24．2　圆的基本性质 第2课时　垂径分弦 课件 2024-2025学年 沪科版数学九年级下册

过圆心 平分 所对的两条弧 垂直 弦心距 2或14 B D B 48° C 4 m 16 (2，6) 4 12或4 第2课时　垂径分弦 要点感知 1．圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条__过圆心__的直线． 2．(1)垂直于弦的直径__平_这条弦，并且平分这条弦_所对的两条弧__； (2)平分弦(不是直径)的直径__垂直__于弦，并且平分弦所对的两条弧； (3)圆心到弦的距离叫做__弦心距__． 典例导学 如图，AB，CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证：eq \o(AC,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵)). 【思路分析】作半径OE⊥AB交圆于E点，利用垂径定理得到相等的弧，两弧相减即可得证． 【自主解答】 作半径OE⊥AB交圆于E点．∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴eq \o(AE,\s\up18(︵))＝eq \o(BE,\s\up18(︵))，eq \o(CE,\s\up18(︵))＝eq \o(DE,\s\up18(︵))，∴eq \o(AE,\s\up18(︵))－eq \o(CE,\s\up18(︵))＝eq \o(BE,\s\up18(︵))－eq \o(DE,\s\up18(︵))，∴eq \o(AC,\s\up18(︵))＝eq \o(BD,\s\up18(︵)). 【名师支招】对于一个圆和一条直线，如果下面五个条件中具备其中两个，其余三个也成立．①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧． 易错易混 【易错原因】忽视圆的轴对称性 已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是____cm. 【自主解答】 知识点1：圆的对称性 1．下列说法中正确的是 (　　) A．直径是圆的对称轴 B．直径所在的直线是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与半径垂直的直线是圆的对称轴 知识点2：垂径定理及其推论 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论中不成立的是 (　　) A．CM＝DM B.eq \o(CB,\s\up18(︵))＝eq \o(BD,\s\up18(︵)) C.eq \o(AC,\s\up18(︵))＝eq \o(AD,\s\up18(︵)) D．OM＝MD 3．(宜昌中考)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为 （ ） A．5 B．4 C．3 D.2 4．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是__48°__. 知识点3：垂径定理的应用 5．如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弦AB的长为 (　　) A．10 cm B．16 cm C．24 cm D．26 cm 6．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径OA＝10 m，桥拱的跨度AB＝16 m，则拱高CD为4 m. 7．(永州中考)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm，则水面AB的宽度为1 6cm. 8．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为(2，6)． 9．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，将劣弧 eq \o(AB,\s\up18(︵))沿弦AB折叠交于OC的中点D. (1)若OB＝6，则OC＝4 ； (2)若AB＝2eq \r(10)，则⊙O的半径为__3 __. 3eq \r(2) 10．如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，且PA＝1 cm，PB＝5 cm，∠DPB＝30°，M为 CD的中点，求OM的长． 解：∵M为CD的中点， ∴OM⊥CD， ∵AP＝1 cm，PB＝5 cm. ∴AO＝BO＝eq \f(1,2)AB＝3 cm. 则OP＝AO－AP＝2 cm. 在Rt△MOP中，∠DPB＝30°， ∴OM＝eq \f(1,2)OP＝1 cm. 11．如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为 18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等，都等于17 m，求MN的长． 解：连接AO，MO.设CD与AB交于点G，与MN交于点H. ∵CD＝18 m，AE＝10 m， AB＝24 m，HD＝17 m. ∴CG＝8 m，AG＝12 m，CH＝1 m. 设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中， OA2＝OG2＋AG2，∴r2＝(r－8)2＋122，解得r＝13. ∴OC＝13 m．∴OH＝13－1＝12(m)． 在Rt△MOH中，OM2＝OH2＋MH2， ∴132＝122＋MH2. ∴MH＝5 m．∴MN＝10 m. 微专题3　从对称的角度看与垂径定理有关的多解问题 【方法指导】圆是轴对称图形，每一条过圆心的直线都是它的对称轴．在运用垂径定理计算有关线段的长时，若题目中没给出图形，注意分类讨论． 【针对训练】 1．已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则 AC的长为2 cm 或4 cm. 2．(牡丹江中考)AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA.若△AOM中有一个角是30°，OM＝2eq \r(3)，则弦AB的长为12或4. 3．在Rt△ABC中，AC＝4 cm，BC＝3 cm，∠ACB＝90°，过点A画直线AP⊥AC，与以点C为圆心，5 cm长为半径的圆交于点P，则线段BP的长为4 cm或2 cm. 4 cm或2eq \r(13) cm 2eq \r(5) cm 或4eq \r(5) cm $$