22.1.4y=ax²+bx+c的图象与系数的关系 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.1.4 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的 图象和性质 y = ax 2 + bx + c 的图象与系数的关系 学习目标 1.归纳二次函数图象与a,b,c的符关系，体会函数图象与关系式之间的联系. 2.通过学生自主探究培养学生的逻辑思维能力，在结合图象分析的过程中渗透数形结合思想 教学重点： 函数图象与关系式之间的联系 教学难点： 由函数图象判断系数关系式的符号 1.说说二次函数y=a(x-h) 2 +k的图象的特征. 向上 向下 （h,k） （h,k） 直线x=h 直线x=h 当x＜ h 时 ， y随x增大而小，当x＞ h 时 ， y随x增大而增大 当x＜ h 时 ， y随x增大而增大，当x＞ h 时 ， y随x增大而减小 x=h时，y 最小值 =k x=h时，y 最大值 =k 抛物线y=a(x-h) 2 +k可以看作是由抛物线 y=ax 2 经过平移得到的 复习引入 2.二次函数y=ax 2 +bx+c的图象和性质 一般地，二次函数 y=ax 2 +bx+c 的可以通过配方化成 y=a(x-h) 2 +k 的形式，即 顶点坐标： 对称轴： 直线 复习引入 (1) (2) 如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当 x> 时，y随x的增大而增大. 如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当 x> 时，y随x的增大而减小. 复习引入 增减性 5 思考：在二次函数y=ax 2 +bx+c（a≠0）中，a决定函数的开口方向和大小，b，c决定什么呢？ 一.完成下列问题，函数图象经过哪点？你能得出什么结论？ 1.在 y = x 2 -2 x -3 中，当x= 0 时，y=______ -3 x=1 • C(1,-4) • A(-1,0) • B(3,0) （1）函数图象经过哪点？ （2）这个点在什么位置？ （3）画函数图象验证一下. • D(0,-3) (0,-3) 在y轴上 探究学习 2.在 y=-3x 2 -4x +5 中，当x= 0 时，y=______ 3.在 y =3x 2 +2x 中，当x= 0 时，y=______ 4.在 y= a x 2 +bx+ c （ a ≠0）中，当x= 0 时，y=______ 结论： （1）c决定二次 函数图象与y轴交点的纵坐标. （2）c ＞0时，交点在 y轴的正半轴， c ＜0时，交点在 y轴的负半轴， c ＝0时，图象经过坐标原点. 5 0 c 探究学习 函数解析式 对称轴 对称轴在y轴的左还是右 y=2x2+8x+1 y=-2x2-8x+2 y=2x2-8x+3 y=-2x2+8x+4 结论：（1）a，b共同决定 对称轴的位置. （2）a，b 同号 对称轴在 y 轴的 左侧 ； a，b 异号 对称轴在 y 轴的 右侧 . 二.填空，思考:对称轴的位置由哪个决定的？ x=﹣2 y轴的左侧 y轴的右侧 x=﹣2 y轴的左侧 x=2 x=2 y轴的右侧 对称轴：直线 探究学习 ① a 决定开口方向： a ＞0⇔开口向上 ； a ＜0⇔开口向下 ； ② a，b 同号 对称轴在 y 轴的 左侧 ； a，b 异号 对称轴在 y 轴的 右侧 ； ③ c ＝0⇔经过 原点 ； c >0⇔与 y 轴的交点位于 x 轴的 上方 ； c <0⇔与 y 轴的交点位于 x 轴的 下方 . y = ax 2 + bx + c 的图象与系数的关系 ｝ （左同右异） 总结归纳 函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c如图 x y O x y O x y O a 0，b 0，c 0 素材 自由组合出题，然后说出对应图象中a、b、c的取值范围 自主命题 1．若 a ＞0，则二次函数 y ＝ ax 2 +2 x ﹣1的图象可能是（　　） D 练习 对称轴：直线 三. 的常见情况 探究学习 ＜ ＞ ＝ ＝ ＜ ＞ 四. y= a x 2 +bx+ c （ a ≠0）的常见情况 (1)当 x ＝ 1 时， y 的值为 a ＋ b ＋ c ， x y O x y O x y O • 1 • 1 • 1 a ＋ b ＋ c =0 a ＋ b ＋ c ＞0 a ＋ b ＋ c ＜0 探究学习 四. y= a x 2 +bx+ c （ a ≠0）的常见情况 (2)当 x ＝- 1 时， y 的值为 a - b ＋ c ， x y O x y O x y O • -1 • -1 • -1 a - b + c =0 a - b + c ＞0 a - b + c ＜0 探究学习 四. y= a x 2 +bx+ c （ a ≠0）的常见情况 (3)当 x ＝ 2 时， y 的值为 4a ＋2 b ＋ c ， x y O x y O x y O • 2 • 2 • 2 4a ＋ 2b ＋ c =0 4a ＋2 b ＋ c ＞0 4a ＋2 b ＋ c ＜0 探究学习 四. y= a x 2 +bx+ c （ a ≠0）的常见情况 (4)当 x ＝- 2 时， y 的值为4 a -2 b ＋ c ， x y O x y O x y O • -2 • -2 • -2 4a -2 b + c =0 4a -2 b + c ＞0 4a -2b + c ＜0 探究学习 例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 例题解析 例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 【解析】由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 例题解析 1．如图，若a＜0 ，b ＞0， c ＜0，则抛物线y ＝ ax 2 +b x +c的图象可能是（　　） B 练一练 2．一次函数y ＝ ax +b的图象经过第一二三象限，则二次函数y ＝ ax 2 +b x 的图象可能是（　　） 练一练 B O y x –1 –2 3 3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论： （1）a、b同号； （2）当x=–1和x=3时，函数值相等； （3） 4a+b=0； （4）当y=–2时，x的值只能取0； 其中正确的是 . 直线x=1 （2） (5)( a + b+c)(a-b+c)>0 ； 练一练 22 4.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ） A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x=-1 B 练一练 23 1. a 决定开口方向： a ＞0⇔开口向上 ； a ＜0⇔开口向下 ； 2. a，b共同决定 对称轴的位置. 3. c ＝0⇔经过 原点 ； c >0⇔与 y 轴的交点位于 x 轴的 上方 ； c <0⇔与 y 轴的交点位于 x 轴的 下方 . y = ax 2 + bx + c 的图象与系数的关系 （左同右异） 课堂小结 4.当x＝1时，y的值为a＋b＋c. 当x＝2时，y的值为4a＋2b＋c. 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． 当x＝2时，y的值为4a＋2b＋c. 5.当对称轴x=1时， =1，∴－b=2a，此时2a＋b=0； 当对称轴x=-1时， =-1，∴b=2a，此时2a－b=0． 作业 《实践与探究 》第40页1题～ 5题 $$