1.2 有理数及其大小比较 课件 2024-2025学年人教版数学七年级上册

第一章 有理数 1.2 有理数及其大小比较 1.2 有理数及其大小比较 知识回顾 1.2 有理数及其大小比较 引入负数后，数的范围就扩大了，与小学对数的学习类似，我们进一步在这个范围内学习数的表示以及大小比较等问题. 新课导入 1.2 有理数及其大小比较 学习目标 1.理解有理数的概念，能按一定的标准对有理数进行分类. 2.理解数轴的概念，掌握数轴的画法，能用数轴上的点表示有理数. 3.体会数形结合与分类讨论的思想方法，掌握数轴上的点与有理数的对应关系. 4.掌握相反数、绝对值的概念及性质. 5.了解相反数、绝对值的联系及应用. 1.2 有理数及其大小比较 1.2.1 有理数的概念 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如－1，－2，－3，…正整数、0、负整数统称为整数. 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，…；负分数，如－，－，－，－0.5，－150.5，… .它们都是分数. 1.2 有理数及其大小比较 进一步地，正整数可以写成正分数的形式，例如 2 = ；负整数可以写成负分数的形式，例如－3= －；0也可以写成分数的形式，这样，整数可以写成分数的形式. 1.2 有理数及其大小比较 可以写成分数形式的数称为有理数(rational number). 其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数. 这样，引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围. 1.2 有理数及其大小比较 例1 指出下列各数中的正有理数、负有理数，并分别指出其中的正整数、负整数: 13，4.3，－，8.5%，－30，－12%，，－7.5，20，-60， 1.. 解： 正有理数：13，4.3，8.5%，，20， 1.；其中正整数有13，20. 负有理数：－， －30， －12%， －7.5，－60；其中负整数有－30 ，－60. 1.2 有理数及其大小比较 15, 7, 0.5, 12, 2.3 －，－5，－80，－4.2 正有理数：+6,1，，3，0.63 负有理数：－15，－2，－1.，－ 整数：－15，+6，－2，1, 0 5 2 4 2 1.2 有理数及其大小比较 1.2.2 数轴 在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题. 下面我们在此基础上直观表示有理数. 看下面的问题. 问题 在一条东西向的马路旁，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧3m和7.5m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境. 1.2 有理数及其大小比较 如图1.2-1，画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向，在直线上任取一点O表示汽车站牌的位置，规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长，于是，在点O右边，与点O距离3个和7.5个单位长度的点B和点C，分别表示柳树和交通标志杆的位置；在点O左边，与点O距离3个和4.8个单位长度的点D和点E，分别表示槐树和电线杆的位置. 1.2 有理数及其大小比较 1.2 有理数及其大小比较 在上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义. 如图1.2-2，在一条直线上任取一点O为基准点，规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长，再用0表示点O，用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点. 这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点. 1.2 有理数及其大小比较 用上述方法，我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系表示出来了. 例如，3表示位于汽车站牌东侧3m处的柳树的位置，－4.8表示位于汽车站牌西侧4.8m处的电线杆的位置，等等. 1.2 有理数及其大小比较 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件： (1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点(origin)； (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向; 1.2 有理数及其大小比较 (3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，…(图 1.2-4). 1.2 有理数及其大小比较 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(number axis). 原点将数轴(原点除外)分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴. 有理数可以用数轴上的点表示，例如，在数轴的正半轴上，距离原点6.5个单位长度的点表示数6.5；在数轴的负半轴上，距离原点个单位长度的点表示数－(图 1.2-4). 1.2 有理数及其大小比较 1.2 有理数及其大小比较 用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图形直观地表示很多与数相关的问题. 例2 画出数轴，并在数轴上表示下列各数: 解：如图 1.2-5 所示 1.2 有理数及其大小比较 A：0 B：－2 C：1 D：2.5 E： －3 －5 － － 3.5 5 －6 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 －2, －1, 0, 1, 2, 3, 4 2 点B表示的数是1或－7 1.2 有理数及其大小比较 1.2.3 相反数 可以发现，数轴上与原点的距离是3的点有两个，它们表示的数是3和－3，这两个数只有符号不同；与原点的距离是的点也有两个，它们表示的数是和－，这两个数也只有符号不同. 1.2 有理数及其大小比较 1.2 有理数及其大小比较 像3和－3，和－这样只有符号不同的两个数，互为相反数(opposite number). 这就是说，3的相反数是－3， －3的相反数是3，3与－3互为相反数；同样地，和－互为相反数. 0的相反数是 0. 1.2 有理数及其大小比较 一般地，a和－a互为相反数. 这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0. 例如，当a=1时， －a= －1，1的相反数是－1；同时，－1的相反数是 1. 容易看出，在正数前面添上“－”号，就得到这个正数的相反数. 在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数. 例如， －(＋5)=－5，－(－5) =＋5，－0=0. 1.2 有理数及其大小比较 1.2 有理数及其大小比较 × × √ √ × √ － －6 8 3.5 － －10 100 如果a=－a，那么a=0，所以a的点在数轴上的原点处 7 －0.5 68 －3.8 1.2 有理数及其大小比较 1.2.4 绝对值 我们知道，互为相反数的两个数(除0以外)只有符号不同. 这两个数的相同部分在数轴上表示什么? 看一个具体例子. 10和－10互为相反数，在数轴上分别用点A，B表示这两个数，可以发现，点A，B与原点的距离都是10(图1.2-7). 1.2 有理数及其大小比较 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值(absolute value)，记作| a |. 例如，图1.2-7中表示10和－10的点与原点的距离都是10，所以10和－10的绝对值都是10，即 | 10 | = 10，|－10|=10. 显然| 0 |= 0. 1.2 有理数及其大小比较 可以得到：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即 (1)如果a>0，那么| a |=a; (2)如果a=0，那么| a | =0; (3)如果 a<0，那么| a | =－a. 1.2 有理数及其大小比较 例4 (1)写出1，－0.5，－的绝对值； (2)如图1.2-8，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数? 1.2 有理数及其大小比较 分析：对于(2)，一个数的绝对值越小，数轴上表示它的点离原点越近； 反过来，数轴上的点离原点越近，它所表示的数的绝对值越小. 解：(1) |1|=1，|－0.5|=0.5， |－| = ； (2)因为在点A，B，C，D中，点C离原点最近，所以在有理数a，b， c，d中，c的绝对值最小. 1.2 有理数及其大小比较 |8|=8；|－3.9|=3.9；|－| = ；|100|=100；|7.5|=7.5； |0|=0；|－(－13)|=|13|=13； |－(+18)|=|－18|=18； × √ × ±2 －10 3.5 － －11 15 7 9 1.2 有理数及其大小比较 1.2.5 有理数的大小比较 我们已经知道两个正数(或0)之间怎样比较大小，例如，0<1，1<2，2<3，…，引入负数后，任意两个有理数(例如，－4和－3，－2和0，－1和1)之间怎样比较大小呢? 1.2 有理数及其大小比较 这七天中每天的最低气温按从低到高的顺序排列为 按照这个顺序排列的温度，在竖直放置的温度计上所对应的点是从下到上的. 依次把这些数表示在水平的数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的(图1.2-10). 1.2 有理数及其大小比较 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数 由这个规定可知: 1.2 有理数及其大小比较 一般地， (1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数； (2)两个负数，绝对值大的反而小. 1.2 有理数及其大小比较 1.2 有理数及其大小比较 1.2 有理数及其大小比较 ＞ ＞ ＜ ＞ ＜ ＜ －10＜－3＜0＜+2＜+5 ＜8 －＜－＜－0.3＜－＜0＜+2.3 13.1℃＞3.8℃＞2.4℃＞－4.6℃＞－19.4℃ 1.2 有理数及其大小比较 课堂小结 1.2 有理数及其大小比较 谢谢观看 1.2 有理数及其大小比较 $$