24.4相似三角形的判定同步练习2024—2025学年沪教版数学（上海）九年级第一学期

24.4相似三角形的判定同步练习2024-2025学年九年级第一学期数学沪教版 (1) 相似三角形的判定(相似的传递性、预备定理、判定定理1) 要点归纳 知道两个三角形相似的定义及有关概念，能以图形放缩运动的观点理解相似比；掌握相似三角形的预备定理和判定定理1. 疑难分析 例1 如图24-14,已知AD⊥BC,CE⊥AB,且交AD于点 P，试写出图中所有的相似三角形. 例2 如图24-15,已知∠1=∠2,∠3=∠B,试问:图中共有几对相似三角形?说明理由. 基础训练 1. 如图,在△ABC中,D为AC边上一点,. 则CD的长为 . 2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,且AD:BD =9:4,则AC:BC的值为 . 3. 如图, 于 点 D, 则ED = . 4. 如图,AB⊥BD,ED⊥BD,点C在线段BD上运动,ED=1,BD=4,AB =4.若△ABC与△CDE 相似,则BC的值为 . 5. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC中点,AE⊥AD交CB 延长线于点E,则△BAE 相似于 . 6. 如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 中点,且DE⊥AC,则( 7. Rt△ABC中,∠ACB = 90°,AC = 4厘米,BC = 2厘米,D为BC 的中点,若动点E以1厘米/秒的速度从点A出发，沿着A→B→A的方向运动后停止，设点E的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE 是直角三角形时，t的值为 . 8. 如图,梯形 ABCD中, AD ∥BC,∠BAC = 90°, AB =AC,点E是边AB上一点, 那么下列结论正确的有( ). ①∠AED = ∠ECB; ②∠ADE =∠ACE; ③ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图,已知在▱ABCD中,E是AD 延长线上一点,BE交AC 于点F,交DC 于点G,则下列结论中错误的是( ). A. △ABE∽△DGE B. △CGB∽△DGE C. △BCF∽△EAF D. △ACD∽△GCF 10. 如图,已知D是△ABC的边 AB上一点,在条件( ③AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个;④∠B =∠ACB 中,一定使△ABC∽△ACD的个数有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图,在平行四边形ABCD 中,过点A 作AE⊥BC,垂足为E,连接DE, F为线段DE上一点,且∠AFE =∠B. (1)求证:△ADF∽△DEC; (2)若. 求 AE 的长. 12. 正方形 ABCD 中,E是AD 中点, BM⊥CE 于点M,AB = 6厘米,求 BM的长. 拓展训练 13. 如图，已知在 中， AD是中线，P是AD上一点，过点C作 延长BP 交AC 于点E,交CF 于点 F.求证: (2) 相似三角形的判定定理(2) 要点归纳 类比全等三角形的判断方法 A. S. A或 A. A. S来理解记忆相似三角形的判定定理2，并能灵活应用. 疑难分析 例1 如图 24-16,D 是△ABC 内一点,E是△ABC 外一点,∠EBC = ∠DBA,∠ECB = ∠DAB.求证: ∠BDE =∠BAC. 例2 如图24-17,已知在△ABC中,BE,CF是 的两条高,BE, CF 交于点 G. 求证:(1) AC·CE = CF·GC; (2)∠AFE = ∠ACB. 基础训练 1. △ABC中,AB =6, AC =4,延长AC 到点D,当CD = 时,△ABC与△ADB 相似. 2. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°, BD平分∠ABC, DE⊥AB,若 BC = 6, AC = 8,则CD = . 3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ). 4. 下列说法一定正确的是( ). A. 有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似 B. 对应角相等的两个三角形不一定相似 C. 有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 D. 一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似 5. 如图,点M在BC上,点N在AM上, 下列结论正确的是( ). A. △ABM∽△ACB B. △ANC∽△AMB C. △ANC∽△ACM D. △CMN∽△BCA 6. 如图,△ABC 中,P 为 AB 上一点,在下列四个条件下:①∠ACP = ∠B;②∠APC =∠ACB;③AC²=AP·AB;④AB·CP = AP·CB.能得出△ABC∽△ACP 的是( ). A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 7. 在△ABC和△DEF中,由下列条件不能推出△ABC∽△DEF的是( ). C. AB = AC,DE = DF,∠B =∠E D. AB = AC,DE = DF,∠C =∠F 8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3, AC=4,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点 E，则CE 的长为( ). A. B. D. 2 9. 如图，已知点 D 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的一点，B 。则 10. 如图，已知在正方形ABCD 中，M为AD 中点，以M为顶点作 MN 交CD 于点 N.求证: 拓展训练 11. 如图,已知△ABC 与△ADE 均为等腰三角形, .如果点D在边BC 上,且∠EDC =∠BAD,点O为AC 与DE 的交点. (1) 求证:△ABC∽△ADE; (2) 求证:DA·OC =OD·CE. 12. 如图,在 中，点P是边AB上任意一点，直线 与边AC 或BC相交于点E.点M在线段AP 上,点 N在线段BP上, (1) 如图(a),当点 E 与点C 重合时,求 CM的长; (2) 如图(b),当点 E在边AC上时,点E 不与点A,C重合,设 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3) 若 的顶点A，M，E分别与 的顶点E, N,B对应),求AP 的长. (3) 相似三角形的判定定理(3) 要点归纳 类比全等三角形S. S. S的判断方法来理解记忆相似三角形的判定定理3，并能综合应用相似三角形的三个判断方法. 疑难分析 例1 如图24-18,已知△ABC 和△ADE 有公共顶点A,且 求证:△ABD∽△ACE. 例2 如图24-19,四边形ABCD中,AC⊥BD交BD 于点 E,点F,M分别是AB,BC的中点,BN平分∠ABE交AM于点 N, AB = AC = BD.连接MF, NF. (1) 判断△BMN的形状，并证明你的结论； (2) 判断△MFN与△BDC 之间的关系,并说明理由. 基础训练 1. 根据下列条件,能判定△ABC和△DEF 相似的个数是( ). ①∠ABC = 35°,∠ACB = 75°,∠EDF = 80°,∠DEF = 35°; ②AB =3,BC=2,∠ABC =30°, DE =6,EF =4,∠EDF =30°; ③ 2. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. P 是Rt△ABC斜边BC 上异于B,C 的一点,过点 P 作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( ). A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3. 如图,已知∠ABD =∠ACD,图中相似三角形的对数是( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，已知四边形 ABCD 是正方形，E是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中,能推出△ABP 与△ECP 相似的是( ). A. ∠APB =∠EPC B.∠APE = 90° C. P是BC的中点 D. BP : BC = 1: 3 5. 如图,已知在△ABC中,AD⊥BC于点D,且有下列条件,其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( ). ①∠B+∠DAC = 90°; ②∠B = ∠DAC; ③ A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 6. 已知△ABC中,P是AB 上的一点,. ，则CP = . 7.△ABC的边长分别为a,b,c,△A₁B₁C₁的边长分别为 ,则△ABC与△A₁B₁C₁ (选填“一定”“不一定”或“一定不”)相似. 8. 如图,在大小4×4的正方形方格中,△ABC的顶点A, B,C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个 使 (相似比不为1)，且点. 都在单位正方形的顶点上. 9. 已知在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q分别在边AB,AC上, 3,如果△APQ 与△ABC 相似,那么AP 的长等于 . 10. 如图,四边形ABDC, CDFE, EFHG 是三个正方形,则 的值为多少? 11. 如图,已知在四边形ABCD中, 延长 AD, BC 相交于点E.求证: (1)△ACE∽△BDE; (2)BE·DC = AB·DE. 拓展训练 12. 如图,已知在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,O是AB 的中点,将 角的顶点置于点 O，并绕点O旋转，使角的两边分别交边AC，BC于点D，E，连接点 D，E. (1)观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形? 若有，请把它找出来，并加以证明； (2)设AD=x，BE =y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域； (3) 当x为何值时,△ODE 是等腰三角形? (4) 直角三角形相似的判断 要点归纳 理解并应用斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 疑难分析 例 1 如图24-20,已知在△ABC和△A₁B₁C₁ 中,AD⊥BC,A₁D₁⊥B₁C₁,垂足为D和D₁，且 求证:△ABC∽△A₁B₁C₁. 例2 如图24-21,在△ABC中,AB=AC=3,BC=2,点D,E, F 分别在边 AC, AB, BC 上,△BEF 沿着直线EF 翻折后与△DEF重合,设CD =x, BF = y. 试问: △DFC是否有可能与△ABC 相似? 如有可能，求出CD长；如不可能，说明理由. 基础训练 1. 下列每组中的两个三角形，相似的是( ). A. △ABC中,∠A =35°,∠B =50°;△A'B'C'中, B.△ABC中,AB =1.5,BC =1.25,∠B =38°;△A'B'C'中, 1.5, C. △ABC 中,AB =12,BC = 15, CA =26;△A'B'C'中, D. Rt△ABC中,斜边AB=5,直角边BC=3;Rt△A'B'C'中,斜边 直角边 2. 下列命题中，说法正确的个数是( ). ① 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似； ② 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似； ③ 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似； ④ 两边对应成比例的两三角形相似. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图,已知在直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD ∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠BEC = 90°.将△BEC 绕点C旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连接EF 交CD 于点M.已知BC =5,CF =3,则DM:MC 的值为( ). A. 5:3 B. 3:5 C. 4:3 D. 3:4 4. 如图,已知在直角梯形ABCD中,BC∥AD(BC<AD),BC=a,AB =b,AC⊥CD,则 5. 已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3：4两段，则斜边上的中线长是 . 6. 如图,已知在矩形 ABCD 中, E是DC上 一点， 则 EC 的长是 7. 如图,已知在△ABC中, P为 内一点且 120°, AP = 3, BP = 2,求 CP 的长. 8. 如图,已知E,F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点,且 求证: ∠AEF = ∠FBD. 拓展训练 9. 如图,已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠AEB=∠ADC. (1) 求证:△ADE∽△DBC; (2) 连接EC,若 求证:∠DCE =∠ADB. (5) 相似三角形的判定(5) 要点归纳 能灵活运用相似三角形的判定定理. 1. 如果一条直线平行于三角形的一边，且这条直线与原三角形的两边(或两边的延长线)相交，那么所构成的三角形与原三角形相似. 2. 两角对应相等，两三角形相似. 3. 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 4. 三边对应成比例，两三角形相似. 5. 斜边和直角边对应成比例，两直角三角形相似. 疑难分析 例1 如图24-22,已知EM⊥AM,CE= DE. 求证:2ED·DM = AD·CD. 例2 在△ABC中,∠ACB =90°,CQ是斜边AB 上的中线, ,点 P是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，经过点 P，Q的直线与直线AC 交于点N，若△PNC 与△ABC相似,求 BP 的值. 基础训练 1. 下列判断正确的是( ). A. 不全等的三角形一定不是相似三角形 B. 任意两个等腰三角形都相似 C. 任意两个等腰直角三角形都相似 D. 邻边之比为2 的两个平行四边形是相似形 2. P是△ABC一边上的一点(P不与A, B, C重合),过点 P的一条直线截△ABC,如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点 P 的△ABC的“相似线”.在Rt△ABC中，∠C =90°,∠A=30°,当点P为AC的中点时,过点 P的△ABC的“相似线”最多有( ). A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 3. 一个斜坡长70米，高5米，把重物从坡底沿着斜坡推进20米后停下，此时物体的高度是( ). A. 1 米 米 米 米 4. 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,∠ABD =∠ACD =∠DBC,则下列结论不成立的是( ). A. △AOB∽△DOC B.△ABD∽△ACB C. △AOD∽△BOC D. △BCD∽△DOC 5. 如图,在△ABC中,∠B=∠ACD,则 ∽ .若AD=2,DB =6,则AC = . 6. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, CD⊥AB, AC = 6, AD = 3.6,则 BC = , BD = . 7. 如图，已知 , AC 与ED 交于点F,则 8. 在 中，点G为重心，若边 BC上的高为6，则点G到BC 的距离为 . 9. 如图,在 中， 点D在边BC上， 且有 那么 BD 的长为 . 10. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC =3,点D,E分别在BC, AC上,且BD = CE,设点 C 关于DE 的对称点为F.若 ,则 BD 的长为 . 11. 如图,已知在△ABC 中,AB = AC, AD⊥AC 于点A,交 BC 于点 D,且 厘米，BD =1厘米,求CD 的长为多少? 拓展训练 12. 如图,已知M为正方形ABCD 的边AB 上一点,BP⊥CM于点P, N是BC上一点,PD ⊥PN. 求证: BM = BN. 学科网（北京）股份有限公司 $$