四川省达州市渠县东安雄才学校2024-2025学年九年级上学期数学期中预测题（2）

北师大版九年级上册期中预测题 数学试题（2） 考试时间:120分钟 满分150分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　） A．对角相等 B．对角线相等 C．对边相等 D．对角线互相平分 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x2+xy＝1 B．5x2﹣3x＝4 C．2x﹣1＝x+2 D． 3．生活在数字时代的我们，很多场合都要用到二维码，二维码的生成原理是用特定的几何图形按编排规律在二维方向上分布，采用黑白相间的图形来记录数据符号信息．九年级学生王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为9cm2，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（　　） A．1.8cm2 B．4.5cm2 C．5.4cm2 D．9cm2 4．三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣13x+36＝0的根，则三角形的周长为（　　） A．13 B．15 C．18 D．13或18 5．如图，在长方形ABCD中，E是BC中点，F在边AB上，若S△DEF＝5S△BEF＝10，则（　　） A．3 B．2 C．1.5 D． 6．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 7．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，为了使四边形BECF是正方形．可以添加一个条件（　　） A．CE＝CF B．DE＝DF C．∠A＝45° D．E为AB的中点 8．如图，在长为30米，宽为18米的矩形地面上修筑等宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为480平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（　　） A．30×18﹣30x﹣18x＝480 B．（30﹣x）（18﹣x）＝480 C．30x+18x＝480 D．（30﹣x）（18﹣x）+x2＝480 9．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（　　） A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 10．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为 　 　． 12．用求根公式解方程x2+3x＝﹣1解得x1＝ 　 　，x2＝ 　 　． 13．如图，在矩形ABCD中，点E为矩形内一点，且AB＝2，，∠BAE＝75°，∠BCE＝60°，则四边形ABCE的面积是 　 　． 14．新定义：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，如方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”；若（x﹣2）（ax﹣b）＝0（a≠0）是“倍根方程”．则代数式的值为 　 　． 15．如图，正方形ABCD的边长为2，P为对角线BD上动点，过P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F；连接EF，则EF的最小值为 　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解方程： （1）x2﹣5x+6＝0； （2）x2﹣9＝2（x﹣3）． 17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝OB，求∠BOC的度数． 18．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点，EF⊥AC于F，EG⊥BD于F，试说明：EF+EG＝OB． 19．中央电视台举办的“中国诗词大会”节目受到中学生的广泛关注，某中学为了解该校初三学生对观看“中国诗词大会”节目的喜爱程度，对该校初三部分学生进行了随机抽样调查，并绘制出如图所示的两幅统计图，在条形图中，从左向右依次为：A级（非常喜欢），B级（较喜欢），C级（一般），D级（不喜欢），请结合两幅统计图，回答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量是　 　，表示“D级（不喜欢）”的扇形的圆心角为　 　； （2）若该校初三有1200名学生，请你估计该年级观看“中国诗词大会”节目B级（较喜欢）的学生人数； （3）若从本次调查中的A级（非常喜欢）的5名学生中，选出2名去参加长沙中学生诗词大会比赛，已知A级学生中男生有3名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选出的2名学生中至少有1名女生的概率． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF＝DC，连接CF． （1）求证：D是BC的中点； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 21．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣4＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求k的值和方程的另一个根． 22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 23．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0的两个实数根． （1）求实数m的取值范围． （2）若x1，x2满足；求实数m的值． （3）实数m在（2）条件下，求代数式的值． 24．下面是小军同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 今天在复习方程（组）的概念和解法时，我发现，各类方程的解法有一定的规律，求解一元一次方程时，把方程转化为x＝a的形式：求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把多元转化成一元，把复杂转化为简单． 运用“转化”的数学思想，我还可以解一些新的方程， 例如，一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0，第一步，因式分解：x（x2+2x﹣3）＝0，第二步，转化为两个方程：　 　或 　 　，第三步，解得：x1＝0，x2＝﹣3，x3＝1． （1）问题：将小军求解一元三次方程x3+2x2﹣3x＝0过程中的第二步补充完整为 　 　或 　 　； （2）类比：方程2x3+10x2﹣12x＝0的解是：x1＝0，x2＝ 　 　，x3＝ 　 　； （3）拓展：解方程组； （4）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小明把一根长为27m的绳子一端固定在点B，把绳长拉直并固定在AD上的一点P处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点C处，求DP的长． 25．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 参考答案 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1-5．BBCAA． 6-10．DCBBB． 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．． 12．，． 13．4． 14．或． 15．2． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：（1）∵x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝2，x2＝3； （2）∵x2﹣9＝2（x﹣3）， ∴（x+3）（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x+3﹣2）＝0， 所以，x﹣3＝0或x+3﹣2＝0， 解得：x1＝3，x2＝﹣1． 17．解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OB， ∵AB＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴∠BOC的度数为120°． 18．证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，∠CBO＝45° ∵EF⊥AC，GE⊥BD， ∴∠OGE＝∠OFE＝90°； 又∵AC⊥BD， ∴四边形OGEF是矩形； ∴EF＝OG， 又∵∠EBG＝∠BEG＝45°， ∴EG＝BG， ∴EF+EG＝OB． 19．解：（1）本次抽样调查的样本容量是17÷34%＝50，表示“D级（不喜欢）”的扇形的圆心角为360°21.6°， 故答案为：50、21.6°． （2）1200600， 答：估计该年级观看“中国诗词大会”节目B级（较喜欢）的学生人数为600人； （3）列表如下： 男 男 男 女 女 男 ﹣﹣﹣ （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） ﹣﹣﹣ （男，男） （女，男） （女，男） 男 （男，男） （男，男） ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） 女 （男，女） （男，女） （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） 女 （男，女） （男，女） （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ ∵所有等可能的情况有20种，其中所选出的2名学生中至少有1名女生的有14种， ∴所选出的2名学生中至少有1名女生的概率为． 20．证明：（1）∵E是AD的中点， ∴AE＝DE ∵AF//BC， ∴∠FAE＝∠BDE，∠AFE＝∠DBE ∴△AFE≌△DBE， ∴AF＝BD 又∵AF＝DC， ∴BD＝DC，即D是BC的中点； （2）∵AF＝DC，AF//DC， ∴四边形ADCF是平行四边形 ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC即∠ADC＝90° ∴四边形ADCF是矩形． 21．（1）证明：∵a＝1，b＝k，c＝﹣4， ∴Δ＝b2﹣4ac＝k2+4×4＝k2+16， ∵k2≥0， ∴Δ＝k2+16＞0， ∴方程总有两个不相等实数根； （2）解：将x＝1代入方程x2+kx﹣4＝0得1+k﹣4＝0， 解得k＝3， 原方程为x2+3x﹣4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4 所以方程的另一个根是﹣4． 22．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，且BC＝2DE． 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC． ∴四边形BCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 又∵BE＝FE， ∴四边形BCFE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． （2）解：在菱形BCFE中，∠BCF＝∠BEF＝120°，BE＝BC， ∴∠EBC＝60°． ∴△EBC是等边三角形． ∴BE＝BC＝CE＝4． 过点E作EG⊥BC于点G． ∴BG＝2． ∴EG2． ∴S菱形BCFE＝BC•EG＝4×28． 23．解：（1）∵一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2＝0有两个实数根， ∴Δ＝（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0， 解得：， ∴实数m的取值范围； （2）由根与系数关系可得x1+x2＝2m+3，， ∵， ∴， ∴， ∴（2m+3）2＝16+3（m2+2）， 解得m＝﹣13（不合题意，舍去）或m＝1； （3）将m＝1代入原一元二次方程得：x2﹣5x+3＝0， ∴x1+x2＝5，x1x2＝3，x2＝5x﹣3， ∴，， ∴ ＝x1（5x1﹣3）+4（5x2﹣3）﹣x1x2﹣2x1 ＝5（5x1﹣3）﹣5x1+20x2﹣12﹣x1x2 ＝25x1﹣15﹣5x1+20x2﹣12﹣x1x2 ＝20x1+20x2﹣27﹣x1x2 ＝20（x1+x2）﹣27﹣x1x2， 将x1+x2＝5，x1x2＝3代入原式得： 原式＝20（x1+x2）﹣27﹣x1x2 ＝20×5﹣27﹣3 ＝70， ∴代数式的值为70． 24．解：（1）x＝0是一元一次方程，x2+2x﹣3＝0是一元二次方程， 故答案为：x＝0，x2+2x﹣3＝0； （2）原方程转化为：2x（x2+5x﹣6）＝0， ∴2x＝0，x2+5x﹣6＝0， ∴x1＝0， ∵x2+5x﹣6＝（x﹣1）（x+6）＝0， ∴x﹣1＝0，x+6＝0， ∴x2＝1，x3＝﹣6， 故答案为：1，﹣6； （3）， 由②得，x＝y+3③， 把③代入①整理得：y2+3y﹣4＝0， ∴（y﹣1）（y+4）＝0， 解得，y1＝1，y2＝﹣4， ∴x1＝y+3＝1+3＝4，x2＝y+3＝﹣4+3＝﹣1， ∴原方程组的解为； （4）设AP＝x m，则DP＝（21﹣x）m， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝8m， 在Rt△ABP中，AB2+AP2＝BP2，即BP2＝82+x2，则， 在Rt△CDP中，CD2+DP2＝CP2，即CP2＝82+（21﹣x）2，则， ∵BP+CP＝27， ， 等式两边同时平方得整理得：， 等式两边同时平方，整理得：x2﹣21x+90＝0， 解得x1＝15，x2＝6， ∴AP＝15m或AP＝6m，则对应的PD＝21﹣15＝6m或PD＝21﹣6＝15m， ∵AP＞PD， ∴AP＝15m，PD＝6m， ∴DP的长为6m． 25．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$