江苏省苏州市2024-2025学年上学期八年级数学期中模拟卷（三）

苏州市2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟卷（三） （范围：八上第2章-第5章 时间：100分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　） A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS 第2题第3题 3．如图，两个正方形的面积分别为64和49，则AC等于（　　） A．15 B．17 C．23 D．113 4．在△ABC中∠A，∠B，∠C，的对边分别是a，b，c，下列说法错误的是（　　） A．若∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形； B．若c2＝a2﹣b2，则△ABC是直角三角形 C．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形； D．若c2≠a2+b2，则△ABC不是直角三角形。 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝20°，DE⊥AC于E．则∠EDC的大小是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 第5题第6题 6．如图，已知等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（　　） A．45° B．60° C．55° D．75° 7．在平面直角坐标系中，点P（0，5）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（　　） A．（0，5） B．（5，0） C．（﹣5，0） D．（0，﹣5） 8．已知点M（3a﹣2，a+6）．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　） A．4 B．﹣6 C．﹣1或4 D．﹣6或 9．下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．3，4，6 D．6，8，10 10．若一个正数a的平方根是2x﹣7与2﹣x，则a的值是（　　） A．5 B．3 C．﹣3 D．9 二．填空题（共10小题） 11．若等腰三角形顶角等于130°，则底角度数为 　 　． 12．如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝18cm，AB＝10cm，则△ABD的周长为　 　． 第12题第13题 13．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为 　 　． 14．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的长度为　 　m． 第14题第15题 15．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．当∠BCD＝　 　°时，△BED是等边三角形． 16．若点A（﹣3，a）在x轴上，则点B（a+1，a﹣1）在第 　 　象限． 17．在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（5，﹣1），（5，2），则A，B两点间的距离为 　 　． 18．64的立方根为 　 　． 19．若＝0.7160，＝1.542，则＝　 　，＝　 　． 20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2cm/s的速度移动设运动的时间为ts当t＝　 　时，△ABP为直角三角形． 第20题 三．解答题（共10小题） 21．（1）如图1，P是等边三角形ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10．若P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC．求PP′的长度及∠APB的度数． （2）如图2，Q是等边三角形ABC内一点，QA＝5，QB＝12，∠AQB＝150°，求CQ的长． 22．如图，长方形ABCD中，AB＝9，AD＝4．E为CD边上一点，CE＝6．点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒． （1）当t为何值时，△PAE为直角三角形？ （2）是否存在这样的t，使EA恰好平分∠PED，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 23．规定概念：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． 概念应用：（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线． 24．已知点A（2a﹣b，5+a）与点B（2b﹣1，﹣a+b），当a，b为何值时， （1）点A，B关于x轴对称； （2）点A，B关于y轴对称． 25．已知点A（3a﹣b，5+a），B（3b﹣1，﹣a+b）． （1）若点A，B关于x轴对称，求a，b的值； （2）若点A，B关于y轴对称，求（14a+7b）2024的值． 26．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较小值称为点P的“短距”；当点Q到x轴、y轴的距离相等时，则称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣3，2）的“短距”为 　 　． （2）若点B（3a﹣1，5）是“完美点”，求a的值． （3）若点C（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点D（﹣6，2b﹣1）的“短距”． 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 （﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为 （﹣1，2）． （1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1； （2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 28．如图，学校高17m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处？ 29．如图，已知BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且AB+BC＝2BE． （1）求证：∠BAD+∠BCD＝180°； （2）若将条件“AB+BC＝2BE”与结论“∠BAD+∠BCD＝180°”互换，结论还成立吗？请说明理由． 30．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图①中，若△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE．写出∠BAD，∠BAC和∠BAE之间的数量关系，并证明． （2）如图②，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，AB＝AC，AD＝AE，点D、点E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME． （3）如图③，若AB＝AC，∠BAC＝∠ADC＝60°，试探究∠B和∠C的数量关系，并说明理由． 【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键． 20．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，∴BC＝4 cm． ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，∴t＝4÷2＝2s． ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣4）cm，AC＝3 cm， 在Rt△ACP中，AP2＝32+（2t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2， ∴52+[32+（2t﹣4）2]＝（2t）2，解得t＝s． 综上，当t＝2s或s时，△ABP为直角三角形．故答案为：2s或s． 【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 三．解答题（共10小题） 21．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°， ∵△P′AB≌△PAC，∴PA＝P′A＝6，PC＝P′B＝10，∠PAC＝∠P′AB， ∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′为等边三角形，∴PP′＝PA＝P′A＝6，∠APP′＝60°， ∵PP′2+PB2＝62+82＝102＝P′B2，∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°， ∴∠APB＝∠BPP′+∠APP′＝90°+60°＝150°． （2）将△QAC绕A逆时针旋转60°得到△Q′AB，则△QAC≌△Q′AB， ∴QA＝Q′A＝5，QC＝Q′B，∠Q′AQ＝60° ∴△AQQ′为等边三角形， ∴QQ′＝QA＝Q′A＝5，∠AQQ′＝60°， ∴∠Q′QB＝∠AQB﹣∠AQQ′＝90°， ∴QQ′2+QB2＝52+122＝Q′B2， ∴Q′B＝13，∴QC＝Q′B＝13． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的性质，直角三角形的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定和性质． 22．【解答】解：（1）①当∠AEP＝90°时，过点P作PM⊥CD， ∵∠EMP＝∠EDA＝90°，∠MPE＝∠DEA＝90°﹣∠MEP， ∴△PME∽△EDA，∴，即，解得t＝； ②当∠EPA＝90°时，t＝6；综上所述，当t＝6或时，△PAE为直角三角形． （2）存在，理由如下： ∵EA平分∠PED，∴∠PEA＝∠DEA，∵CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAP， ∴∠PEA＝∠EAP，∴PE＝PA，∴（6﹣t）2+42＝（9﹣t）2，解得t＝． ∴存在满足条件的t值，此时t＝． 【点评】本题考查了动点背景下的直角三角形性质和角平分线性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 23．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°， ∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∠BCD＝∠A， 在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ACD和△ABC是互为“等角三角形”； 在△ACD和△BCD中，∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴△ACD和△BCD是互为“等角三角形”； （2）证明：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠ACB＝180°﹣40°﹣60°＝80°， 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 28．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E， 由题意得：AE＝AB﹣BE＝17﹣2＝15（m），CE＝AB+AC﹣BE＝17+5﹣2＝20（m）， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝＝20（m）， 设DD′＝x m，则D′E＝（20﹣x）m， 在Rt△CED′中，由勾股定理得：D′E2+CE2＝CD′2，即（20﹣x）2+202＝252，解得：x＝5， 答：工程车向教学楼方向行驶5米，长25m的云梯刚好接触到AC的顶部点C处． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 29．【解答】（1）证明：过D作DF⊥BA，垂足为F， ∵AB+BC＝2BE，∴AB＝BE+BE﹣BC，AB＝BE+BE﹣BE﹣EC，AB＝BE﹣EC，AB+EC＝BE， ∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF＝DE， 在Rt△BFD和Rt△BED中，∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL）， ∴FB＝BE，∴AB+AF＝BE，又∵AB+EC＝BE，∴AF＝EC， 在△AFD和△CED中，∴△AFD≌△CED（SAS），∴∠DCE＝∠FAD， ∵∠BAD+∠FAD＝180°，∴∠BAD+∠BCD＝180°； （2）解：可以互换，结论仍然成立．理由如下： 过D作DF⊥BA，垂足为F，∵∠BAD+∠FAD＝180°，∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FAD， ∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF＝DE， 在△AFD和△CED中，∴△AFD≌△CED（AAS），∴AF＝EC， 在Rt△BFD和Rt△BED中，∴Rt△BFD≌Rt△BED（HL），∴FB＝BE，∴AB+AF＝BE， AB＝BE﹣AF＝BE﹣EC＝BE﹣（BC﹣BE）＝BE﹣BC+BE＝2BE﹣BC，即：AB+BC＝2BE． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握角平分线上的点到线段两端点的距离相等． 30．【解答】（1）解：∠BAD+∠BAC＝∠BAE， 理由如下：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，∴∠BAC＝∠DAE， 第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $$