3.1.1函数的概念的课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1.1函数的概念 教学目标 1.建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 2.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 3.掌握区间的概念及其表示方法. 客观世界中有各种各样的运动变化现象。例如：天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化;一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路营业里程逐年增加，已突破2万公里……;所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可以函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律。 函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数 学问题的基本工具；数学概念及其反映的数学思 想方法已渗透到数学的各个领域，是进一步学习 数学的重要基础。 要点一　函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的______________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数❶ 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 唯一 4 题型 1　函数的概念 例1　 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是(　　) 答案：BCD 5 解析：A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义． 6 (2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　) A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积 解析：对于选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D，A集合不是数集，故不符合函数的定义． 答案：A 7 方法归纳 1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤 8 2．判断一个对应关系是否为函数的方法 9   答案：ABD 10 解析：选项A中，对于A中的任意一个实数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，故是A到B的函数． 选项B中，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数． 选项C中，集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数． 选项D中，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 11 二、抽象函数的定义域 复合函数： y=f[g(x)] 令 u=g(x) 则 y=f(u) 内函数 外函数 y=f[g(x)] 原函数 以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量 问 题： 方 法： 函数g(x)的值域和函数f(u)的定义域相同 12 若函数f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域 应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。 总结: 解: 由题意知: 13 1、若函数f(x)的定义域为[1，4]，则函数f(x+2) 的定义域为______. [-1,2] 练习： 14 解： 由题意知: 15 练习: 解： 由题意知: 16 例3、 已知函数f(x)的定义域是［a，b］,且a+b>0, 求g(x)=f(x)-f(-x)的定义域。 含参数问题讨论定义域 当a>0时，g(x)不是函数 当a=0时，g(x)的定义域是｛0｝ 当a<0时，g(x)的定义域 是［a, -a］ 分析： 17 18 ① 故由① ②可知 ② 19 设a，b是两个实数，且a<b.我们规定： （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b] （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b） （3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b）或（a,b] 这里的实数a和b都叫做相应区间的端点 数集的另外一种表示方法：区间 ( a, b ] 半开半闭区间 {x|a<x≤b} [ a, b ) 半开半闭区间 {x|a≤x<b} a b ( a, b ) 开区间 {x|a<x<b} [ a, b ] 闭区间 {x|a≤x≤b} 数轴表示 符号 名称 定义 a b a b a b 上述知识可概括为如下表：其中实心和空心用来区别是否取等号。 特殊的： （1）实数R可以用区间表示为（-∞，+∞） （2）x≥a可以用区间表示为 （3）x>a可以用区间表示为 (4) x≤b可以用区间表示为 (5)x<b可以用区间表示为 “∞”读用无穷大，“-∞”读作“负无穷大” “+∞”读作“正无穷大” 三、求函数的定义域 1.分母不能为零； 2.负数不能开偶次方； 3.0的0次方无意义； 4.有限个函数的四则运算得到的新函数（复合函数），它的定义域为这有限个函数定义域的交集 5.函数本身的要求 例2 已知函数 (1)求函数的定义域.（2）求 的值. (3）当a>0时，求f(a),f(a-1)的值. 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前面所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合. 解：（1） 有意义的实数x的集合是{x|x≥-3}， 有意义的实数x的集合是{x|x≠-2}，所以，这个函数 的定义域就是 . (2) （3）因为a>0，所以f(a),f(a-1)有意义. 思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？ 定义域、对应关系、值域；　　　 定义域相同，对应关系完全一致. 函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定； 27 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域. 因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 四:相同函数 1．(题型1)下列图形中可能表示函数图象的是 (　　) A　　　　　 B　　　　　C　　　　　D　 【答案】C 【解析】根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A，B，D都是一对多，只有C是多对一．故选C． 第三章　函数的概念与性质 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 【答案】D 【解析】选项A，B，C中两个函数的定义域均不相同．故选D． 第三章　函数的概念与性质 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 第三章　函数的概念与性质 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 4．(题型3)已知函数f(x)的定义域为(0,2)，则f(x－1)的定义域为________． 【答案】(1,3) 【解析】由题意知0<x－1<2，解得1<x<3，故f(x－1)的定义域为(1,3)． 第三章　函数的概念与性质 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 第三章　函数的概念与性质 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 第三章　函数的概念与性质 数学　选择性必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 课堂小结 让学生回答： 1.函数的定义： 2.函数的三要素： 35 2．(题型2)下列各组函数中表示同一函数的是 (　　) A．f(x)＝x与g(x)＝(eq \r(x))2 B．f(x)＝|x|与g(x)＝x(x>0) C．f(x)＝2x－1与g(x)＝2x＋1(x∈N*) D．f(x)＝eq \f(x2－1,x－1)与g(x)＝x＋1(x≠1) 【解析】由y＝(eq \r(x)＋1)2＋2≥3(x≥0)，可得函数的值域为[3，＋∞)．故选D． 3．(题型4)(2020年黔东南州高一期中)函数y＝x＋2eq \r(x)＋3的值域为 (　　) A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)) C．[2，＋∞) D．[3，＋∞) 【答案】D 5．(题型3、4)已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x). (1)求f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(2)的值； (3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值． 解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0， 所以f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2). (3)当a≠－1时，a＋1≠0， 所以f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1). $$