24．2　圆的基本性质 第3课时　圆心角、弧、弦、弦心距间关系 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

圆心角 相等 弧 弦 弦心距 同圆或等圆 弧 弦 弦心距 < B 60° D D C A 60° 第3课时　圆心角、弧、弦、弦心距间关系 要点感知 1．顶点在圆心的角叫做__圆心角__，圆心角的度数和它所对的弧的度数__相等__． 2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的__弧__相等，所对的__弦__相等，所对弦的__弦心距__相等．在__同圆或等圆__中，如果两个圆心角以及这两个角所对的__弧__、所对的__弦__、所对弦的__弦心距__中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等． 典例导学 如图，已知⊙O中的弦AB＝CD，求证：(1)eq \o(AC,\s\up18(︵))＝eq \o(BD,\s\up18(︵))； (2)∠AOC＝∠BOD. 【自主解答】 (1)∵AB＝CD，∴eq \o(AB,\s\up18(︵))＝eq \o(DC,\s\up18(︵))，∴eq \o(AB,\s\up18(︵))－eq \o(BC,\s\up18(︵))＝eq \o(CD,\s\up18(︵))－eq \o(BC,\s\up18(︵))，即 eq \o(AC,\s\up18(︵))＝eq \o(BD,\s\up18(︵)). (2)由(1)知eq \o(AC,\s\up18(︵))＝eq \o(BD,\s\up18(︵))， ∴∠AOC＝∠BOD. 【名师支招】在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等． 易错易混 【易错原因】不能正确理解圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆中，如果 eq \o(AB,\s\up8(︵))＝2eq \o(CD,\s\up8(︵))，那么弦AB与弦CD的关系为AB____2CD(选填“>”“＝”或“<”)． 【自主解答】 知识点1：圆心角的概念及计算 1．如图，下列各角是圆心角的是 (　　) A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC 2．如图，已知AB为⊙O的直径，点D为半圆周上的一点，且 eq \o(AD,\s\up18(︵))所对圆心角的度数是 eq \o(BD,\s\up18(︵)) 　所对圆心角度数的2倍，则圆心角∠BOD＝__60°__. 知识点2：圆心角、弧、弦、弦心距间关系 3．(淮北模拟)如果两个圆心角相等，那么 (　　) A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 4．如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N，且OM＝ON，则 （ ） A．AB＝CD B．∠AOB＝∠COD C.eq \o(AB,\s\up18(︵))＝eq \o(CD,\s\up18(︵)) D．以上结论都对 5．如图，在⊙O中，eq \o(AB,\s\up18(︵))＝eq \o(AC,\s\up18(︵))，∠AOB＝120°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 证明：∵eq \o(AB,\s\up18(︵))＝eq \o(AC,\s\up18(︵))， ∴∠AOB＝∠AOC. ∵∠AOB＝120°， ∴∠AOB＝∠AOC＝120°， ∴∠BOC＝360°－120°－120°＝120°， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC. 6．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4，则⊙O的周长为 （ ） A．4π B．6π C．8π D．9π 7．(贺州中考)如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，C为 eq \o(BD,\s\up18(︵))　的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为 (　　) A.eq \r(3) B.eq \r(5) C．2eq \r(3) D．2eq \r(5) 8．如图，点C是直径AB的三等分点(AC＜CB)，点D是 eq \o(ADB,\s\up18(︵)) 　 的三等分点(eq \o(BD,\s\up18(︵))＜eq \o(AD,\s\up18(︵)))． (1)∠DOB＝60°； (2)若直径AB＝12，则DC的长为2 . 2eq \r(13) 9．如图，C，D是以线段AB为直径的⊙O上的两点，且四边形OBCD是菱形．求证：eq \o(AD,\s\up18(︵))＝eq \o(DC,\s\up18(︵)). 证明：连接OC. ∵四边形OBCD是菱形，∴DO＝DC. 又∵DO＝CO， ∴△DOC为等边三角形， ∴∠DOC＝60°. 同理可证∠BOC＝60°， ∴∠AOD＝180°－∠BOC－∠DOC＝60°， ∴∠AOD＝∠DOC，∴eq \o(AD,\s\up18(︵))＝eq \o(DC,\s\up18(︵)). 10．如图①，PC是⊙O的直径，PA与PB是弦，且∠APC＝∠BPC. (1)求证：PA＝PB； (2)如果点P是由圆上运动到圆外，PC过圆心．如图②，是否仍有PA＝PB？为什么？ (3)如图③，如果点P由圆上运动到圆内呢？ (1)证明：作OE⊥PA于点E，OF⊥PB于点F， ∵∠APC＝∠BPC， ∴OE＝OF， 可证△POE≌△POF， ∴PE＝PF. 又∵PE＝eq \f(1,2)PA，PF＝eq \f(1,2)PB， ∴PA＝PB. (2)解：仍有PA＝PB. 理由：作OE⊥PA于点E，OF⊥PB于点F， ∵∠APC＝∠BPC， ∴OE＝OF，∴AD＝BG， ∵DE＝AE，GF＝BF， ∴DE＝GF，AE＝BF. ∴Rt△OPE≌Rt△OPF(HL)， ∴PE＝PF.∴PA＝PB. (3)解：作OE⊥PA于点E，OF⊥PB于点F， 设延长AP交圆于点H，延长BP交圆于点G， ∵∠APC＝∠BPC，∴OE＝OF， 根据在同圆中圆心距相等，则相对应的弦相等， ∴AH＝BG，△POE≌△POF(HL)， ∴PE＝PF，AE＝BF，EH＝FG， ∴EH－PE＝GF－PF， 即PH＝PG，∴PA＝PB. $$