2024-2025学年人教版八年级上册数学整式乘法、分式训练卷

整式乘法、分式 一．选择题（共10小题） 1．下列等式一定成立的是（　　） A．a3+a4＝a7 B．x3•（﹣x）2＝x6 C．8a3﹣（2a）3＝6a3 D．（﹣a3）4＝a12 2．若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x D．x 3．若3x＝2，3y＝5，则31+x﹣2y的值为（　　） A．﹣20 B．﹣19 C． D． 4．下列计算结果正确的是（　　） A．a2n÷an＝a2 B．a2n÷a2＝a2n﹣2 C．（xy）5÷xy3＝xy2 D．x6÷x2•x3＝x 5．若要使4x2+mx+16成为完全平方式，则常数m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．﹣16 D．±16 6．（﹣2﹣3x2）2计算结果正确的是（　　） A．9x4﹣12x2+4 B．9x4+12x2+4 C．9x4﹣12x2﹣4 D．﹣9x4﹣12x2﹣4 7．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（　　） A．x2+4x+4＝（x+2）2 B．36x2y＝3x•12xy C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4 D．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 8．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小 C．扩大2倍 D．扩大4倍 9．若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x＝0 B．x≠0 C．x＝5 D．x≠5 10．下列式子中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题） 11．若，则 　 　． 12． 若分式的值等于0，则x的值为 　 　． 13．计算： 　 　． 14． 计算：（﹣4）2025×（0.25）2024＝ 　 　． 15．已知a2﹣2019a+1＝0，则　 　． 三．解答题（共8小题） 16．因式分解： （1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 17．解分式方程： （1）； （2）． 18．计算： （1）若a+3b+2z﹣3＝0，求3a×27b×9z的值； （2）若22x＝3，求（23x+1）2﹣24x的值． 19．先化简：，再从﹣3，﹣1，1，3中选取一个使原式有意义的数代入求值． 20．已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求： （1）a2+3ab+b2的值； （2）（a+b）2的值． 21．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 22．某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． （1）求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ （2）某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 23．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　 　； （2）根据（1）中的结论，若x+y＝4，，且x＞y，则x﹣y＝ 　 　； （3）由完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得a2+b2＝ 　 　﹣2ab 拓展应用：若（2025﹣m）2+（m﹣2024）2＝7，求（2025﹣m）（m﹣2024）的值． （4）拓展：如图3，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点，M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列等式一定成立的是（　　） A．a3+a4＝a7 B．x3•（﹣x）2＝x6 C．8a3﹣（2a）3＝6a3 D．（﹣a3）4＝a12 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法运算法则对各个选项进行计算判断即可． 【解答】解：A．a3和a4 不是同类项，不能合并，故选项A不成立，不符合题意； B．x3•（﹣x）2＝x3•x2＝x5，故选项B不成立，不符合题意； C.8a3﹣（2a）3＝8a3﹣8a3＝0，故选项C不成立，不符合题意； D．（﹣a3）4＝a12，故选项D成立，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，合并同类项，同底数幂的乘法运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 2．若（2x﹣1）0有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＝﹣2 B．x≠0 C．x D．x 【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0），进而得出答案． 【解答】解：（2x﹣1）0有意义，则2x﹣1≠0， 解得：x． 故选：C． 【点评】此题主要考查了零指数幂，正确掌握零指数幂的定义是解题关键． 3．若3x＝2，3y＝5，则31+x﹣2y的值为（　　） A．﹣20 B．﹣19 C． D． 【分析】根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解答】解：31+x﹣2y＝3•3x÷32y＝6÷25． 故选：C． 【点评】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．下列计算结果正确的是（　　） A．a2n÷an＝a2 B．a2n÷a2＝a2n﹣2 C．（xy）5÷xy3＝xy2 D．x6÷x2•x3＝x 【分析】本题考查整式的除法，解答时，将底数不变，幂指数相减，即可得出正确答案． 【解答】解：A、应为a2n÷an＝an，故本选项错误； B、a2n÷a2＝a2n﹣2，正确； C、应为（xy）5÷xy3＝x4y2，故本选项错误； D、应为x6÷x2•x3＝x7，故本选项错误； 故选：B． 【点评】本题考查单项式除单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．若要使4x2+mx+16成为完全平方式，则常数m的值为（　　） A．﹣8 B．±8 C．﹣16 D．±16 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【解答】解：∵4x2+mx+16成为完全平方式， ∴m＝±16， 故选：D． 【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．（﹣2﹣3x2）2计算结果正确的是（　　） A．9x4﹣12x2+4 B．9x4+12x2+4 C．9x4﹣12x2﹣4 D．﹣9x4﹣12x2﹣4 【分析】根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：（﹣2﹣3x2）2＝9x4+12x2+4， 故选：B． 【点评】此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式解答． 7．下列各式从左到右的变形中属于因式分解的是（　　） A．x2+4x+4＝（x+2）2 B．36x2y＝3x•12xy C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4 D．（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16 【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可． 【解答】解：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解． A．x2+4x+4＝（x+2）2，符合因式分解的形式，符合题意； B．36x2y＝3x•12xy，不符合因式分解的定义，不符合题意； C．x2﹣3x﹣4＝x（x﹣3）﹣4，右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； D． （x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意 故选：A． 【点评】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义． 8．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小 C．扩大2倍 D．扩大4倍 【分析】把分式中的分子，分母中的x，y都同时变成原来的2倍，就是用2x，2y分别代替式子中的x，y，看得到的式子与原式子的关系即可． 【解答】解：把分式中的x和y都扩大2倍， 即， 故分式的值不变． 故选：A． 【点评】本题考查了对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小n倍，只要将原数乘以或除以n，再代入原式求解是关键． 9．若分式有意义，则x满足的条件是（　　） A．x＝0 B．x≠0 C．x＝5 D．x≠5 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【解答】解：由分式有意义的条件可知：x﹣5≠0， ∴x≠5， 故选：D． 【点评】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件，本题属于基础题型． 10．下列式子中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简分式的定义进行解题即可． 【解答】解•：A、不是最简分式，不符合题意； B、不是最简分式，不符合题意； C、不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查最简分式，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．若，则 　6　． 【分析】由完全平方公式可得，再整体代入求值即可． 【解答】解：∵， ∴4， ∴原式＝（a）2+2 ＝22+2 ＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟知完全平方公式是解题的关键． 12．若分式的值等于0，则x的值为 　1　． 【分析】根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x2﹣1＝0且x+1≠0， 解得x＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握据分子为零且分母不为零的条件是解题的关键． 13．计算： 　　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解：b3． 故答案为：． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 14．计算：（﹣4）2025×（0.25）2024＝ 　﹣4　． 【分析】根据题意，先把原式变形为：（﹣4）2024×（﹣4）×（0.25）2024，然后再根据积的乘方逆运算变形为：[（﹣4）×0.25]2024×（﹣4），由此计算即可． 【解答】解：（﹣4）2025×（0.25）2024 ＝（﹣4）2024×（﹣4）×（0.25）2024 ＝[（﹣4）×0.25]2024×（﹣4） ＝（﹣1）2024×（﹣4） ＝1×（﹣4） ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了积的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 15．已知a2﹣2019a+1＝0，则　2018　． 【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2＝2019a﹣1，a2+1＝2019a，再利用整体代入的方法变形原式，然后通分后再利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：由a2﹣2019a+1＝0得a2＝2019a﹣1， 即a2+1＝2019a， 两边同时除以a得：， 则2a2﹣4037a+1 ＝4038a﹣2﹣4037a+1 ＝2019﹣1 ＝2018． 故答案为：2018． 【点评】本题考查了分式的化简求值，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 三．解答题（共8小题） 16．因式分解： （1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）． 【分析】（1）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可； （2）根据提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）﹣2a3+4a2b﹣2ab2 ＝﹣2a（a2﹣2ab+b2） ＝﹣2a（a﹣b）2； （2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x） ＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y） ＝（x﹣y）（9a2﹣4b2） ＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）． 【点评】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．解分式方程： （1）； （2）． 【分析】（1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可； （2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可． 【解答】解：（1）去分母得，﹣1+3（x﹣2）＝﹣3+x， 解得，x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， 所以原方程无解； （2）去分母得，2﹣（x+2）（x+1）＝﹣x2+1， 解得，， 检验：当时，x2﹣1≠0， 所以是原方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根． 18．计算： （1）若a+3b+2z﹣3＝0，求3a×27b×9z的值； （2）若22x＝3，求（23x+1）2﹣24x的值． 【分析】（1）首先根据题可知a+3b+2z＝3，再将3a×27b×9z整理为3a+3b+2z，然后代入求值即可； （2）根据幂的乘方运算法则和幂的乘方运算的逆用将原式整理为4×（22x）3﹣（22x）2，然后代入求值即可． 【解答】解：（1）由题意得a+3b+2z＝3， ∴3a×27b×9z ＝3a×33b×32z ＝3a+3b+2z ＝33 ＝27； （2）已知22x＝3， 则（23x+1）2﹣24x ＝26x+2﹣24x ＝4×（22x）3﹣（22x）2 ＝4×33﹣32 ＝108﹣9 ＝99． 【点评】本题主要考查了幂的乘方的逆用、同底数幂相乘的逆用等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 19．先化简：，再从﹣3，﹣1，1，3中选取一个使原式有意义的数代入求值． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式• • • ＝x+1， ∵x﹣1≠0，x﹣3≠0，x+1≠0， ∴x≠1，3，﹣1． ∴当x＝﹣3时，原式＝﹣3+1＝﹣2． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 20．已知：a﹣b＝3，ab＝1，试求： （1）a2+3ab+b2的值； （2）（a+b）2的值． 【分析】根据完全平方公式的变形即可求解． 【解答】解：（1）∵a﹣b＝3，ab＝1， a2+3ab+b2 ＝（a﹣b）2+5ab ＝9+5 ＝14； （2）（a+b）2 ＝（a﹣b）2+4ab ＝9+4 ＝13． 【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键． 21．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，求m的值； （2）若分式方程的解是负数，求m的取值范围． 【分析】（1）由分式方程有增根，得到x＝1，代入整式方程计算即可求出m的值； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是负数，求出m的范围即可． 【解答】解：（1）分式方程有增根，则方程的增根为x＝1， 原方程去分母并整理得5x﹣m+2＝0， 将x＝1代入得5﹣m+2＝0， 解得m＝7； （2）由（1）得5x﹣m+2＝0， 解这个方程得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得m＜2， ∴当m＜2时，分式方程的解是负数． 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 22．某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟． （1）求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？ （2）某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？ 【分析】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米，y千米，根据从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟列方程组解答即可； （2）设运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，根据从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，列方程解答即可． 【解答】解：（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米，y千米， 根据题意，得， 解得， 答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米，15千米； （2）运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，则运动员B骑行时的下坡速度是2a千米/小时， 根据题意，得， 解得a＝15， 经检验，a＝15是原方程的根， ∴原方程的根为a＝15， 答：运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时． 【点评】本题考查列二元一次方程组和分式方程解实际问题，掌握列方程（组）的一般方法是解题的根据． 23．我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图1）． 把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法． （1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是 　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab　； （2）根据（1）中的结论，若x+y＝4，，且x＞y，则x﹣y＝ 　3　； （3）由完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得a2+b2＝ 　（a+b）2　﹣2ab 拓展应用：若（2025﹣m）2+（m﹣2024）2＝7，求（2025﹣m）（m﹣2024）的值． （4）拓展：如图3，在△BCE中，∠BCE＝90°，CE＝8，点Q是边CE上的点，在边BC上取一点，M，使BM＝EQ，设BM＝x（x＞0），分别以BC，CQ为边在△BCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ，连接BQ，若CM＝3，△BCQ的面积等于，直接写出正方形ABCD和正方形COPQ的面积和． 【分析】（1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，代入数值求出结果即可； （3）通过移项得出结论；拓展应用：利用2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），整体思想求出结果； （4）根据题意得CQ＝CE﹣EQ＝8﹣x，BC＝BM+CM＝3+x，再结合，得出a+b＝11，ab＝21，整体思想求出结果即可． 【解答】解：（1）图2中，大正方形的边长为a+b，因此面积为（a+b）2，中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，四周4个长方形的面积和为4ab， ∵S大＝S小+4S长方形， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）由 （1）可得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， ∴， ∵x＞y， ∴x﹣y＝3， 故答案为：3； （3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）， ∵（2025﹣m）2+（m﹣2024）2＝7， ∴2（2025﹣m）（m﹣2024） ＝（2025﹣m+m﹣2024）2﹣[（2025﹣m）2+（m﹣2024）2] ＝1﹣7 ＝﹣6， ∴（2025﹣m）（m﹣2024）3， 故答案为：（a+b）2； （4）设BM＝x，则BM＝EQ＝x， ∴CM＝3，CE＝8，CQ＝CE﹣EQ＝8﹣x，BC＝BM+CM＝3+x， ∵， ∴（8﹣x）（3+x）＝21， 令8﹣x＝a，x+3＝b， ∴a+b＝11，ab＝21， ∴正方形ABCD和正方形COPQ的面积和： a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝112﹣2×21＝121﹣42＝79． 【点评】本题考查了完全平方式的几何背景，整式的混合运算，多项式的乘法，熟练掌握完全平方公式的结构特征及变形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$