24.3三角形一边的平行线同步练习2024-2025学年沪教版（上海）九年级数学第一学期

24.3三角形一边的平行线同步练习2024-2025学年九年级第一学期数学沪教版 (1) 三角形一边的平行线(性质定理) 要点归纳 掌握三角形一边的平行线的性质，并理解三角形一边的平行线的性质定理推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，认识“A”字形和“X”字形这两个基本图形. 疑难分析 例1 如图24-4,在△ABC中,AB=10,AC=8,点D在直线AB上,过点D作DE∥BC交直线AC于点E.如果BD=4,求AE 的长. 例2 如图24-6,已知平行四边形ABCD, DE =BF.求证: 基础训练 1. 如图,已知在△ABC中,DE ∥BC, AB = 8, AD = 5,EC =4,则AE的长为 . 2. 在△ABC中,点 D在边AB 上,点 E 在边AC 上,DE ∥BC, AD =4BD,则AC = EC. 3. 阳光通过窗口照在教室内，在地面上留下 2.7米宽的亮区(如图).已知亮区一边到窗下的墙角距离CE =8.7米，窗口AB =1.8米,那么窗口底边离地面的高BC = . 4. 在△ABC中,点D, E分别在AB, AC的反向延长线上,DE ∥BC.若AD : AB =2:3, EC = 12厘米,则AC = 厘米. 5. 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE ∥BC, AC = 5厘米, 则 6. 如图,在△ABC中,. 于点 D,点F是BC中点,过点 F作. BC 交AB 于点 E, BD: DC = 3:2,则BE: EA = . 7. 如图,1 ，下列各式正确的是( ). 8. 如图,已知△ABC 是边长为2 的等边三角形, DE ∥BC, 求 EC的长. 9. 如图,在△ABC中,EF ∥DC,DE ∥BC,求证: AF:FD =AD : DB. 拓展训练 10. 如图,在▱ABCD 中,P 为对角线BD 上的点,过点 P作一直线分别交BA，BC的延长线于Q，R两点，交CD,AD 于S,I两点,求证:PQ·PI = PR·PS. 11. 如图,在梯形 ABCD 中,AD // BC,对角线的交点为点 O,CE ∥AB 交BD 的延长线于点E.若OB =6, OD =4,求DE 的长. (2) 三角形一边的平行线(性质定理的推论、重心性质) 要点归纳 1. 掌握三角形一边的平行线的性质定理的推论，分清此推论与三角形一边的平行线的性质定理之间的区别与联系. 2. 了解三角形的重心的意义并能运用其性质进行有关的计算. 疑难分析 例1 如图24-7,△ABC中有一正方形DEFG,其中点D在AC上,点E,F在AB上,直线AG分别交DE,BC于M,N两点.若∠B=90°,AB=4,BC=3,EF=1,求BN的长度. 例 2 如图24-8,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,AT 是角平分线,四边形ABDE,ACFG 都是正方形. CD,BF 分别交AB, AC 于点 P, Q.求证: AT ⊥PQ. 例3 如图24-9,已知在△ABC中,D是BC上一点,BD=3CD,M是AD中点,连接BM 并延长交AC 于点E,求 AE : AC. 基础训练 1. 三角形三条中线的交点叫做三角形的 . 2. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到 的2倍. 3. 如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB 外选一适当的点C，连接AC, BC,并分别取线段 AC, BC 的中点 E, F,测得 EF = 20米,则 AB = 米. 4. 已知点G是△ABC的重心,AG =8,则点G 与边BC 中点之间的距离是 . 5. 如图,在△ABC中,DE ∥BC, AE =3,DE =4,DF =2,CF =5,则EC的长为 6. 梯形的两腰AD，BC 延长后相交于点M. (1)如果AD =3.3厘米,BC =2厘米,DM =2.1厘米,则MC = 厘米; (2) 如果 厘米,则DM = 厘米. 7. 如图,菱形 ADEF内接于△ABC,AB=16,BC=14,AC=12,则BE= . 8. 在平行四边形中,点 E 在DC 上.若 DE : EC = 1: 2,则 9. 如图，E为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点， BE的延长线交CD的延长线于点G,交 AD 于点 F,则 BF : FG = . 10. 如图,l₁∥l₂,AF :FB = 2:5, BC:CD =4:1,则AE: EC 的值是 . 11. 如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点 A 按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影子为AC(假定 AC>AB),影长的最大值为m,最小值为n,有下列结论:①m>AC;②m= AC;③n= AB；④影子的长度先增大后减小.其中，正确结论的序号是 . 12. 已知:MN ∥PQ,a≠b,c≠x.则满足关系式. 的图形是( ). 13. 如图,已知在△APM中,N为MP 上一点,C 为AP 上一点,且 NB ∥MA, ND ∥MC,则下列结论中正确的是( ). D. 以上都不对 14. 如图,梯形ABCD中,AD∥BC,点E是边AD的中点,连接BE 并延长交CD 的延长线于点F，交 AC 于点G. (1) 若 求线段 DC 的长； (2) 求证: EF·GB = BF·GE. 15. 如图,已知AB ∥CD ∥EF,AB =m,CD =n,求EF 的长(用含m, n的代数式表示). 拓展训练 16. 如图,已知在△ABC 中,D为AB上一点,延长BC 到点E,使,连接DE,交AC 于点 F.求证: 17. 如图,梯形ABCD 中, ,点 E 为边DC 的中点,BE 交AC 于点F.求:(1) AF: FC的值; (2) EF:BF的值. (3) 三角形一边的平行线的判定及推论 要点归纳 掌握三角形一边的平行线的判定定理，会用它证明两直线平行，并能综合运用三角形一边的平行线的性质定理和判定定理解决有关的计算和证明问题. 疑难分析 例1 如图24-11, E,F,G, H分别是四边形ABCD 各边的点,且AE·FD =EB·AF,BG·HC =GC·DH,连接EH,GF 相交于点O. 求证:OE·GO = FO·OH. 例2 如图24-12,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线k,交边AB于点E,交边 AC于点 F. 求证： 基础训练 1. 如图,在△ABC中,点D, E分别在AB, AC上,已知AD =3, AB =5, AE =2, 由此判断 DE 与BC 的位置关系是 ，理由是 . 2. 如图,AM:MB = AN : NC =1:3,则MN: BC = . 3. 如图,△PMN中,点A, B分别在MP 和NP的延长线上,且 则 4. 在△ABC中,已知AB = 9, BC = 8, CA = 5, D 是 BA 延长线上的一点,DA =4.5, E 是AC 边所在直线上的一点,连接DE,当 DE = 4 时,DE 和 BC 的关系是 (选填“平行”“不平行”“不一定平行”). 5. △ADE中,点B和点C 分别在AD,AE上,且AB = 2BD,AC = 2CE,则 BC : DE = . 6. 如图,四边形ABCD中,AC, BD 相交于点O,若 AO =8,CO =20, BC = 15,则AD = . 7. △ABC中,直线DE 交AB 于点D,交AC 于点E.以下能推出DE // BC 的条件是( ). 8. 在∠A的一边上顺次有B，C两点，在另一边上顺次有D，E两点.由下列条件能判断BD∥CE的个数是( ). ①AB =3厘米,BC = 4厘米,AD =1.8厘米,DE = 2.2厘米; ②AB:AD = 2:3, AE =1.8厘米,AC = 1.2厘米; ③AB =5厘米,BC = 6厘米,AE =4.4厘米,DE = 2.4厘米; 厘米,AC = 15厘米,BD = 10厘米,EC = 15厘米. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图,已知△ABC中, 求证： 10. 如图,在△ABC中,点 D, E, F分别在AC, AB, BC上,且 求证: EF ∥AC. 拓展训练 11. 如图,在 中,点 E, F 分别在AB,AC上,且D为BC的中点,ED,FD 的延长线分别交AC, AB 的延长线于点 H, G,连接HG.求证: 12. 如图，从等腰直角三角形ABC的斜边BC 上的一点 P，作 于点D, AC 于点E,连接CD 交 PE 于点M,连接BE 交 PD 于点 N. (1)求证: (2)若 求 PN 的长. 13. 如图,已知线段OA⊥OB,C为OB上的中点,D为AO上的一点,连接AC, BD 交于点 P. (1)如图(a),当OA =OB且D为AO 中点时,求 的值； (2) 如图(b),当 时,求AD : DP 的值; (3) 如图(c),当 时,求 BC: BP 的值. (4) 平行线分线段成比例定理、平行线等分线段定理 要点归纳 掌握平行线分线段成比例定理，分清它与三角形一边的平行线的性质定理之间的联系和区别，能够从复杂图形中分解出基本图形，运用这些定理解决有关的计算和证明问题. 疑难分析 例1 如图24-13,已知l₁∥l₂∥l₃,CH=2厘米,AG =1.5厘米,BG=2.5厘米,EF =5厘米,求DH, EK 的长. 基础训练 1. 如图,l₁∥l₂∥l₃,AB=5,BC=6,DF=8,则EF的长为 . 2. 命题“梯形 ABCD 中,AD∥BC,点 E, F 在AB,CD上,且AE : EB = DF : FC,则EF ∥BC”是 (选填“真”或“假”)命题. 3. 如图,在△ABC中,∠C=90°,四边形 EDFC为内接正方形,AC =5, BC =3,则 AE :DF = . 4. 如图,l₁∥l₂∥l₃, AM=3, BM =2, BC = 4, DF = 15,则 ME = , EF = . 5. 如图,已知△ABC中,∠C=90°,点G是三角形的重心,AB =8,则: (1) GC的长为 ; (2) 过点G的直线MN ∥AB,交AC于点M,交 BC于点 N,则MN的长为 . 6. 如图, ,两直线AC, DF与l₁,l₂,l₃分别交于点A,B,C和点D,E, F.下列各式中，不一定成立的是( ). 7. 如图,在梯形ABCD中,EF ∥AB ∥CD,两对角线AC 和BD 相交于点O,且分别与 EF 相交于点M,N.下列比例式中正确的是( ). 8. 已知线段a,b,c,求作线段x,使 lx= ac. 以下作图方法中,不正确的是( ). 9. 如图,已知AD∥BE ∥CF,它们依次交直线l₁,l₂于点A,B,C和点 D,E, F, (1) 求AB, BC的长; (2) 如果 AD=7,CF=14,求 BE的长. 10. 如图,已知在梯形ABCD中,AD ∥BC,AB =DC,对角线AC, BD 相交于点 F,点 E 是边BC 延长线上的一点,且∠CDE = ∠ABD. (1) 求证: 四边形ACED 是平行四边形; (2) 连接AE,交 BD 于点G,求证: 11. 如图,在△ABC中,M, N分别是AB,AC的中点,P 是MN上的任一点,BP,CP的延长线分别交AC, AB于点 D, E.求证： 为定值. 12. 如图,矩形ABCD 中,对角线AC, BD 相交于点O, 在线段AB上取一点 P，过点 P 作AC 的平行线交BC 于点E.连接EO，并延长交AD于点F.连接PF. (1) 求证:PF // BD; (2)设AP的长为x,△PEF的面积为y,求y与x的函数关系式，并写出它的定义域. 学科网（北京）股份有限公司 $$