第一章至第三章单元测试（一）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高中数学单元测试（一） 考试范围：必修一·第一单元 考试时间：120分钟； 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）（2021·辽宁·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）（21-22高三上·河南洛阳·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）（2007·湖南·高考真题）函数的图象和函数的图象的交点个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题5分）（20-21高二下·河南·阶段练习）已知函数的图象过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）（2018·陕西·一模）设x∈R，定义符号函数，则函数=的图象大致是 A． B． C． D． 6．（本题5分）（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是单调递增函数 B． C． D． 7．（本题5分）（2021高一上·江苏·专题练习）对不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）（2023·上海杨浦·模拟预测）设关于、的表达式，当、取遍所有实数时，（    ） A．既有最大值， 也有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值， 也无最小值 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（22-23高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的有（    ） A．实数是成立的充分不必要条件 B．已知的定义域为，则的定义域为 C． D．函数在区间内是减函数 11．（本题6分）（2023·海南·模拟预测）已知符号函数， 函数则下列说法正确的是（    ） A．的解集为 B．函数在上的周期为 C．函数的图象关于点对称 D．方程的所有实根之和为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）（20-21高一上·全国·阶段练习）已知正实数x，y满足，则实数的最小值为 . 13．（本题5分）（22-23高三上·上海徐汇·期中）已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 14．（本题5分）（2021高一·全国·专题练习）已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是 ； 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）（17-18高一上·北京·期中）已知全集，其子集，，求： （）． （）． （）． （）． 16．（本题15分）（19-20高一上·河南平顶山·期中）已知函数 （1）当时，求在上的最值； （2）若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 17．（本题15分）（18-19高一下·贵州毕节·期末）已知向量. （1）若，求的值； （2）记函数，求的最大值及单调递增区间. 18．（本题17分）（19-20高三上·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，且，其中、、为的内角，、、为角、、所对的边. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 19．（本题17分）（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” . (1)判断 是否为 的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由． (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高中数学单元测试（一）【含答案】 考试范围：必修一·第一单元 考试时间：120分钟； 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）（2021·辽宁·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）（21-22高三上·河南洛阳·阶段练习）若函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）（2007·湖南·高考真题）函数的图象和函数的图象的交点个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题5分）（20-21高二下·河南·阶段练习）已知函数的图象过点，且在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）（2018·陕西·一模）设x∈R，定义符号函数，则函数=的图象大致是 A． B． C． D． 6．（本题5分）（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是单调递增函数 B． C． D． 7．（本题5分）（2021高一上·江苏·专题练习）对不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）（2023·上海杨浦·模拟预测）设关于、的表达式，当、取遍所有实数时，（    ） A．既有最大值， 也有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．既无最大值， 也无最小值 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）（22-23高一上·河北衡水·阶段练习）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（22-23高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的有（    ） A．实数是成立的充分不必要条件 B．已知的定义域为，则的定义域为 C． D．函数在区间内是减函数 11．（本题6分）（2023·海南·模拟预测）已知符号函数， 函数则下列说法正确的是（    ） A．的解集为 B．函数在上的周期为 C．函数的图象关于点对称 D．方程的所有实根之和为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）（20-21高一上·全国·阶段练习）已知正实数x，y满足，则实数的最小值为 . 13．（本题5分）（22-23高三上·上海徐汇·期中）已知实数，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 ． 14．（本题5分）（2021高一·全国·专题练习）已知实数a，b满足，若关于x的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数a的取值范围是 ； 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）（17-18高一上·北京·期中）已知全集，其子集，，求： （）． （）． （）． （）． 16．（本题15分）（19-20高一上·河南平顶山·期中）已知函数 （1）当时，求在上的最值； （2）若函数在上的最大值为1，求实数a的值． 17．（本题15分）（18-19高一下·贵州毕节·期末）已知向量. （1）若，求的值； （2）记函数，求的最大值及单调递增区间. 18．（本题17分）（19-20高三上·山东菏泽·阶段练习）已知复数，，且，其中、、为的内角，、、为角、、所对的边. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 19．（本题17分）（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” . (1)判断 是否为 的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由． (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A C C A D BD AC 题号 11 答案 AC 1．D 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由题知,再根据集合交集运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 故选:D. 2．A 【难度】0.94 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可 【详解】的定义域为, 因为， 所以是奇函数， 所以不等式可化为， 因为在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，解得， 故选：A. 3．C 【难度】0.85 【知识点】 对数函数y=log2x的图像和性质、求函数零点或方程根的个数 【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，如下图所示： 由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C. 考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数． 4．A 【难度】0.85 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】先求出，再化简函数，通过整体代换求得函数在 单调递增，所以，从而得解. 【详解】的图像过点，，解得，，由，得，，，. 故选：A． 5．C 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、函数图像的识别 【详解】函数f（x）=|x|sgnx==x， 故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线， 故答案为C． 6．C 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、分段函数的单调性、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由函数解析式可判断函数为单调函数，且为增函数可判断A的正误；由的解析式求得的解析式，再求得的解析式，化简即可判断B的正误；将特殊值 代入即可排除C；由求得，再求得最值，可判断 ，即可得到结果. 【详解】对于A，函数为连续函数，且当时斜率为正，当时斜率为正，A正确； 对于B，， 即， 则当时，， 当时，， 所以， 即，则，故B正确； 对于C，, 故C错误； 对于D， 所以，故D正确. 故选：C 【点睛】关键点睛：分段函数的求解问题，关键要把握各段的自变量的取值范围. 7．A 【难度】0.4 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】原不等式整理为，令，，在上单调递增，分，，三种情况讨论，最后得出交集即为所求． 【详解】， 即， 令，， 因为在上单调递增， ①时，，即：恒成立， 需要在上恒成立， 而二次函数开口向下，所以需要 ， 解得； ②当时原不等式显然恒成立； ③时，恒成立，即恒成立， 在上恒成立， 又开口向下且对称轴为， 由及可知， 所以在上单调递减， 时，， 所以需要 ， 解得， 综上可得， 的取值范围是， 故选：A． 8．D 【难度】0.4 【知识点】求cosx(型)函数的值域、求cosx（型）函数的最值 【分析】根据，，的范围可以确定，但根据余弦函数取值特点，取不到端点值，用换元方法证明，进而得出答案. 【详解】由，，，易知. 同时，由于是无理数，因此当时，；当时，，故两端均不能取得等号. 补充证明：二元表达式（）可以取到任意接近和的值， 从而该式无最值. ①取，（），则. 对任意，由抽屉原理，存在，使得. 再考虑，使得（由的无理性，两头都不取等）. 则时，，从而，，即证. ②取，（），则. 对任意，由抽屉原理，存在，使得. 再考虑，使得（不取等的理由同上）. 则时，，从而，，即证. 故选：D． 9．BD 【难度】0.94 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据函数直接分析值域即可. 【详解】对于A，的值域为，故A错误； 对于B，的值域为，故B正确； 对于C，的值域为，故C错误； 对于D，定义域，即，则值域为，故D正确. 故选：BD 10．AC 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的定义域、求对数函数在区间上的值域、判断命题的充分不必要条件、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A，根据抽象函数的定义域判断B，根据指数函数、对数函数的性质判断C，根据幂函数的性质判断D. 【详解】对于A：当，则，故，即充分性成立， 当，，满足，但不满足，故必要性不成立， 所以实数是成立的充分不必要条件，故A正确； 对于B：的定义域为，令，解得， 故的定义域为，故B错误； 对于C：，，，所以，故C正确； 对于D，因为， 又可以由向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 因为在上单调递增，所以函数在区间内是增函数，故D错误． 故选：AC． 11．AC 【难度】0.4 【知识点】解分段函数不等式、求零点的和、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域、函数新定义 【分析】利用新定义及三角函数的性质一一判定即可. 【详解】根据定义可知，故的解集为，A正确； 所以， 而，显然，不是函数的一个周期，故B错误； 由题意可得，即函数的图象关于点对称，故C正确； 由上可知，故， 即函数的图象也关于点对称且最大值为2，易知在上单调递增， 且， 所以由零点存在性定理知在内方程存在一根， 由函数的对称性可知有3个根， 且该3根之和为， 故D错误.    故选：AC 【点睛】本题关键在于函数的对称性，二级结论如下：若函数满足函数关于中心对称，此外D项需要判定函数的单调性及零点存在位置，注意不能忽略. 12． 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由结合基本不等式得出实数的最小值. 【详解】正实数x，y满足，则实数 当且仅当且，即，时取等号. 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将变形为，再结合基本不等式得出最值. 13．9 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由已知，的最小值为0，可得到的关系.由的解集为，可得对应一元二次方程的两根之差为6，根据韦达定理可得关系式，两式联立，即可求得的值. 【详解】因为函数的值域为， 所以的最小值为0， 即，则， 不等式的解集为，即解集为， 则的两个根、分别为、， 所以两根之差为， 由韦达定理得，， 因为 ， 将代入得， ，解得． 故答案为：9. 14． 【难度】0.4 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先对不等式左边进行因式分解，再结合对进行分类讨论，分，和三种情况，求出符合要求的实数a的取值范围. 【详解】可变形为， 因为，所以， 其中， 当时，开口朝下，不合题意； 当时，，解得：，所以不满足整数解有且仅有3个，舍去； 当时，开口朝上， 因为，所以不等式解集为， 此时要想不等式解集中有且仅有3个整数，则这3个整数解为0，-1，-2， 则必有，所以，结合， 所以，所以， 综上： 故答案为：. 15．（）．（）．（）．（） 【难度】0.94 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据集合交、并、补运算的定义及运算顺序求解可得所求． 【详解】（）∵，， ∴． （）∵，， ∴． （）∵ ，， ∴． （）由题意得，， ∴． 【点睛】解答集合的运算问题时，Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 16．(1) 最小值为；最大值为3．(2) ，或 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）化简得到，根据对称轴和开口方向得到函数最值. （2）计算对称轴，讨论对称轴的范围，计算最大值解得答案. 【详解】（1）当时，， 故当时，函数取得最小值为；当，函数取得最大值为3． （2）由于函数图象的对称轴为， 当时，即时， 则当时，函数取得最大值为，解得． 当时，即时， 则当时，函数取得最大值为，求得． 综上所述：，或 【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生对于二次函数知识的灵活运用. 17．（1）或，（2），增区间为： 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、已知三角函数值求角、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据得到，再根据的范围解方程即可. （2）首先根据题意得到，再根据的范围即可得到函数的最大值和单调增区间. 【详解】因为，所以，即. 因为，. 所以或，即或. （2）. 因为，所以. 所以，. 因为， 所以. 令，得. 因为，所以增区间为：. 【点睛】本题第一问考查根据三角函数值求角，同时考查了平面向量平行的坐标运算，第二问考查了三角函数的最值和单调区间，属于中档题. 18．（1）（2） 【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据复数相等可得，变形化简即可求出B（2）根据，，，利用余弦定理可求出，代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵ ∴①， ②， 由①得 即， ∴，∵，∴； （2）∵，由余弦定理得， 即，④， 由②得⑤ 由④⑤得， ∴. 【点睛】本题主要考查了复数相等，余弦定理，三角形面积公式，三角恒等变形，属于中档题. 19．(1)是， (2) 【难度】0.4 【知识点】求对数型复合函数的值域、函数新定义 【分析】（1）根据定义，结合单调性即可求解； （2）先求出的值域，然后将问题转化为的图象与直线有两个交点的问题，然后对a进行分类讨论可得； 【详解】（1）由定义可得，对任意，恰好存在个不同的实数， 使得（其中）， 即， 由， 故当时，，此时不存在使成立， 当时，，且在上单调递增， 故对于任意，都有唯一一个，使得， 综上所述，对于任意，都有唯一一个，使得， 是的“重覆盖函数”，且； （2）由可得，故， ， 即，存在2个不同的实数，使得，其中， 由时，，故，即， 故，故对任意，， ， 即对任意，都有2个实根， 当时，，且在上递增， 故时，都有唯一确定的实根， 故当时，亦有且有一个实根， 当时，，且在上单调递减，符合题意， 当时， 为开口向下的抛物线，不符合要求，故舍去。 当时，则需对称轴，且， 即，且，即， 综上，实数的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$