圆锥曲线的方程单元测试-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

兵团二中第十二师校区数学圆锥曲线的方程单元测试 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知曲线的方程为（），若曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或5 D． 3．已知是抛物线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 5．已知抛物线C：的焦点为F，准线为.点A在抛物线C上，点B在准线上，若是边长为4的等边三角形，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 6．已知点是椭圆的右焦点，关于直线的对称点也在椭圆上，则该椭圆的离心率是 A． B． C． D． 7．已知，分别为椭圆的左，右焦点，上存在两点A，使得梯形的高为（其中为半焦距），且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为双曲线C左支上一点，直线与双曲线C的右支交于点B，且，则（    ） A． B．26 C．25 D．23 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 10．已知方程表示椭圆，下列说法正确的是（    ） A．m的取值范围为 B．若该椭圆的焦点在y轴上，则 C．若，则该椭圆的焦距为4 D．若，则该椭圆经过点 11．已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，，直线左边的抛物线上存在一点，则（    ） A． B． C．若点，则 D．当的面积最大时，面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．椭圆的焦点坐标是 ． 13．抛物线的焦点为，点在抛物线上(点在第二象限)，且，则点坐标为 . 14．已知椭圆的左、右焦点为、，点关于直线的对称点仍在椭圆上，则的周长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 16．（15分）著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式，（分别为椭圆的长半轴长和短半轴长）为后续微积分的开拓奠定了基础，已知椭圆：． (1)求的面积； (2)若直线交于两点，求． 17．（15分）已知圆与直线相切，与圆交于两点，且为圆的直径，圆心的轨迹为． (1)求轨迹的方程； (2)设点是上不同的两点，且直线的斜率均为为轴上一动点，且，求的最小值． 18．（17分）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上）， (1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程； (2)若，，求的面积． 19．（17分）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整． (1)圆上点处的切线方程为 ?请说明理由. (2)椭圆上一点处的切线方程为 ? (3)是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线的方程是 ?这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；    (4)问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得，得．若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，求这个圆的方程? 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ID:3311187 第 1 页 共 2 页 好分数官网：www.haofenshu.com 下载APP查分 关注成绩通知 圆锥曲线方程单元测试卷 数学答题卡 届高三 学校： 班级： 姓名： 座号： 准 考 证 号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 一.单选题(40分) 二.多选题(18分) 三.填空题(15分) 12 13 14 四.解答题 15 16 ID:3311187 第 2 页 共 2 页 请使用2B铅笔填涂选择题答案等选项及考号 17 18 19 圆锥曲线单元检测答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B A B D B AC BC 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据渐近线方程公式即可得到答案. 【详解】双曲线中，则， 故其渐近线方程为. 故选：B. 2．D 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的方程特征进行求解即可. 【详解】若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得． 故选：D． 3．D 【分析】作，利用定义将转化为，然后结合图形可得. 【详解】易知，抛物线的焦点为，准线为， 作，垂足为C， 由抛物线定义可知，， 则由图可知，的最小值为点B到准线l的距离，即. 故选：D    4．B 【分析】由标准方程求得，设并利用两点间距离公式可得，结合二次函数性质可求得其最大值为9. 【详解】易知， 设，则，可得， 所以 ； 由二次函数性质可得当时，取得最大值为9. 故选：B 5．A 【分析】由已知，利用抛物线定义可得，再由等边三角形的边长为4，即可求得，即可得到的值. 【详解】因为是边长为4的等边三角形， 由题意可知，，由抛物线定义可得， 设准线与轴的交点为D，如下图所示： 因此与平行，由 ，可得， 所以，即. 故选：A. 6．B 【分析】设点的坐标为，由对称的关系表示出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆方程中化简可求出椭圆的离心率 【详解】设点的坐标为，因为关于直线的对称点， 所以，即，解得：， 所以点的坐标是， 因为点在椭圆上，所以， 即，整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该椭圆的离心率是， 故选：B． 【点晴】关键点点睛：本题主要考查的是椭圆的简单几何性质和点关于直线的对称点，属于难题．解题的关键是利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于，的方程，由此计算椭圆的离心率． 7．D 【分析】根据，可得，则为梯形的两条底边，作垂足为，则，从而可求得再结合建立a,b,c的关系即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以，则为梯形的两条底边， 作于点，则， 因为梯形的高为，所以， 在中，，则， 即， 设，则，在中由余弦定理，得 ， 即，解得， 同理， 又，所以， 即，所以. 故选：D. 8．B 【分析】 由双曲线定义有，设易得，，在中应用余弦定理求参数，即可求. 【详解】由题设知：， 令，则，， 中，，则， 所以，则，故，则， 所以.    故选：B 9．AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 10．BC 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质依次判断选项即可. 【详解】A：因为方程表示椭圆， 所以，解得，且，故A错误； B：因为椭圆的焦点在y轴上， 所以，解得，故B正确； C：若，则椭圆方程为， 所以，从而，故C正确； D：若，则椭圆方程为， 点的坐标不满足方程，即该椭圆不经过点，故D错误. 故选：BC. 11．ACD 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程联立，由韦达定理可判断A；利用弦长公式求出可判断B；根据是焦点弦，可以得以为直径的圆与准线相切，求出圆与准线的切点可判断点在圆外，可判断C正确；当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最大，设，结合导数可得点坐标，再求点到正弦的距离，再利用可得答案. 【详解】对于A，设直线的方程为， 联立抛物线方程，消去x化简得：， ∴，代入抛物线方程得：，A正确； 对于B，∵，解得，所以，B错误； 对于C：分别做、于、点，弦的中点于， 所以，，， ，所以，所以以为直径的圆与准线相切， 由选项B得，时，，得，时，，得，所以圆心， 所以与准线的切点为，所以点在圆外，所以是锐角，即，C正确；    对于D：直线方程为，斜率为， 当过点的切线与直线平行时，点到直线的距离最大， 当时，，所以，设，所以，得，所以点，此时，所以面积的最大值为，当斜率为时，同理求得面积为，D正确.    故选：ACD. 12．， 【分析】分与两种情况进行求解. 【详解】当时，焦点坐标在轴上，则， 所以，故焦点坐标为； 当时，焦点坐标在轴上，则， 所以，故焦点坐标为 故答案为：， 13． 【分析】根据抛物线定义，满足，根据抛物线方程求得点的坐标即可. 【详解】设，，由抛物线定义知，， ，解得， 代入解得 故答案为： 14． 【分析】由题意首先求得点P的坐标，然后结合椭圆的定义求解焦点三角形的周长即可. 【详解】设， F1关于直线的对称点P坐标为（0，c）， 点P在椭圆上，则：， 则c=b=1,，则， 故的周长为：. 【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系． 15．(1) (2)或 【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程； （2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围. 【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，， 所以双曲线方程为； （2）设直线的方程为， 联立，， 时，，得； 当时，时，，得，满足条件， 综上可知，或. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆方程和椭圆面积公式，即可求解； （2）直线与椭圆方程来努力，利用弦长公式，即可求解. 【详解】（1）椭圆的方程为，所以，， 则，， 所以椭圆的面积； （2）联立，得， ，，， . 17．(1) (2) 【分析】（1）设圆心，得到圆的半径为，再根据为圆的直径，由求解； （2）根据直线的斜率均为，得到三点共线，设直线的方程为，与抛物线方程联立，求得弦长，再根据，得到点在线段的垂直平分线上，从而求得求解. 【详解】（1）设圆心，则圆的半径为， 所以为圆的直径时，由 得，， 则，故轨迹的方程． （2）如图所示： 因为直线的斜率均为，所以三点共线， 则直线的方程为， 由可得， 设，则， 所以 ， 因为，所以点在线段的垂直平分线上， 又， 所以线段的中点坐标为， 则线段的垂直平分线方程为， 令，得，故． 又，所以， 所以， 令，则，所以． 则 当时，的最大值为， 故的最小值为． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案； （2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解 【详解】（1）椭圆的焦点为和， 所以双曲线的，所以， 又双曲线过点，所以， 由，解得， 双曲线的标准方程为 （2）设，由双曲线的定义可得， 在中，由余弦定理， 得， 所以， 则的面积，    19．(1)，理由见解析； (2) (3) (4) 【分析】（1）分情况讨论斜率存在与否，斜率存在时根据直线垂直的斜率表示，利用点斜式即可求得方程，易知斜率不存在时也满足方程，即可得出结果； （2）斜率存在时设出直线方程，联立直线和椭圆方程利用得出表达式，代入整理即可得切线方程，当斜率不存在时切线方程为满足上式； （3）根据同构方程可知点都满足方程，即可知直线的方程； （4）由可知方程的两根乘积为，即可得，即可知点一定在圆上. 【详解】（1）圆上点处的切线方程为． 理由如下： ①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，所以， 又过点，由点斜式可得， 化简可得，， 所以切线的方程为； ②若切线的斜率不存在，则， 此时切线方程为，满足方程； 综上所述，圆上点处的切线方程为． （2）①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 联立方程，整理得， 由可得， 所以 由韦达定理可知，即， 把代入中，得， 所以 化简得． ②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式． 综上，椭圆上一点的切线方程为． （3）在，两点处，椭圆的切线方程为和， 因为两切线都过点， 所以得到了和， 由这两个“同构方程”得到了直线的方程为； （4）问题（3）中两切线斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为 由，可得， 由，得，（*） 因为， 则， 所以（*）式中关于的二次方程有两个解，且其乘积为， 则， 可得， 所以圆的半径为2，圆心为原点，其方程为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$