2025届高考数学一轮复习讲义与课件——集合与常用逻辑用语、不等式之集合

2025届高考数学一轮复习教案讲义（原卷版）——集合与常用逻辑用语、不等式之集合 【知识梳理】 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、 、无序性. (2)元素与集合的关系是 或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法： 、 、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的 ，就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但 元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的 ，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且 ，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何 集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. [常用结论] 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) 2. (必修一P13T1改编)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(∁UB)＝________. 3.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________. 4.(必修一P9T5改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________. 考点一　集合的基本概念 例1 (1)(2023·南充模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A.4 B.5 C.8 D.9 (2)(2024·邵阳质检)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 024＋b2 024的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.±1 方法总结　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 训练1 (1)(2023·石家庄联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|y＝|x|－1}，则集合A∩B的真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A.1 B.1或0 C.0 D.－1或0 考点二　集合间的基本关系 例2 (1)已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2＜0}，则(　　) A.A∩B＝A B.A∪B＝B C.BA D.AB (2)已知集合A＝，B＝.若B⊆A，则实数a的取值范围是________. 方法总结　1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 训练2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x＜0}，则满足AC⊆B的集合C的个数为(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则 a＝(　　) A.2 B.1 C. D.－1 考点三　集合的运算 例3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} (2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN (3)(2021·全国甲卷改编)设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝，且M∩N＝N，则a的取值范围为(　　) A.a≤ B.a＞4 C.a≤4 D.a＞ 方法总结　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 训练3 (1)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝(　　) A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} D.U (2)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{－1，1} D.{0} (3)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　) A.[1，4) B.(1，4) C.[4，＋∞) D.(4，＋∞) 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 例 (2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 训练 (2024·西安调研)某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学的人数为________. 【习题演练】 1.(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，且x∉Q}，则M＝(　　) A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{1，2，3} 2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　) A.{－1，2} B.{1，2} C.{1，4} D.{－1，4} 3.设集合A＝{x|log2(x－1)＜2}，B＝{x|x＜5}，则(　　) A.A＝B B.B⊆A C.A⊆B D.A∩B＝∅ 4.(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A.{2，3，5} B.{1，3，4} C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5} 5.(2024·临汾模拟)已知集合A＝{x|ln x≤1}，B＝{x||2x＋1|≤3}，则A∪B＝(　　) A.{x|－2≤x≤1} B.{x|－2≤x≤e} C.{x|x≤1} D.{x|x≤e} 6.(2024·湖北部分学校联考)设集合M＝，N＝，则集合M∩N的真子集个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2023·盐城模拟)已知集合A＝{0，1，2}，B＝，且B⊆A，则实数x＝(　　) A. B.1 C.或1 D.0 8.(2023·洛阳模拟)设集合A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|2x2＋(a－4)x－2a≤0}，且A∩B＝{x|－1≤x≤1}，则a＝(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 9.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为________. 10.(2024·郑州质检)设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2－6x＋5≤0}，则A∩B＝________. 11.(2023·青岛调研)设A，B，C是非空集合，定义A·B·C＝{x|x∈A，且x∈B，且x∈C}.已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x＋1}，C＝{x|log2x＜3}，则A·B·C＝________. 12.已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1＜x＜2}，且(∁RB)∪A＝R，则实数a的取值范围是________. 13.(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ 14.(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x＜3}，A＝{1，2，3}，∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，则集合B可能为(　　) A.{2，3，4} B.{3，4，5} C.{4，5，6} D.{3，5，6} 15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________. 16.已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能是________. 第 54 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学一轮复习教案讲义（解析版）——集合与常用逻辑用语、不等式之集合 【知识梳理】 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A ⊆B(或B ⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. [常用结论与微点提醒] 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 【诊断自测】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 解析　(1)错误.空集只有一个子集. (2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线 y＝x2＋1上的点集. (3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性. 2. (必修一P13T1改编)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(∁UB)＝________. 答案　{2，4} 解析　易知∁UB＝{2，4，6}，故A∩(∁UB)＝{2，4}. 3.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________. 答案　－ 解析　当m＋2＝3时，m＝1， 此时，m＋2＝2m2＋m＝3，故舍去； 当2m2＋m＝3时，解得m＝－(m＝1舍去). 4.(必修一P9T5改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________. 答案　[2，＋∞) 解析　由图可知a≥2. 考点一　集合的基本概念 例1 (1)(2023·南充模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A.4 B.5 C.8 D.9 答案　B 解析　因为x2＋y2≤，x∈Z， 所以x可取－1，0，1. 当x＝－1时，得y＝0； 当x＝0时，得y＝－1，0或1； 当x＝1时，得y＝0. 所以A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素. (2)(2024·邵阳质检)已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b，0}，则a2 024＋b2 024的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.±1 答案　C 解析　由集合相等可知0∈，且a≠0，则＝0， 所以b＝0，所以a2＝1，解得a＝1或a＝－1. 根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去， 因此a＝－1， 所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1. 方法总结　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 训练1 (1)(2023·石家庄联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|y＝|x|－1}，则集合A∩B的真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 答案　C 解析　结合图象可知，集合A∩B有3个元素，所以集合A∩B的真子集的个数为23－1＝7. (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A.1 B.1或0 C.0 D.－1或0 答案　C 解析　∵－1∈A， 若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性； 若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0. 考点二　集合间的基本关系 例2 (1)已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2＜0}，则(　　) A.A∩B＝A B.A∪B＝B C.BA D.AB 答案　C 解析　由x＋1＞0，得x＞－1， ∴A＝{x∈Z|x＞－1}＝{0，1，2，3，…}. 由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2， ∴B＝{0，1}，∴A∩B＝B，A∪B＝A，BA. (2)已知集合A＝，B＝.若B⊆A，则实数a的取值范围是________. 答案　[0，＋∞) 解析　由＜，得－＜x－＜， 解得0＜x＜，即A＝. 当a≥时，B＝∅，满足B⊆A； 当a＜时，因为B⊆A，所以0≤a＜. 综上，实数a的取值范围是[0，＋∞). 方法总结　1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 训练2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x＜0}，则满足AC⊆B的集合C的个数为(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 答案　C 解析　∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且AC⊆B， ∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则 a＝(　　) A.2 B.1 C. D.－1 答案　B 解析　依题意，有a－2＝0或2a－2＝0. 当a－2＝0时，解得a＝2， 此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B； 当2a－2＝0时，解得a＝1， 此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B. 所以a＝1，故选B. 考点三　集合的运算 例3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 答案　C 解析　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3，或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C. (2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN 答案　A 解析　因为M∪N＝{x|x＜2}， 所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A. (3)(2021·全国甲卷改编)设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝，且M∩N＝N，则a的取值范围为(　　) A.a≤ B.a＞4 C.a≤4 D.a＞ 答案　C 解析　由M∩N＝N，∴M⊇N. 当N＝∅时，即a≤成立； 当N≠∅时，借助数轴易知＜a≤4. 综上，a≤4. 感悟提升　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 训练3 (1)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝(　　) A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} D.U 答案　A 解析　由题意知，∁UN＝{2，4，8}， 所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}. (2)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{－1，1} D.{0} 答案　D 解析　B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B). 又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}， 所以∁U(A∪B)＝{0}. (3)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　) A.[1，4) B.(1，4) C.[4，＋∞) D.(4，＋∞) 答案　A 解析　由题意可得A＝{x|1<x<4}， 因为A∪B＝{x|x>1}，所以1≤a<4. 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 例 (2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% 答案　C 解析　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图， 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x， 则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%， 解得x＝46%. 训练 (2024·西安调研)某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学的人数为________. 答案　106 解析　设集合A，B，C分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出Venn图，如图所示. 由图可知，高一年级参加比赛的同学的人数为46＋37＋1＋12＋2＋6＋2＝106. 习题演练 1.(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，且x∉Q}，则M＝(　　) A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{1，2，3} 答案　A 解析　由M＝{x|x∈P，且x∉Q}知，M＝{1}. 2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　) A.{－1，2} B.{1，2} C.{1，4} D.{－1，4} 答案　B 解析　由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1， 解得0≤x≤2， 所以B＝{x|0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}. 3.设集合A＝{x|log2(x－1)＜2}，B＝{x|x＜5}，则(　　) A.A＝B B.B⊆A C.A⊆B D.A∩B＝∅ 答案　C 解析　由log2(x－1)＜2得0＜x－1＜4， 解得1＜x＜5，则A＝{x|1＜x＜5}， 又B＝{x|x＜5}，所以A⊆B. 4.(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A.{2，3，5} B.{1，3，4} C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5} 答案　A 解析　由题意知，∁UM＝{2，3，5}， 又N＝{2，5}，所以N∪∁UM＝{2，3，5}，故选A. 5.(2024·临汾模拟)已知集合A＝{x|ln x≤1}，B＝{x||2x＋1|≤3}，则A∪B＝(　　) A.{x|－2≤x≤1} B.{x|－2≤x≤e} C.{x|x≤1} D.{x|x≤e} 答案　B 解析　易知ln x≤1的解集为{x|0<x≤e}， 则A＝{x|0<x≤e}. 由|2x＋1|≤3可得－3≤2x＋1≤3， 即－2≤x≤1，所以B＝{x|－2≤x≤1}. 所以A∪B＝{x|－2≤x≤e}. 6.(2024·湖北部分学校联考)设集合M＝，N＝，则集合M∩N的真子集个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　联立解得或 所以集合M∩N含有2个元素，其真子集的个数为22－1＝3. 7.(2023·盐城模拟)已知集合A＝{0，1，2}，B＝，且B⊆A，则实数x＝(　　) A. B.1 C.或1 D.0 答案　A 解析　因为集合A＝{0，1，2}，B＝，B⊆A，所以由集合中元素的互异性及子集的概念可知＝2，解得x＝. 8.(2023·洛阳模拟)设集合A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|2x2＋(a－4)x－2a≤0}，且A∩B＝{x|－1≤x≤1}，则a＝(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 答案　C 解析　由2x2＋(a－4)x－2a≤0， 得(2x＋a)(x－2)≤0， 当－＝2，即a＝－4时，B＝{2}， 此时A∩B＝∅，不符合题意； 当－>2，即a<－4时，B＝， 此时A∩B＝∅，不符合题意； 当－<2，即a>－4时，B＝， 因为A＝{x|－2≤x≤1}，A∩B＝{x|－1≤x≤1}， 所以－＝－1，解得a＝2. 9.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为________. 答案　{x|0＜x≤6} 解析　由题图知阴影部分所表示的集合为A∩B＝{x|0＜x≤6}. 10.(2024·郑州质检)设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2－6x＋5≤0}，则A∩B＝________. 答案　[1，3] 解析　由x2－6x＋5＝(x－1)(x－5)≤0， 解得1≤x≤5，即B＝[1，5]， 又A＝{x|x≤3}，∴A∩B＝[1，3]. 11.(2023·青岛调研)设A，B，C是非空集合，定义A·B·C＝{x|x∈A，且x∈B，且x∈C}.已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x＋1}，C＝{x|log2x＜3}，则A·B·C＝________. 答案　(1，8) 解析　因为A＝{x|y＝}＝{x|x2＋4x≥0}＝{x|x≤－4，或x≥0}， B＝{y|y＝3x＋1}＝{y|y＞1}， C＝{x|log2x＜3}＝{x|0＜x＜8}， 所以A·B·C＝(1，8). 12.已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1＜x＜2}，且(∁RB)∪A＝R，则实数a的取值范围是________. 答案　[2，＋∞) 解析　由已知可得A＝(－∞，a)， ∁RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)， ∵(∁RB)∪A＝R，∴a≥2. 13.(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ 答案　A 解析　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A. 14.(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x＜3}，A＝{1，2，3}，∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，则集合B可能为(　　) A.{2，3，4} B.{3，4，5} C.{4，5，6} D.{3，5，6} 答案　BD 解析　由log2x＜3得0＜x＜23，即0＜x＜8，于是得全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}， 因为∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，则有A∩B＝{3}，3∈B，C不正确； 若B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3}，∁U(A∩B)＝{1，4，5，6，7}，矛盾，A不正确； 若B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，B正确； 若B＝{3，5，6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，D正确. 15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是________. 答案　[0，＋∞) 解析　①当2m≥1－m， 即m≥时，B＝∅，符合题意； ②当2m＜1－m，即m＜时， 因为A∩B＝∅，所以1－m≤1或2m≥3， 解得0≤m＜. 综上，实数m的取值范围是[0，＋∞). 16.已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能是________. 答案　0，－， 解析　由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3， 所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，B⊆A成立， 此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0； 当B≠∅时，得m≠0， 则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝， 因为B⊆A，所以－＝－3或－＝2， 解得m＝或－， 综上，m＝0，或－. 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高考数学一轮复习讲义课件——集合与常用逻辑用语、不等式之集合 知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性. (2)元素与集合的关系是______或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：________、________、图示法. 互异性 属于 列举法 描述法 (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ____ ____________ ____ ____ ____ N N*或N＋ Z Q R 3 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的______，就称集合A为集合B的子集.记作A ____B(或B ____A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但______元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的________，记作AB(或BA). (3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何______集合的真子集. 元素 ⊆ ⊇ 存在 真子集 B⊆A 非空 4 3.集合的基本运算   集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} _________________ {x|x∈U，且x∉A} {x|x∈A,且x∈B} 5 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 6 常用结论 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.(　　) (3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.(　　) (4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.(　　) × × × √ 解析　(1)错误.空集只有一个子集. (2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集. (3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性. 2. (必修一P13T1改编)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩(∁UB)＝________. {2，4} 解析　易知∁UB＝{2，4，6}，故A∩(∁UB)＝{2，4}. 3.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________. 解析　当m＋2＝3时，m＝1， 此时，m＋2＝2m2＋m＝3，故舍去； 4.(必修一P9T5改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是__________. [2，＋∞) 解析　由图可知a≥2. 考点一　集合的基本概念 B 所以x可取－1，0，1. 当x＝－1时，得y＝0； 当x＝0时，得y＝－1，0或1； 当x＝1时，得y＝0. 所以A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素. C 所以b＝0，所以a2＝1， 解得a＝1或a＝－1. 根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去， 因此a＝－1， 所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1. 方法总结 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 训练1 (1)(2023·石家庄联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|y＝|x|－1}，则集合A∩B的真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 C 解析　结合图象可知，集合A∩B有3个元素，所以集合A∩B的真子集的个数为23－1＝7. (2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A.1 B.1或0 C.0 D.－1或0 C 解析　∵－1∈A， 若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性； 若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0. 考点二　集合间的基本关系 例2 (1)已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2＜0}，则(　　) A.A∩B＝A B.A∪B＝B C.BA D.AB C 解析　由x＋1＞0，得x＞－1， ∴A＝{x∈Z|x＞－1}＝{0，1，2，3，…}. 由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2， ∴B＝{0，1}，∴A∩B＝B，A∪B＝A，BA. [0，＋∞) 综上，实数a的取值范围是[0，＋∞). 方法总结 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. 训练2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x＜0}，则满足AC⊆B的集合C的个数为(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 C 解析　∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且AC⊆B， ∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个. B 解析　依题意，有a－2＝0或2a－2＝0. 当a－2＝0时，解得a＝2， 此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B； 当2a－2＝0时，解得a＝1， 此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B. 所以a＝1，故选B. 考点三　集合的运算 例3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(　　) A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} C 解析　因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3，或x≤－2}， 所以M∩N＝{－2}，故选C. (2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝(　　) A.∁U(M∪N) B.N∪∁UM C.∁U(M∩N) D.M∪∁UN A 解析　因为M∪N＝{x|x＜2}， 所以∁U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A. C 解析　由M∩N＝N，∴M⊇N. 综上，a≤4. 方法总结 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况. 训练3 (1)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝(　　) A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} D.U A 解析　由题意知，∁UN＝{2，4，8}， 所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}. (2)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A.{－1，0，1} B.{－1，0} C.{－1，1} D.{0} D 解析　B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B). 又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}， 所以∁U(A∪B)＝{0}. (3)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是(　　) A.[1，4) B.(1，4) C.[4，＋∞) D.(4，＋∞) A 解析　由题意可得A＝{x|1<x<4}， 因为A∪B＝{x|x>1}， 所以1≤a<4. 　 Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数. 例 (2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　) A.62% B.56% C.46% D.42% C 解析　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图， 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x， 则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%， 解得x＝46%. 训练 (2024·西安调研)某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学的人数为________. 106 解析　设集合A，B，C分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出Venn图，如图所示. 由图可知，高一年级参加比赛的同学的人数为46＋37＋1＋12＋2＋6＋2＝106. 习题演练 1.(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，且x∉Q}，则M＝(　　) A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{1，2，3} A 解析　由M＝{x|x∈P，且x∉Q}知，M＝{1}. 2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝(　　) A.{－1，2} B.{1，2} C.{1，4} D.{－1，4} B 解析　由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1， 解得0≤x≤2， 所以B＝{x|0≤x≤2}， 所以A∩B＝{1，2}. 3.设集合A＝{x|log2(x－1)＜2}，B＝{x|x＜5}，则(　　) A.A＝B B.B⊆A C.A⊆B D.A∩B＝∅ C 解析　由log2(x－1)＜2得0＜x－1＜4， 解得1＜x＜5，则A＝{x|1＜x＜5}， 又B＝{x|x＜5}， 所以A⊆B. 4.(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝(　　) A.{2，3，5} B.{1，3，4} C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5} A 解析　由题意知，∁UM＝{2，3，5}， 又N＝{2，5}， 所以N∪∁UM＝{2，3，5}，故选A. 5.(2024·临汾模拟)已知集合A＝{x|ln x≤1}，B＝{x||2x＋1|≤3}，则A∪B＝(　　) A.{x|－2≤x≤1} B.{x|－2≤x≤e} C.{x|x≤1} D.{x|x≤e} B 解析　易知ln x≤1的解集为{x|0<x≤e}， 则A＝{x|0<x≤e}. 由|2x＋1|≤3可得－3≤2x＋1≤3， 即－2≤x≤1， 所以B＝{x|－2≤x≤1}. 所以A∪B＝{x|－2≤x≤e}. C 所以集合M∩N含有2个元素，其真子集的个数为22－1＝3. A 8.(2023·洛阳模拟)设集合A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|2x2＋(a－4)x－2a≤0}，且A∩B＝{x|－1≤x≤1}，则a＝(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 C 解析　由2x2＋(a－4)x－2a≤0， 得(2x＋a)(x－2)≤0， 因为A＝{x|－2≤x≤1}，A∩B＝{x|－1≤x≤1}， 9.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为_____________. {x|0＜x≤6} 解析　由题图知阴影部分所表示的集合为A∩B＝{x|0＜x≤6}. 10.(2024·郑州质检)设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2－6x＋5≤0}，则A∩B＝________. [1，3] 解析　由x2－6x＋5＝(x－1)(x－5)≤0， 解得1≤x≤5， 即B＝[1，5]， 又A＝{x|x≤3}， ∴A∩B＝[1，3]. (1，8) B＝{y|y＝3x＋1}＝{y|y＞1}， C＝{x|log2x＜3}＝{x|0＜x＜8}， 所以A·B·C＝(1，8). 12.已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1＜x＜2}，且(∁RB)∪A＝R，则实数a的取值范围是____________. [2，＋∞) 解析　由已知可得A＝(－∞，a)， ∁RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)， ∵(∁RB)∪A＝R， ∴a≥2. 13.(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ A 解析　集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A. 14.(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x＜3}，A＝{1，2，3}，∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，则集合B可能为(　　) A.{2，3，4} B.{3，4，5} C.{4，5，6} D.{3，5，6} BD 解析　由log2x＜3得0＜x＜23，即0＜x＜8，于是得全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}， 因为∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，则有A∩B＝{3}，3∈B，C不正确； 若B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3}， ∁U (A∩B)＝{1，4，5，6，7}，矛盾， A不正确； 若B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3}， ∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，B正确； 若B＝{3，5，6}，则A∩B＝{3}， ∁U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，D正确. 15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝∅，则实数m的取值范围是____________. [0，＋∞) 解析　①当2m≥1－m， 16.已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可 能是_____________. 解析　由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3， 所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}， 因为A∪B＝A，所以B⊆A， 当B＝∅时，B⊆A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0； 当B≠∅时，得m≠0， － 当2m2＋m＝3时，解得m＝－eq \f(3,2)(m＝1舍去). 例1 (1)(2023·南充模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤eq \r(3)，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A.4 B.5 C.8 D.9 解析　因为x2＋y2≤，x∈Z， (2)(2024·邵阳质检)已知a，b∈R，若eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b，0}，则a2 024＋b2 024的值为(　　) A.－1 B.0 C.1 D.±1 解析　由集合相等可知0∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，且a≠0，则eq \f(b,a)＝0， 当a≥时，B＝∅，满足B⊆A； 当a＜时，因为B⊆A，所以0≤a＜. (2)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))))＜\f(1,4)) )，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|a＜x＜\f(1,2))).若B⊆A，则实数a的取值范围是_____________. 解析　由＜，得－＜x－＜， 解得0＜x＜，即A＝. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A.2 B.1 C.eq \f(2,3) D.－1 (3)(2021·全国甲卷改编)设集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,3)≤x＜a))，且M∩N＝N，则a的取值范围为(　　) A.a≤eq \f(1,3) B.a＞4 C.a≤4 D.a＞eq \f(1,3) 当N＝∅时，即a≤成立； 当N≠∅时，借助数轴易知＜a≤4. 6.(2024·湖北部分学校联考)设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）|\f(x,4)＋\f(y,3)＝1))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）|\f(x2,4)＋\f(y,3)＝1))，则集合M∩N的真子集个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋\f(y,3)＝1，,\f(x2,4)＋\f(y,3)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(9,4)，)) 7.(2023·盐城模拟)已知集合A＝{0，1，2}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,x)))，且B⊆A，则实数x＝(　　) A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(1,2)或1 D.0 解析　因为集合A＝{0，1，2}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,x)))，B⊆A， 所以由集合中元素的互异性及子集的概念可知eq \f(1,x)＝2，解得x＝eq \f(1,2). 当－eq \f(a,2)>2，即a<－4时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2≤x≤－\f(a,2)))， 此时A∩B＝∅，不符合题意； 当－＝2，即a＝－4时，B＝{2}， 此时A∩B＝∅，不符合题意； 当－eq \f(a,2)<2，即a>－4时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(a,2)≤x≤2))， 所以－＝－1，解得a＝2. 11.(2023·青岛调研)设A，B，C是非空集合，定义A·B·C＝{x|x∈A，且x∈B，且x∈C}.已知A＝{x|y＝eq \r(x2＋4x)}，B＝{y|y＝3x＋1}，C＝{x|log2x＜3}，则A·B·C＝___________. 解析　因为A＝{x|y＝eq \r(x2＋4x)}＝{x|x2＋4x≥0}＝{x|x≤－4，或x≥0}， 因为A∩B＝∅，所以1－m≤1或2m≥3， 解得0≤m＜. 综上，实数m的取值范围是[0，＋∞). 即m≥时，B＝∅，符合题意； ②当2m＜1－m，即m＜时， 解得m＝eq \f(1,3)或－eq \f(1,2)，综上，m＝0，eq \f(1,3)或－eq \f(1,2). 0，－， 则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝， 因为B⊆A，所以－＝－3或－＝2， $$