24.4相似三角形的判定方法复习　课件　2023—2024学年沪教版（上海）九年级第一学期

§24.4相似三角形的判定方法复习（1） 2022.09.27 一、复习引入 形状相同的两个图形 今天我们来研究其中比较特殊的情况 相似三角形 什么是相似形? 三角形相似的判定方法： 1、三角形相似的传递性： 若△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，则△ABC∽△A2B2C2 2、相似三角形的预备定理： 若DE∥AB，那么△ADE∽△ABC. 3.相似三角形判定定理： 两角对应相等 两边对应成比例且夹角相等 三条边对应成比例 两三角形相似 4、直角三角形相似的判定定理： 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似. 1、如图，△ABC的边BC的平行线DE、GH分别交BA、CA所在的直线于点D、G、E、H，图中的相似三角形有_______________________________________ △ADE∽△ABC △AGH∽△ABC △AGH∽△ADE 二、引入主题： 2、如图，DE不平行BC，要使得△ADE∽△ABC，可以添加的条件是________ ∠ADE=∠B 或∠AED=∠C 或 “斜X”型 “斜A”型 四个基本图形 共同特点 ? 有一个公共角或一组对顶角的两个三角形。 “正A”型 “正X”型 证明方法？ 再证明一个角相等或者夹公共角（对顶角）的两边对应成比例就能证明两三角形相似。 “斜A”型 “斜X”型 5、如图，在□ABCD中，点E在BC上，AE交BD于F， 已知 求证： 证明：∵ ∴ 又∵∠BEF=∠AEB ∴△ABE∽△BFE ∴∠1=∠2 ∵在□ABCD中,AD//BC ∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 又∵∠ABF=∠ABD ∴△ABF∽△DBA ∴ ∵AB=DC ∴ 3 四、学生小结： 1、学习了相似形中四个基本图形 3、要学会善于归纳题型，要学会使用基本图形解题。 2、主要学习了的“斜A型”。 相似三角形的表示方法： △ABC ∽△A'B'C' 读作： 对应顶点的字母分别写在相对应位置上 记作： 相似于 △A’B’C’ 如图，DE是△ABC的中位线，请问△ABC与△ADE有何关系？为什么？ 探究 相似三角形的性质 DE∥BC 由相似三角形的定义可得: △ADE∽△ABC 相似三角形的对应角相等， 对应边成比例． 相似比 两个相似三角形的对应边的比k，叫做这两个相似三角形的相似比（或相似系数） 如图， 与 的相似比 k与k’有何数量关系？ 注意：两个相似三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关． 或 相似三角形的性质： 与 的相似比 此时k= 吗 当两个相似三角形的相似比k=1，这两个相似三角形有怎样的关系？ 全等三角形 想想全等三角形与相似三角形是何关系？ 全等三角形一定是相似三角形， 全等三角形是相似三角形的特例． 思考 对应边相等   如果 ∽ ， ∽ 那么 与 相似吗？为什么？ 新知探索 △ABC∽△A1B1C1 △A1B1C1∽△A2B2C2 △ABC∽△A2B2C2 相似三角形的定义 同一个三角形 ×可得： 等量代换得 如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似． ∽ , ∽ ∴ ∽ (相似三角形的传递性) 相似三角形具有传递性 （判定方法） 符号语言： ∵ 对应角相等， 对应边成比例 如图，如果DE∥BC，那么 与 相似吗？为什么? 现有的证明两个三角形相似的方法是什么？ 相似三角形的定义 符合角和边的条件了吗？ DE∥BC ∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∽ 思考 公共角：∠A=∠A 证明： ∵DE∥BC ∽ 如图，如果DE∥BC，那么 与 相似吗？为什么? 思考 由平行得对应线段成比例，同位角相等. 再加公共角，得对应角相等，对应线段成比例，得三角形相似. 如果DE交直线AB、AC所形成 ，那 么 与 还相似吗？为什么? 探究 E 与思考题区别在哪？ D DE∥BC ∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∠BAC=∠DAE ∽ 仍可得： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似． ∵ DE∥BC ∽ （相似三角形的预备定理） 符号表达： 相似三角形的预备定理： 归纳小结： 一边 直线 适时小结： 一是定义法； 二是预备定理． 能类比全等三角形的判定定理得到相似三角形的判定定理吗？ 掌握了证明三角形相似的两种方法： 还有其他的 证明方法吗？ 思考：在 与 中， ，那么 与 相似吗? A B C A1 B1 C1 已有两个角对应相等，用定义还是预备定理证相似？ 预备定理 怎样添加辅助线，才能构造出使用预备定理的基本图形？ 辅助线写法：在△ABC边AB（或延长线）上，截取AD=A1B1 ，过D作DE∥BC交AC于E. D E 作相似 证全等 △ADE≌△A1B1C1 △ADE∽△ABC △ABC≌△A1B1C1 DE∥BC AD=A1B1 点D的位置？ 由∠A=∠A1，可 知将两个三角形 的∠A和∠A1叠 合时，B1在AB 上，C1在AC上。 此时就能构造出 预备定理的基本 图形 在 与 中， 求证： ∽ ， A B C D E A1 B1 C1 证明：在AB截取AD=A1B1 ，过D作DE∥BC 交AC于E. ∵DE∥BC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC (相似三角形的预备定理)． ∴ ∽ (相似三角形的传递性)． （两角对应相等，两个三角形相似） 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 符号语言： A B C A1 B1 C1 ∽ （两角对应相等，两个三角形相似）． 相似三角形判定定理1： 例1、已知：在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B， 求证： ∽ ． ∠B=∠C 用哪种方法来证明△BED∽△CDF呢？ 相似三角形 判定定理1 再需找出哪对角相等？ ∠1=∠2还是∠3=∠4？ E F C D B 1 2 3 4 1 2 3 4 观察图形可得，∠EDC是 △EBD的外角，同时又是 ∠5与∠2的和，因此可得 ∠2=∠1 5 例3、已知：在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B， 求证： ∽ ∽ （两角对应相等，两个三角形相似）． 有一对角相等， 找另一对角相等 E F C D B 3 2 1 课堂练习： 1、依据下列条件判定△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．如果相似，那么用符号表示出来． ①∠A=∠D=70°，∠B=60°，∠E=50°； 由三角形内角和可得：∠C=50° △ABC∽△DEF ∠C=∠E ∠A=∠D 1、依据下列条件判定△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．如果相似，那么用符号表示出来． ②∠A=40º，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°． 由三角形内角和可得：C=60°，即∠C=∠F △ABC∽△DEF 课堂练习： ∠B=∠E 2、如图：E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．图中有那几对相似三角形？ AB∥CD，AD∥BC AB∥CD AD∥BC △AFE∽△BCE E A F B C E A D F C △AFE∽△DFC 由相似传递性可得： △DFC∽△BCE 课堂练习： 3、已知：如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且 ．求证： ． 课堂练习： 由∠AED=∠B, 公共角∠A 由判定定理1， 得△AED∽△ABC 根据四条线段的位置，可 知应寻找比例关系 3、已知：如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且 ．求证： ． ∽ （两角对应相等，两个三角形相似）． 即： 课堂练习： 课堂小结： 本节课主要学习了什么，有何收获？ 1、相似三角形的定义． 对应角相等，对应线段成比例 2、相似三角形的性质： 课堂小结： ③相似三角形判定定理1． 3、相似三角形的判定方法： ①相似三角形的传递性； ②相似三角形的预备定理； A B C B1 C1 ∽ A1 ∽ , ∽ ∴ ∽ ∵ ∵ DE∥BC ∽ 布置作业：练习册24.4(1) $$