． 25. 如图，在矩形中，．点P从点A开始沿方向向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向C以的速度移动．如果两点分别到达两点停止移动． （1）求运动几秒钟时，五边形的面积为？ （2）移动几秒钟时的面积最大？并求出面积的最大值？ 【答案】（1），两点出发2秒或4秒时，五边形的面积为 （2）当时，有最大值，最大值为9． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，一元二次方程的应用，二次函数的应用． （1）根据秒时，、两点的运动路程，分别表示、的长度，可得的面积，利用五边形的面积为，列得一元二次方程，求解即可； （2）求得，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：第秒钟时，，故，， 故， ． 由题意得； 解得：或4， 即，两点出发2秒或4秒时，五边形的面积为． 【小问2详解】 解：由（1）得， ，，开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为9． 26. 如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接． （1）求、、三点的坐标； （2）若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1），， （2）点坐标 （3）点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令y=0则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，则可表示出点坐标，从而可用表示的长，再利用二次函数的性质即可求解； （3）由（2）可知点坐标，设点，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标． 【小问1详解】 解：对于，令，则， ， 令，则， 解得：，， ，； 【小问2详解】 设的表达式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，最大， 此时点坐标为； 【小问3详解】 ， 抛物线的对称轴为直线， 设，且，， ，，， 为直角三角形， 分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况， 当点为直角顶点时，则有 即， 解得：， 此时点坐标为； 当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：，， 此时点坐标为或， 当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点，三角形的面积，二次函数的性质，勾股定理，方程思想以及分类讨论思想等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 自贡市田家炳中学2024-2025学年度上期九年级半期考试数学试卷 姓名 ： 班级： 学号： 一、选择题（共12小题，每题4分，共48分） 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是二次函数的有（　　） （1）y＝1﹣x2；（2）y＝；（3）y＝x（x﹣3）；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝2x+1；（6）y＝2（x+3）2﹣2x2． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 0或2 D. 0或 4. 如果方程是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A. B. 3 C. D. 都不对 5. 已知有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 已知点，，是抛物线上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么能正确反映函数y＝ax+b图象的只可能是(　　) A. B. C. D. 9. 当k取任意实数时，抛物线的顶点所在曲线是（ ） A. B. C. D. 10. 把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ） A. y＝2（x+3）2+4 B. y＝2（x+3）2﹣4 C. y＝2（x﹣3）2﹣4 D. y＝2（x﹣3）2+4 11. 函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，且，下列结论中正确的个数是（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共6个小题，每题4分，共24分） 13. 已知三角形的两边长是6和8，第三边长是方程的一个根，则该三角形的面积是________． 14. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m可以取到的最小整数值是________． 15. 已知二次函数的图象开口向下，则m的值是______． 16. 一元二次方程的解为，则的值为_______． 17. 二次函数和一次函数的图象，如图所示，则当时，x的取值范围是________． 18. 对于一元二次方程，下列说法 ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则，其中正确的_____ 三、解答题（19-22题每题8分，23-24题每题10分，25题12分，26题14分，共78分．） 19. 解方程 （1） （2） 20. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 21. 已知是方程的两根，在不解方程的前提下，求下列各式的值． （1） （2） 22. 有三人患了流感，经过两轮传染后共有243人患上流感，那么每轮传染中平均一人传染几人？ 23. 阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了增加盈利，但要保证顾客得到实惠，商场决定采取降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价2元，商场平均每天可多售出10件． （1）若商场平均每天要盈利2380元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件降价多少元时商场平均每天能获得最大盈利？ 25. 如图，在矩形中，．点P从点A开始沿方向向点B以的速度移动，同时，点Q从点B开始沿边向C以的速度移动．如果两点分别到达两点停止移动． （1）求运动几秒钟时，五边形的面积为？ （2）移动几秒钟时的面积最大？并求出面积的最大值？ 26. 如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接． （1）求、、三点的坐标； （2）若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $