专题突破三：数字类规律探索（20道）2024-2025学年人教版数学七年级上册

2024-2025七年级上册数学重难点提升（人教版） 专题突破三：数字类规律探索（20道） 【选填压轴专练】 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1．有下列式子：，，，，，，则第个式子是（  ） A． B． C． D． 2．观察下列数：根据其中的规律，第8个数是（   ） A． B． C． D． 3．观察，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．5 4．有一串彩色的珠子，按“红、黄、蓝”的顺序重复排列，其中有一部分放在盒子里，如图所示，则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 5．观察并找规律： 那么的个位数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．观察下列数：根据其中的规律，第6个数是（   ） A． B． C． D． 7．观察图，找出规律，，，根据规律＝（    ） A． B． C． D． 8．一组数据、、、、，请你按这种规律写出第七个数 ． 9．有按规律排列的一列数：则这列数中第2025个数是 ． 10．观察下列算式： ；；；；；…… 若字母n表示自然数，请你把观察到的规律用含有字母n的式子表示出来： ． 11．观察下列两行数： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，…． 1，4，7，10，13，16，19，22，25，…． （1）第2行数中第n个数是 ；（用含n的代数式表示） （2）探索以上两行数发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，则第m个相同的数是 （用含m的代数式表示）． 12．观察以下等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：， 猜想并写出： ． 如果，求 ． 13．已知，，，，，按此规律， ． 14．数学中有一种新的运算叫作阶乘：对于任意正整数n，规定，那么的个位数字是 15．已知（即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，）按此规律，当时， ． 16．观察下面一列数：，，，，，，，，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么数是第 行从左边数第 个数． 17．按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2025个数是 ． 18．观察下列算式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 19．阅读下面的文字，完成后面的问题： 我们知道：；；．这样的方法叫做拆项法． 那么： (1)根据拆项法我们可以发现：　　；　　； (2)用含有的式子表示你发现的规律 　　； (3)求式子的值； (4)求式子的值． 20．请观察下列算式，找出规律并填空 ，，，则： (1)第10个算式是____________． (2)第个算式为____________． (3)根据以上规律解答下题：的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025七年级上册数学重难点提升（人教版） 专题突破三：数字类规律探索（20道） 【选填压轴专练】 本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1．有下列式子：，，，，，，则第个式子是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式中的规律推理，解题的关键是掌握代数式的变化规律．根据题意可推出第个式子为，据此解答即可． 【详解】解：第一个式子为：-3a=(-1)1×3×a1 第二个式子为：6a2=(-1)2×3×2a2， 第三个式子为：-9a3=(-1)3×3×3a3， ， 第个式子为：（-1）n×3n×an， 第个式子为：(-1)8×3×8a8=24a8， 故选：C． 2．观察下列数：根据其中的规律，第8个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了数字规律，解题的关键是归纳总结得到一般性规律． 根据观察发现，已知数列的规律为：偶次幂为正，奇次幂为负，分子是奇数，分母是偶数，归纳总结得到一般性规律，确定出第8个数即可． 【详解】解：根据题中数据规律可得：第n个数为：， 故第8个数是， 故选：D． 3．观察，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可以发现，这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，个位数字为1，3，7，5依次出现，再由，可得的个位数字与的个数数字相同，即为5． 【详解】解：：， ， ， ， ， ， ……， 以此类推，这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，个位数字为1，3，7，5依次出现， ∵， ∴的个位数字是5． 故选：D． 4．有一串彩色的珠子，按“红、黄、蓝”的顺序重复排列，其中有一部分放在盒子里，如图所示，则这串珠子被放在盒子里的颗数可能是（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查找规律，根据题意，通过观察、归纳、抽象出图形变化规律，由珠子按“红、黄、蓝”的顺序重复排列，盒子内的珠子数量一定是的倍数加，即数量为，由此讨论验证即可得到答案，准确找准规律是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，可知盒子内珠子数量为， A、当，解得，不是整数，选项不符合题意； B、当，解得，不是整数，选项不符合题意； C、当，解得，是整数，选项符合题意； D、当，解得，不是整数，选项不符合题意； 故选：C． 5．观察并找规律： 那么的个位数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字类的规律，正确理解题意找到规律是解题的关键．先根据题意得到这一列数的个位数字是2、4、8、6进行循环出现的，然后根据2024除以4的商的情况求解即可． 【详解】解：，个位数字是2， ，个位数字是4， ，个位数字是8， ，个位数字是6， ，个位数字是2， ，个位数字是4， ，个位数字是8， ，个位数字是6， …… ∴可以得到这一列数的个位数字是2、4、8、6进行循环出现的， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，即为6， 故选∶C． 6．观察下列数：根据其中的规律，第6个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探究，能正确得出数字变化规律是解题关键．根据前几个数的排列规律：分子按奇数依次排列，分母依次乘2，且奇数项为负，偶次项为正，据此解答即可． 【详解】解：观察发现，第个数是， 第6个数是， 故选：D． 7．观察图，找出规律，，，根据规律＝（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了数字类规律探索，有理数的加减，由题意得出计算顺序与方法，列数式子，根据有理数的加减运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：，，， ， 故选：B． 8．一组数据、、、、，请你按这种规律写出第七个数 ． 【答案】/ 【分析】本题是一道找规律的题目，考查了数字的变化类型，分别找出分子与分母的变化规律是解此题的关键．正负间隔出现，分母是连续的奇数，分子为连续自然数的平方，则第项为． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第5个数为， ……， 以此类推可知，第个数为为． ∴第7个数为． 故答案为：． 9．有按规律排列的一列数：则这列数中第2025个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的规律型：数字的变化类，由所给的数可得，奇数项为负，偶数项为正，其分母为，据此即可作答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 第个数为：， 第2025个数为：． 故答案为：． 10．观察下列算式： ；；；；；…… 若字母n表示自然数，请你把观察到的规律用含有字母n的式子表示出来： ． 【答案】（n为正整数） 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知两相邻自然数的平方的差（大数的平方减去小数的平方）等于这两个自然数的和且等于较大数的2倍减去1，据此规律求解即可． 【详解】解：； ； ； ； ， ……， 以此类推可知，（n为正整数） 故答案为：（n为正整数）． 11．观察下列两行数： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，…． 1，4，7，10，13，16，19，22，25，…． （1）第2行数中第n个数是 ；（用含n的代数式表示） （2）探索以上两行数发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，则第m个相同的数是 （用含m的代数式表示）． 【答案】 / / 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察探索出每行数的规律是解题的关键． （1）后一个数比前一个数多3，由此可得第个数是； （2）通过观察发现，第个相同的数是，即可． 【详解】解：（1），4，7，10，13，16，19，22，25，， 第个数是， 故答案为：； （2）第1个相同的数是， 第2个相同的数是， 第3个相同的数是， 第个相同的数是， 故答案为：． 12．观察以下等式：，，， 将以上三个等式两边分别相加得：， 猜想并写出： ． 如果，求 ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，绝对值的意义，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律是解题的关键． ①根据所给的等式，直接求解即可； ②先求出，，再根据规律，将所求式子变形为，再求解即可． 【详解】解：①根据题意可得，， 故答案为：； ②∵， ∴，， 解得：，， ∴ ， ， 故答案为：． 13．已知，，，，，按此规律， ． 【答案】 【分析】本题考查数字的规律型，有理数的加法，由该一连串的等式可以看出从开始个连续的奇数的和等于，可以得出是从开始个连续的奇数相加．掌握从开始个连续奇数的和为的规律是解题的关键． 【详解】解：由，从开始连续个奇数相加； ，从开始连续个奇数相加； ，从开始连续个奇数相加； ∴从开始个连续的奇数的和等于， ∴从开始个连续奇数相加的和等于，即：． 故答案为：． 14．数学中有一种新的运算叫作阶乘：对于任意正整数n，规定，那么的个位数字是 【答案】 【分析】本题考查新定义的运算的理解，属于简单题，关键在于熟悉理解． 由于，，，，，再往后的结果个位数都是0，依此可求的个位数字． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 再往后的结果个位数都是0， ∵， ∴的个位数是； 故答案为： 15．已知（即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，）按此规律，当时， ． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式． 根据题目中的材料，可以计算出前几项的值，可以发现数据的变化规律，从而可以求得的值． 【详解】解：当时， ， ， …… 每6个数一循环，按的顺序循环， ， ∴， 故答案为：． 16．观察下面一列数：，，，，，，，，将这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么数是第 行从左边数第 个数． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的规律探索，解题的关键是根据已知的数字找到规律进行求解．根据数的排列，每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数行都是负数，偶数行都是正数，由的平方与最接近，可求出的位置． 【详解】解：， 是第行从左边数第个数， 故答案为：，． 17．按一定规律排成的一列数：，，，，，，，则这列数中的第2025个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类找规律，将这列数的分母写出连续自然数，进而发现规律，即可求得答案． 【详解】解：∵，，，，，，…… 即 ∴这列数的分子为从1开始的连续的自然数，分母为分子加2 则这列数中的第2025个数是， 故答案为：． 18．观察下列算式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据已知的式子可以得到末尾数字是4个一次循环，据此即可作出判断，正确注意到末尾数字的循环关系是关键． 【详解】解：根据已知的式子可以得到末尾数字是，这样4个一次循环， 则， 则的末位数字是1， 故答案为：1． 19．阅读下面的文字，完成后面的问题： 我们知道：；；．这样的方法叫做拆项法． 那么： (1)根据拆项法我们可以发现：　　；　　； (2)用含有的式子表示你发现的规律 　　； (3)求式子的值； (4)求式子的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了列代数式及有理数的运算，能根据题意发现是解题的关键． （1）根据题中所给拆项法，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（2）中总结的规律即可解决问题． （4）结合（2）中总结的规律发现，，，据此可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ； ； ； 则，． 故答案为：，． （2）解：由（1）可知， 我发现的规律为：． 故答案为：． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 20．请观察下列算式，找出规律并填空 ，，，则： (1)第10个算式是____________． (2)第个算式为____________． (3)根据以上规律解答下题：的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察前面几个式子可知，相邻两个正整数的乘积的倒数等于较小的正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）根据得到的规律把所求式子裂项，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ……， 以此类推可知，第n个算式为， ∴第10个算式为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得第n个算式为， 故答案为：，； （3）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $$