精品解析：甘肃省兰州市第八十一中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期中试卷 八年级数学 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A. a=1，b=2，c=3 B. a=4，b=2，c=3 C. a=4，b=2，c=5 D. a=4，b=5，c=3 2. 在实数，，π，，，，（1和3之间的2逐次加1个）中，无理数个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是( ) A. B. C. D. 6. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个无盖圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知x、y为实数，且，则x-y的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 9. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为(　　) A. (－，1) B. (－1，) C. (，1) D. (－，－1) 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　） A. 1cm B. cm C. cm D. 2cm 11. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. 6 D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 比较大小：______（填“”“”“”）． 14. 在平面直角坐标系内，把点A（4，-1）先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是______． 15. 如图，四边形OABC为长方形，OA=1，则点P表示的数为_____． 16. 如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“兵”位于点，则“马”位于点____． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17. 计算： （1） ； （2）． 18. 如果一个数的平方根是和，求这个数． 19. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 20. 已知，平面直角坐标系中有一点． （1）点在二、四象限的角平分线上，求点的坐标； （2）点到轴的距离为2时，求点的坐标． 21. 在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了A（-2，3）和B（2，3）两个标志点，并且知道藏宝地点坐标为（-1，-1）．请在下图中建立平面直角坐标系并确定宝藏的位置． 22. 如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m． (1) 求这个梯子顶端A与地面的距离． (2) 如果梯子顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗? 为什么? 23. 在直角坐标系内的位置如图所示． （1）分别写出A、B、C的坐标 （2）请在这个坐标系内画出，使与关于y轴对称，并写出的坐标； （3）求的面积． 24. 先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 25. 阅读下列材料，并回答问题，事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）如图，于，，，，，求的长度． （3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹） 26. 已知：在中，，，点D在直线AB上，连接CD，在CD 的右侧作，． （1）如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______； ②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______． （2）如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，若，．直接写出DE的长______． （3）拓展延伸 如图3，，，，，求出线段EC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中试卷 八年级数学 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A. a=1，b=2，c=3 B. a=4，b=2，c=3 C. a=4，b=2，c=5 D. a=4，b=5，c=3 【答案】D 【解析】 【详解】A．∵， ∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵， ∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵， ∴能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 在实数，，π，，，，（1和3之间的2逐次加1个）中，无理数个数为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，无理数的定义：无限不循环小数是无理数，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴在，，π，，，，（1和3之间的2逐次加1个）中，属于无理数的有，，，…（1和3之间的2逐次加1个）共4个． 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据关于轴对称的点的坐标特征得出对称点的坐标，再进行判断，即可求解． 【详解】解：点关于轴的对称点为，在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了判断点所在的象限和点关于坐标轴的对称点，熟悉各个象限的点的特征是解决问题的关键． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：①被开方数不含有分母，②被开方数的每个因式的指数都小于根指数2． 【详解】解：A、含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 5. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中两个正方形的面积分别是和，则字母B所代表的正方形的面积是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：由勾股定理得：字母B所代表的正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟记：以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 6. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题应先计算出的值，再根据平方根的定义即可求得平方根； 【详解】解：， 又， 的平方根是， 故选：C． 【点睛】本题考查了立方根和平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根． 7. 如图，一个无盖圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆柱体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理． 圆柱体的侧面展开图为长方形，长为底面周长的一半，由两点之间线段最短，可得最短路程为线段的长，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，长方形为圆柱体的侧面展开图， 由两点之间线段最短，可得最短路程为线段的长， ∵圆柱的底面周长为， ∴， ∵是圆柱体的底面直径， ∴点为的中点， ∴， 又∵圆柱体的高为， ∴， ∴蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 故选：C． 8. 已知x、y为实数，且，则x-y的值为（ ） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵≥0，（y﹣2）2≥0，且+3（y﹣2）2=0，∴=0，（y﹣2）2=0，∴x﹣1=0且y﹣2=0，故x=1，y=2，∴x﹣y=1﹣2=﹣1．故选D． 9. 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为(　　) A. (－，1) B. (－1，) C. (，1) D. (－，－1) 【答案】A 【解析】 【详解】解：如图：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E， ∵∠OAD+∠AOD=∠COE+∠AOD， ∴∠OAD=∠COE， ∵OC=OA，∠ODA=∠OEC=90°， ∴△OAD△OCE全等， ∴OE=AD=，CE=OD=1， ∴点C的坐标为（-，1）， 故选A． 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为（　　） A. 1cm B. cm C. cm D. 2cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，进而根据折叠的性质求得，设的长为，则，勾股定理求得，进而求得的长 【详解】 AC＝4 ，BC＝3，∠C＝90°， 翻折 , 设的长为，则， 在中， 即 解得 故选B 【点睛】本题考查了勾股定理与折叠，掌握勾股定理是解题的关键． 11. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设绳索的长是，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即绳索的长是， 故选：B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限， 点A第二次关于x轴对称后在第三象限， 点A第三次关于y轴对称后在第四象限， 点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2021÷4＝505余1， ∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（−1，2）． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13. 比较大小：______（填“”“”“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，证明，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系内，把点A（4，-1）先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是______． 【答案】（1，-3） 【解析】 【分析】根据点的平移规律，左右移，横坐标减加，纵坐标不变；上下移，纵坐标加减，横坐标不变即可求得答案． 【详解】解：把点A（4，-1）先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A′，则点A′的坐标是（4-3，-1-2），即（1，-3）， 故答案为（1，-3）． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化-平移，正确掌握平移规律是解题的关键． 15. 如图，四边形OABC为长方形，OA=1，则点P表示的数为_____． 【答案】． 【解析】 【分析】利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵OA=1，OC=3， ∴OB==， 故点P表示的数为. 故答案为． 【点睛】本题考点：实数与数轴.解此题的关键在于根据勾股定理求得OB的长即可. 16. 如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“兵”位于点，则“马”位于点____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题关键．由“帅”位于点，“兵”位于点，找出坐标原点，即可得出答案． 【详解】解：∵“帅”位于点，“兵”位于点， ∴坐标系如图： ∴“马”位于点． 故答案为：． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17. 计算： （1） ； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据乘方、算术平方根、零次幂、二次根式的乘法化简，然后再合并同类二次根式即可； （2）先运用二次根式的性质、绝对值、平方差公式进行计算，然后再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、零次幂、二次根式的运算、平方差公式等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． 18. 如果一个数的平方根是和，求这个数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，根据平方根求原数，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程得到，再根据平方根的定义求出这个数即可． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴这个数为． 19. 如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？ 【答案】7200元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此得四边形由和构成，即可求解． 【详解】解：连接， 在 中，， 在中，，且， 即， ， ， ， 所以需费用（元）． 20. 已知，平面直角坐标系中有一点． （1）点在二、四象限的角平分线上，求点的坐标； （2）点到轴的距离为2时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据第二、四象限的角平分线上的横坐标、纵坐标互为相反数求解即可得； （2）根据题意可知，从而可以得到的值，进而即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：点在二、四象限的角平分线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：点到轴的距离为2， ， 解得或， 或， 点的坐标为或． 【点睛】本题考查了点的坐标、点到坐标轴的距离，熟练掌握在角平分线上的点的坐标的特征是解题关键． 21. 在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了A（-2，3）和B（2，3）两个标志点，并且知道藏宝地点坐标为（-1，-1）．请在下图中建立平面直角坐标系并确定宝藏的位置． 【答案】 解：宝藏的位置如图： ． 【解析】 【分析】先根据A、B的坐标建立平面直角坐标系，然后确定宝藏的位置即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解答本题的关键． 22. 如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m． (1) 求这个梯子顶端A与地面的距离． (2) 如果梯子顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗? 为什么? 【答案】（1）12m；（2）BD=-5>4m，不等于. 【解析】 【详解】解：（1）∵AO⊥DO, AB=13m ∵AC=4m ∴AO==12m ∴OC=AO－AC=8m ∴OC==12m ∴OD= ∴梯子顶端距地面12m高 = ∴BD=OD－OB= ∴滑动不等于4 m． 23. 在直角坐标系内的位置如图所示． （1）分别写出A、B、C的坐标 （2）请在这个坐标系内画出，使与关于y轴对称，并写出的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） 解：如图所示，即为所求； 由图可知； （3）5 【解析】 【分析】（1）根据点在坐标系中的位置写出对应的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同写找出A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接，再写出的坐标即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，写出坐标系中点的坐标，求三角形面积，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键． 24. 先阅读材料，然后回答问题． （1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简．经过思考 ①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； （2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简： ① ② 【答案】（1）④， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【小问1详解】 解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第 ④步出现了错误， 故答案为：④，； 【小问2详解】 解：①原式 ； ②原式 ． 25. 阅读下列材料，并回答问题，事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）如图，于，，，，，求的长度． （3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹） 【答案】（1）10； （2）； （3）， 点B即为所求 【解析】 【分析】（1）依据勾股定理进行计算，即可得到这个直角三角形斜边长； （2）依据勾股定理得AD=，进而得出BD=AD=； （3）依据勾股定理，即可得到点A表示的数以及点B的位置． 【详解】解：（1）由勾股定理可得，这个直角三角形斜边长为10 故答案为：10 （2）∵ ∴∠ADC=90° 在中， （3）点在数轴上表示的数是： 在Rt△OBC中，OB=OC= 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方是解题的关键． 26. 已知：在中，，，点D在直线AB上，连接CD，在CD 的右侧作，． （1）如图1，①点D在AB边上，线段BE和线段AD数量关系是______，位置关系是______； ②直接写出线段AD，BD，DE之间的数量关系______． （2）如图2，点D在B右侧．AD，BD，DE之间的数量关系是______，若，．直接写出DE的长______． （3）拓展延伸 如图3，，，，，求出线段EC的长． 【答案】（1）①BE＝AD，BE⊥AD；② （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）①证△ACD≌△BCE（SAS），得AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°，则∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，即可得出BE⊥AD； ②由①得AD＝BE，∠ABE＝90°，在Rt△BDE中，由勾股定理得BE2+BD2＝DE2，即可得出结论； （2）连接BE，证△ACD≌△BCE（SAS），得∠A＝∠CBE＝45°，则∠DBE＝90°，再由勾股定理得，则，进而求解即可； （3）过C作CA⊥CB交DB于A，证△ACD≌△BCE（ASA），得AD＝BE＝1，AC＝BC，则AB＝BC＝2，再由勾股定理求出DE的长，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵∠ACB＝90°，BC＝AC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∵CE⊥CD， ∴∠DCE＝90°＝∠ACB， ∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∴BE⊥AD， 故答案为：BE＝AD，BE⊥AD； ②由①得：AD＝BE，∠ABE＝90°， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：AD2+BD2＝DE2； 【小问2详解】 解：如图2，连接BE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∴∠DBE＝90°， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：， ∴， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB＝AC＝4， ∴AD＝AB+BD＝4+1＝5， ∴DE＝＝＝， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：过C作CA⊥CB交DB于A，设BD与CE相交于点O，如图3所示： 则∠ACB＝90°＝∠DCE， ∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE， 即∠ACD＝∠BCE， ∵∠DCO＝∠EBO＝90°，∠DOC＝∠EOB， ∴∠CDA＝∠CEB， 又∵CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BE＝1，AC＝BC ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵BC＝， ∴AB＝=BC＝2， ∴BD＝AB+AD＝3， ∵∠DBE＝90°， ∴DE＝＝＝， ∴EC＝DE＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、等角的余角相等等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，运用类比方法解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $