17.1 勾股定理 教学设计 2023—2024学年人教版数学八年级下册

17.1 勾股定理 教材分析 勾股定理是初等几何中最重要的定理之一.它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是直角三角形的一条重要性质，它可以用来解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在实际生产生活中用途广泛.它不仅在数学中十分重要，在其他自然科学中也被广泛地应用. 本节不仅是直角三角形相关知识的延续，也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性.此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，蕴含着丰富的人文与科学价值. 学情分析 八年级的学生虽然缺乏七年级学生那种强烈的新奇感，但他们已具备了一定的动手能力、分析归纳能力，而且勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上学习的，所以只要教师能通过各种教学手段调动学生的学习积极性，并进行适当的引导，他们就能够在勾股定理这一主题里展开探索，在探索中理解并掌握勾股定理. 勾股定理（第1课时） 教学分析 教学目标 1．数学抽象目标：通过对几种常见的勾股定理验证方法的分析和欣赏，理解数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想方法，进一步感悟勾股定理的文化价值. 2．逻辑推理目标：通过拼图活动，尝试验证勾股定理，培养学生的动手实践和创新能力. 3．数学运算目标：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决实际问题. 4．数据分析目标：让学生经历查询资料、自主探究、合作交流、观察比较、计算推理、动手操作等过程，获得一些研究问题的方法，取得克服困难的经验，培养学生良好的思维品质，增进他们数学学习的信心. 课前准备 教师：多媒体辅助教学，正方形纸片、纸板、四个全等的直角三角形纸片. 学生：预习新课、正方形纸片、纸板、四个全等的直角三角形纸片. 教学过程设计 一、设计问题，创设情境 展示图片：2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的场景，并抽象出会徽的图案.为什么在如此重要的大会上采用该图案做会徽？ 问题1 这个图案由哪些基本图形组成？ 学生回答：这个图形由四个全等的直角三角形组成了一个大正方形，中间还有一个小正方形.大正方形的边长是直角三角形的斜边，小正方形的边长是两个直角边的差. 问题2 直角三角形三边满足什么样的数量关系？ （设计意图：重视引言，紧扣课题，自然引入，设置悬念，同时渗透爱国主义教育.） 二、学生探索，尝试解决 在2500多年前，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯就已经对此问题有了明确的结论并给予了证明，相传他对三角形三边关系的发现竟然是从地砖中得到的，现在就让我们一同回到2500多年前，体验一下毕达哥拉斯发现定理的经历： 数学家毕达哥拉斯的发现：A，B，C的面积有什么关系？ 即 等腰直角三角形三边有什么关系？ 两直角边的平方和等于斜边的平方. 活动1 探寻“地砖里的秘密”，发现等腰直角三角形三边之间的关系. 地砖中隐含着直角三角形三边关系的什么“秘密”呢？ 问题1 观察地砖图案，你能看到哪些基本的图形？ 问题2 最小的基本图形是什么形状？ 学生回答：等腰直角三角形，它是最基本的图形单位. 问题3 地砖是由全等的等腰直角三角形拼接而成的， 每个直角三角形都有相邻如图的三个正方形，这三个正方形的面积问有怎样的关系？你是怎样看出来的？ （对于理解起来有困难的同学，可提示用小学里学过的“单位面积度量法”来表示每个正方形的面积，即每个正方形所包含的图形单位的个数.进而发现：2+2=4.) 问题4 如果用等腰直角三角形三边长a，b，c米分别表示这三个正方形的面积，又将反映三边怎样的数量关系？ 【发现】等腰直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 问题5等腰直角三角形满足上述关系，那么一般直角三角形呢？ 活动2 从特殊到一般，探寻一般直角三角形三边之间的关系. （1） 在网格背景下探究一般直角三角形三边之间的关系 问题1 观察图形，从图中能获得哪些信息？（在ΔABC 中， F E N B L P C A D 7 ② （每 个 小正 方 形 的 边 “ 1” ) 问题2 探寻三边关系的关键是要知道三边各自的长度，这里还缺少斜边AB的长度，如何求AB的长？ 预设：直接求AB有困难，不妨先求出AB2，因为AB代表正方形R的面积. 问题3 如何求正方形R的面积？有什么困难？ 正方形R的面积难以直接数出来. 问题4 怎样求正方形R的面积？ 预案：用补法，补成边长为4+3=7的大正方形CDEF，正方形R的面积 用割法：割成边长为4-3=1的小正方形LHNM，正方形R的面积 由此发现：正方形R的面积等于25，该直角三角形的斜边为5． 问题5 直角边长为3和4，斜边为5的直角三角形的三边，是否仍然具有两直角边的平方和等于斜边平方的关系？ 数值验证，肯定结论： （2）猜想结论 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 在RtΔABC中，如果两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 （3）验证结论 问题1 对任意的直角三角形，上述猜想仍成立吗？（阐明证明的必要性） 问题2 摆脱具体数值的局限，一般情况下，如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，如何证明 问题3 这个等式中a2，b2和2可以表示什么几何意义？和2分别表示以a，b和c为边长的三个正方形的面积 问题4 既然都和正方形相关，那么你能用手中的四个直角三角形（全等的）摆出【活动2】问题1中的正方形LHNM或正方形CDEF吗？ 布置任务请大家四人一组拼图，在拼图的过程中思考，能否用类似的方法证明上述的猜想. 活动3 尝试用面积证法验证勾股定理． 证法一、“赵爽弦图”证法 大正方形的面积：c2． 小正方形的面积： 四个直角三角形的面积： 所以，即 证法二、“总统”证法 梯形ABCD的面积： 三个直角三角形的面积： , 所, 即 通过实验和推理，我们证实了前面猜想的正确性，这就是著名的勾股定理.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.在西方，也将此称为毕达哥拉斯定理. （设计意图：让学生通过观察、计算、探讨、归纳，进一步发现一般直角三角形的性质.两种有趣的证法既提高了学生的学习兴趣，又加深了学生对面积证法的理解，同时也开阔了学生的视野.） 三、信息交流，得出新知 文字语言表述：勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言表述：在RtΔABC中， :AB=c, （设计意图：用文字语言和数学语言两种方式帮助学生理解该定理的题设和结论，为后面的应用作准备.） 四、跟踪练习，巩固新知 练习1 求图中字母所代表的正方形的面积． 练习2 如图，所有的三角形都是直角三角形．四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12,16,9，12．求最大正方形E的面积． 练习3 求下列直角三角形中未知边的长度． 4 （设计意图：让学生掌握以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积与直角三角形三边间的数量关系，并且通过变式训练提高学生的识图能力.） 五、变式演练，深化提高 【例1】如图，在ΔABC中，AB=13cm,BC=5cm,CDLAB于D，求： （1）AC的长； (2) （3）CD的长． 分析：（1）由于在ΔABC中，BC=5cm,，根据勾股定理即可求出AC的长；（2）直接利用三角形的面积公式即可求出；（3）根据面积公式得到CD·AB=BC⋅A即可求出CD. 解：（1）：在ΔABC中，5 (2) (3) : （设计意图：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程，这种求直角三角形斜边上高的方法称为等积法.） 【例2】在ΔABC中，AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12试求ΔABC的周长. 分析：本题应分ΔABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论. 解：此题应分两种情况说明： （1）当ΔABC为锐角三角形时，如图①所示. 在RtΔABD中, 在RtΔACD ☆ 则BC=5+9=14,ΔABC的周长为15+13+14=42. 图① 图② （2）当ΔABC为钝角三角形时，如图②所示． 在RtΔABD中， 在RtΔACD中， 则BC=9-5=4，ΔABC的周长为15+13+4=32. 故当ΔABC为锐角三角形时，ΔABC的周长为42；- 当ΔABC为钝角三角形时，ΔABC的周长为32． （设计意图：解此类题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意，再分别求解.） 六、交流分享，共同成长 1．在直角三角形中，已知任意两边的长，可以求第三边或利用勾股定理列方程. 2．还可以利用勾股定理设计美丽的图案． 3．解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意. 4．证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积的和或差，进行化简整理证明勾股定理. 七、反思小结，达标检测 这节课我们学了哪些思想方法和内容？对这些知识你有什么体会？ 知识：（勾股定理）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 方法：（1）观察-探索-猜想-验证-归纳一证明． （2）面积证明法． （3）“割、补、拼、接”法． 思想：（1）特殊-一般-特殊． （2）数形结合． 教学反思 这节课由2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽作为导语引入新课，激发了学生学习的欲望，引起了学生学习勾股定理的好奇心，接着由毕达哥拉斯的故事进入勾股定理的探索. 在大正方形C的面积的求法中，学生有很多的办法：有的学生用拼凑法拼出完整的小正方形后，直接数出小正方形格数；有的学生将其划分为四个边长都为整数的直角三角形，再利用三角形面积公式得到C的面积；还有的将C拼为边长都为整数的长方形，再求面积.讨论时要求学生在小组进行交流，再请学生做小老师到讲台上讲解，以培养学生的语言表达能力，教师对学生的讲解进行点评，并给以鼓励，增强了学生学好数学的信心，体验成功的快乐. 课堂教学中，要注意调动学生的积极性.让学生满怀激情地投入到学习中，有助于提高课堂效率.勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积（数）入手，数形结合，师生共同突破本节课的难点. 勾股定理（第2课时） 教学设计 教学分析 教学目标 1．数学抽象及建模目标：从实际问题中抽象出数学模型并利用勾股定理解决实际问题，渗透建模思想、数形结合思想和方程思想. 2．逻辑推理目标：通过对勾股定理的运用体会数学的应用价值. 3．数学运算目标：运用勾股定理解决与直角三角形相关的问题及利用勾股定理解决实际问题. 课前准备 教师：多媒体辅助教学、直尺 学生：课前预习、直尺 教学过程设计 一、设计问题，创设情境 1．勾股定理的内容是什么？应用条件是什么？ 2．证明方法是什么？（面积法） 3．在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC的长. 上节课我们学习了勾股定理，其实，勾股定理有广泛的应用，下面我们用它来解决几个问题. （设计意图：设置问题，引导学生探究勾股定理的应用，激发学生学习及把知识应用到实际中的兴趣.） 二、学生探索，尝试解决 【例1】一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？ 分析：木板的宽2.2m大于1m，所以横着不能从门框内通过，木板的宽2.2m大于2m，所以竖着不能从门框内通过．因为对角线AC的长度最大，所以只能试试斜着能否通过.所以将实际问题转化为数学问题. 解：在RtΔABC中， 勾股定理）. : -2.236>2.2, ：木板能从门框内通过. 【例2】如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？ 分析：组织学生思考讨论．（1）根据生活经验，要求梯子底端B向外移动多少，必须知道哪两个量？（2）梯子移动过程中谁是常量，谁是变量？要求出梯子的底端B是否也外移0.5m，实际就是求BD的长，而BD=OD-OB 解：可以看出，BD=OD-OB. 在RtΔABO中，, :勾股定理）. : :OC=AO-AC, :OC=2.4-0.5=1.9(m). 在RtΔCOD中, :股定理）. 1.77(m). :.BD=OD-OB≈1.77-1≈0.77(m). 答：梯子的顶端A沿墙下滑0.5m时，梯子底端B并不是外移0.5m，而是外移约0.77m． 2．解：在RtΔABC中，- :勾股定理）. · 【例3】一棵大树高8m，折断后大树顶端落在离大树底端2m处，折断处离地面的高度是多少？ 分析：在RtΔABC中，已知BC=2m，并且知道AB＋AC=8m,，根据勾股定理且利用方程思想可以解题. 解：设AB=xm则AC=(8-x)m, 在RtΔABC中，、 : x=3.75. 折断处离地面的高度是3.75m． （设计意图：运用勾股定理解决数学问题，提高学生分析问题的能力，这种数学建模能力的培养，有利于学生规范解题步骤，提高学生的数学推理和表达能力.） 三、跟踪练习，巩固新知 1．已知：ΔABC为等边三角形，AD⊥BC于D,AD=6.求AC的长. 2． 如图，要修建一个蔬菜大棚，大棚的截面是直角三角形，棚宽m=4m,高n=2m,长d=15m,，求覆盖在顶上的塑料薄膜需多少平方米（结果保留小数点后1位，注意：这里要取过剩近似值）？ 【参考答案】 1．解：ΔABC为等边三角形， ∴AB=AC=BC. :AD⊥BC, : : 设DC=x，则AC=2x. 在RtΔADC中，- :勾股定理）. 解得x=23或-2／3（（舍去负值）.( : 2．解：在RtΔABC中，- :勾股定理）. · ·.S=AB⋅d （设计意图：通过实际问题的解答，进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课重难点的理解和突破，帮助学生不断完善认知结构.） 四、变式演练，深化提高 1．如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m／s的速度收绳．问6s后船向岸边移动了多少米（假设绳子始终是直的，结果保留根号）？ 3． 如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了1003km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A，C 两点之间的距离. 【参考答案】 1．解：在RtΔABC中，BC=13m,AC=53 ，则AB=m.6秒后，，则，则船向岸边移动的距离为( 2．解：.在RtΔABC中， ：．A，C两点之间的距离为200km． （设计意图：数学来源于生活，应用于生活，激发学生学习数学的兴趣，以及培养数学模型建构能力.） 五、交流分享，共同成长 1．本课时直接考查勾股定理在实际生活中的运用，可建立合理的数学模型，将已知条件转化到同一直角三角形中求解. 2．勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，通常需要巧设未知数，灵活地寻找题中的等量关系，然后利用勾股定理列方程求解. （设计意图：让学生交流讨论，进一步巩固勾股定理的实际应用，培养学生的语言表达能力和归纳能力.） 六、反思小结，达标检测 1．勾股定理的作用-它把直角三角形的图形特征转化为边的数量关系. 2．会用勾股定理进行有关计算和证明，要注意利用方程的思想求有关三角形的边长， 3．会从实际问题中抽象出数学模型，从而解决实际问题. 勾股定理（第3课时） 教学分析 教学设计 教学目标 1．数学抽象目标：利用勾股定理画出一条长度为无理数的已知线段. 2．数学建模目标：通过学习勾股定理的应用，继续培养基本的运算能力和应用意识. 3．数学运算目标：利用勾股定理建立方程，解决较综合的几何问题. 课前准备 教师：多媒体课件 学生：预习新课 教学过程 一、设计问题，创设情境 1．叙述勾股定理的内容． 2．在RtΔABC中，, （1）已知c=17,b=8，求a. （2）已知c=13,a=5，求b. 3．什么是数轴？实数与数轴上的点具有什么关系？ 4．在数轴上画出表示下列各数的点： 3,1,0,-2.5,-4. 5．在数轴上可以借助勾股定理标出表示无理数／2的点吗？引入课题. （设计意图：让学生回忆勾股定理及数轴的内容，并注意文字语言、图形语言和符号语言的规范统一.） 二、学生探索，尝试解决 问题探究1 利用勾股定理证明“斜边和一直角边对应 相等的两个直角三角形全等” 学生活动：探求新的证明方法 在学习了勾股定理后，你能证明“斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等”的结论吗？ 先画出图形，再写出已知、求证，并证明. 已知：如图，在RtΔABC和中，· 求证： 证明：在RtΔABC和RtΔA＇B＇C＇中，, 根据勾股定理，得9 又 所以 所以 问题探究2 利用勾股定理画出一条长度为已知无理数的线段 活动1 例题精讲 【例题】在数轴上画出表示／5的点．（提示：勾股定理的应用；数形结合思想） 详解：以两直角边长分别为2,1作直角三角形，则斜边长即为／5．由此，可以在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线垂直于OA，并在垂线上截取AB=1，以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交在原点右侧点C处，点C即为表示／5的点． 活动2 反思提炼 作一条长度等于已知无理数的线段的方法不一定唯一，如：5，也可以借助于直角边分别为／2,3的直角三角形得到，我们一般尽量利用直角边为整数的直角三角形作出.该弧与数轴交于原点左侧的点表示的数即为-／5． （设计意图：发挥学生自主性，通过对勾股定理的理解，进一步熟悉定理.建立勾股定理与全等的联系、勾股定理解决了数轴上的点表示无理数的问题，在解决实际问题或在数学应用时，往往活学活用，体会内在联系.） 三、跟踪练习，巩固提高 1．作长为13的线段时，可作一个两直角边长分别为整数 和 的直角三角形，则此直角三角形的斜边长就是13． 2．如图所示，数轴上点A表示的数为 3．在数轴作出表示-10的点． 【参考答案】 1.2 3 解析：构造直角三角形的斜边为，则两直角边的平方和为13．将13分成两个平方数的和即4+9=13,所以，以直角边长分别为2,3作直角三角形，则斜边长即为13. 2.5-1 解析：由图根据勾股定理可求出，以表示-1的点为圆心，以5为半径画弧，交正半轴于A点，所以点A 表示／5-1． 3．解：将10分成两个正整数的平方和，即1+9=10，所以，以直角边长分别为1,3作直角三角形，则斜边长即为10．由此，可以在数轴上找出表示-3的点A，过点A作直线垂直于数轴，并在垂线上截取线段AB=1,，以原点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴交在原点左侧点C处，点C即为表示一10的点． （设计意图：设置趣题，激发学生的学习兴趣，让学生经历观察、动手实验、归纳总结，进一步体验利用勾股定理将实际问题转化为数学问题的价值.） 四、变式演练，深化提高 【例1】如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm,BC=10cm，求EC的长. 分析：若设EC=xcm，则EF=DE=(8-x)cm，因此只需先把FC或BF求出即可，而BF在RtΔABF中，且AB=8cm,AF=AD=BC=10cm,，则BF可求，问题可解. 解:∵ΔADE与ΔAFE关于AE对称，∴AD=AF,DE=EF.四边形ABCD是长方形， ／B＝／C＝90°.在RtΔABF中，AF=AD=BC=10cm,AB=8cm, ∵BF=6=4cm.设EC=xcm,则EF=DE=(8-x)cm, 在RtΔECF中,，即，解得x=3,即EC的长为3 cm. 【例2】如图，长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm，高AD=20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？ 解：分两种情况比较最短距离. 如图①所示，蚂蚁爬行最短路线为AM,AM= 如图②所示，蚂蚁爬行最短路线为AM，AM＝ ．第二种短些，此时最短距离为25cm． 答：需要爬行的最短距离是25cm． （设计意图：训练学生思考问题，动手实践.教会学生利用折叠条件，准确标图，做到用数形结合解决类似的几何翻折问题.） 五、交流分享，共同成长 1．在数轴上表示无理数，常常应用勾股定理求两点间的距离，解答此类题目时要注意数值的选取. 2．解答折叠问题的关键是设适当线段的长度为x，再用含有x的式子表示其他线段，最后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答. 3．因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要遗漏.不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，然后分别计算，作比较取其最小值即可. 六、反思小结，达标检测 反思小结： 1．在数轴上画出表示✓n（n为正整数）的点的方法． 2．添加辅助线构造直角三角形，利用勾股定理解决生活中的实际问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$