精品解析：2024-2025学年苏科版九年级上学期数学期中复习练习

九年级数学期中复习1 一．选择题 1. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是 A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm， ∴d＜r， ∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内， 故选C． 2. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，令，求出y的值即可求解． 【详解】解：∵当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故选D． 3. 如图，某超市的自动扶梯高为，坡角为，那么扶梯长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由锐角的正弦的定义可得：，从而可求解扶梯的长． 【详解】解：， 故选： 【点睛】本题考查的是锐角正弦的含义，掌握锐角的正弦的含义是解题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A k≥0 B. k＞0且k≠1 C. k≤0且k≠﹣1 D. k＞0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义，首先要求的二次项系数不为零,再根据已知条件,方程有两个不相等的实数根,令根的判别式大于零即可. 【详解】解:由题意得, 解得, ; 且, 即, 解得. 综上所述 且. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式,理解掌握定义,熟练运用根的判别式是解答关键. 5. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意连接BD可知，进而利用勾股定理得出BD和CD，最后即可得出tan∠ACB值． 【详解】解：如图，连接BD， 根据图象可知， 则有， 所以． 故选：D． 【点睛】本题考查网格与勾股定理以及锐角三角函数的定义，注意掌握在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值． 6. 如图，在中，，将绕直角边的中点O旋转，得到，连接，若恰好经过点C，且交于点G，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OG，由勾股定理求出AB=5，由直角三角形的性质求出CG，CD，AD的长，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：连接OG， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB==5， ∵点O是AC边的中点， ∴OC=OA=OD=AC=2， ∴∠GCO=∠ODC=∠BAC，∠ADC=90°， ∴AG=CG， ∴OG⊥AC， 在Rt△ABC中，sin∠BAC=，cos∠BAC=， ∴sin∠OCG=，cos∠OCG=， 在Rt△OCG中，CG=， 在Rt△ACD中， CD=AC•cos∠OCG=，AD=AC•sin∠OCG=， ∴DG=CD-CG=-=， ∴tan∠DAG=． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 二．填空题 7. （a+2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵(a+2)x²-2x+3=0是关于x的一元二次方程，∴a+2≠0，∴a≠-2． 故答案为a≠-2． 8. 已知是方程式的根，则式子的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】一元二次方程根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解． 【详解】解：是方程的根， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．直接利用二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为． 故答案为：． 10. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为____． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题主要考查了等弧所对圆周角相等，掌握相关概念是解题的关键． 由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【详解】解：的度数为， ∴， ， 为中点， ． 故答案为：． 11. 如图，是一个盛有水的容器的横截面，水面的宽度为为，水的最深处到水面的距离为，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点作于点，交于点，则，设的半径为，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则，， ∵水的最深处到水面的距离为， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m． 【答案】40 【解析】 【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系： ，， 设外侧抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、熟练掌握待定系数法是解题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】由，当时，， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴， ①当抛物线经过时，将点，代入， ∴ 解得： ②当抛物线经过点时，将点,代入， ∴ 解得： 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键． 三．解答题 14. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）运用公式法求解即可； （2）先移项，使等式右边为0，再提取公因式分解左边，使每一因式为0，求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴或， ∴，． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． （1）将各特殊角的三角函数值代入，再进行乘法及加减混合运算即可得出答案； （2）将各特殊角的三角函数值代入，再算乘方和乘法，最后算加减即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是__________． （2）已知的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 【答案】（1）4 （2）5或0 【解析】 【分析】（1）利用方程的中点值求解； （2）先根据方程的中点值的定义得到，然后把代入方程求出即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ， 方程的中点值是4； 【小问2详解】 解：根据题意得，解得， ∴方程化为， 把代入得， 解得或0，即的值为5或0． 【点睛】本题考查了新定义，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． 17. 某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有个座位，如果票价定为每张元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加元，那么门票就减少张． （1）当门票收入为元，票价应该定为多少元？ （2）票价定为多少元时门票收入最高？ 【答案】（1） （2）票价定为元时，门票收入最高 【解析】 【分析】（1）设票价应定为元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设门票收入为，根据题意，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设票价应定为元，依题意有： ， ， 解得：． 答：票价应定350元． 【小问2详解】 解：设门票收入为，依题意得， ， ， ∵，则时，取得最大值 即票价定为350元时，门票收入最高． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程与函数关系式是解题的关键． 18. 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60m，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为30°、铁塔顶部的仰角为45°，求建筑物AB的高度和铁塔CD的高度（结果保留根号）． 【答案】建筑物AB的高度为m，铁塔CD的高度为m． 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出AB的长；过点A作于点E．即可知四边形ABDE为矩形，由矩形的性质和可判定为等腰直角三角形，即可求出答案． 【详解】根据题意可知BD=60m，，． 设m，则m， ∵， ∴， 解得：， ∴m． 如图，过点A作于点E． 由作图可知四边形ABDE为矩形， ∴，m，AE=BD=60m． ∴为等腰直角三角形， ∴CE=AE =60m， ∴CD=CE+DE =m． 故建筑物AB的高度为m和铁塔CD的高度为m． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定．正确作出辅助线是解题关键． 19. 如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船． （1）图中______°． （2）求图中点A到捕鱼船航线的距离． （3）求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间． 【答案】（1） （2）点A到捕鱼船航线的距离为海里 （3）巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质可得，再利用角的和差运算可得答案； （2）过点作的延长线于点，在中，求解，而，再利用锐角的余弦可得答案； （3）先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，由题意可得：，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点作的延长线于点， 在中，，， ∴， ∴点A到捕鱼船航线的距离为海里； 【小问3详解】 设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为小时， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：，（不合题意舍去）， ∴巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时． 【点睛】本题考查的是方位角的含义，平行线的性质，勾股定理的应用，解直角三角形的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 20. 如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值； ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标； （3）点M是抛物线上的一点，且，设点M的横坐标为m，直接写出m的值． 【答案】（1） （2）①；②或 （3） 【解析】 【分析】（1）把，点，点，代入二次函数中，可得三元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①设点的横坐标为，则，，，根据二次函数的最值即可求解； ②过点，分别作轴的平行线与直线交于点，，可证，由，可得，设点的横坐标为，则，，得，即可得到，解方程即可得出答案； （3）过作交于，过作轴于，由可证明，得到，联立得抛物线与交点为和点M，即可得到． 【小问1详解】 解：把，点，点，代入二次函数中， 得， 解得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设点的横坐标为，则， ①∵，， ∴设直线解析式为， 把代入得，解得， ∴直线解析式为， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴，， ∴， 由于， ∴当时，有最大值，最大值为； ②如图，过点作轴的平行线与直线交于点，过点作轴的平行线与直线交于点， ∴， ， ∵， ， ， ∴， ， ∵直线的解析式为， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， 故为或； 【小问3详解】 解：过作交于，过作轴于，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∵抛物线与交点为和点M，点M的横坐标为m， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的特征及二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的最值，相似三角形的应用，全等三角形的判定与性质，根据函数图象上坐标点的特征得出的代数表达式是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学期中复习1 一．选择题 1. 若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是 A. 点A在圆外 B. 点A在圆上 C. 点A在圆内 D. 不能确定 2. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某超市的自动扶梯高为，坡角为，那么扶梯长为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A. k≥0 B. k＞0且k≠1 C. k≤0且k≠﹣1 D. k＞0 5. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕直角边的中点O旋转，得到，连接，若恰好经过点C，且交于点G，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．填空题 7. （a+2）x2﹣2x+3＝0是关于x的一元二次方程，则a所满足的条件是_____． 8. 已知是方程式的根，则式子的值为______． 9. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为__________． 10. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为____． 11. 如图，是一个盛有水的容器的横截面，水面的宽度为为，水的最深处到水面的距离为，则的半径为______． 12. 如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（的长）为_________m． 13. 在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则________． 三．解答题 14. 解方程： （1）． （2）． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 在一元二次方程中，若，则称是该方程中点值． （1）方程的中点值是__________． （2）已知的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 17. 某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有个座位，如果票价定为每张元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加元，那么门票就减少张． （1）当门票收入元，票价应该定为多少元？ （2）票价定多少元时门票收入最高？ 18. 如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60m，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为30°、铁塔顶部的仰角为45°，求建筑物AB的高度和铁塔CD的高度（结果保留根号）． 19. 如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船． （1）图中______°． （2）求图中点A到捕鱼船航线的距离． （3）求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间． 20. 如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． （1）求二次函数表达式； （2）点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值； ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标； （3）点M是抛物线上的一点，且，设点M的横坐标为m，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$