24.3(3) 三角形一边的平行线 课件 2023—2024学年沪教版（上海）数学第一学期

24.3(3) 三角形一边的平行线 一、复习引入 还记得：三角形一边的平行线性质定理吗？ → 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例 . 如图，∵ DE//BC ，可得到哪些对应线段成比例？ AD DB = AE EC ∴ ； AD AB = AE AC ； DB AB = EC AC …… 只与被截得的线段有关，与平行线段无关！ 二、新知探究 三角形一边的平行线性质定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例 . 问1：三角形一边的平行线性质定理的逆命题是什么？ → 如果一条直线截三角形两边所在的直线所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 问2：我们如何证明这个文字命题呢？ 如果一条直线截三角形两边所在的直线所得的对应 线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 这个命题可以分为两种情况来讨论： 第一种情况： 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边. 已知：如图，在△ABC中，点D、E 分别在AB、AC边上，且 . AD DB = AE EC 求证：DE//BC . AD DB = AE EC 不妨以 为例 F F 已知：如图，在△ABC中，点D、E 分别在AB、AC边上，且 . AD DB = AE EC 求证：DE//BC 曾记否？当年我们如何证明 三角形的中位线定理？ 问：当点D、E分别是AB、AC的中点时， AD DB = AE EC 是否依然成立？ 此时DE是△ABC 的什么重要线段? 我们能否用同样的方法证明本题？ F 已知：如图1，在△ABC中，点D、E 分别在AB、AC边上，且 . AD DB = AE EC 求证：DE//BC 证明：过点C作CF//AB,交DE 的延长线于点F . AD CF = AE EC 则： AD DB = AE EC 又 ∴ AD CF = AD DB ∴ CF=DB . ∵ CF//DB，CF=DB . ∴ 四边形BCFD是□ . ∴ DF//BC，即：DE//BC . 中间比 说明：根据比例的性质可知， 在关系式：① ， ，③ 中，由其中一个可推出其余两个. 因此，以关系式①、②、③之一 为已知条件，都可推出DE//BC . AD DB = AE EC AD AB = AE AC BD AB = CE AC 可见三角形一边的平行线性质定理的逆命题是成立的. 这样，我们就得到以下定理： ∴ DE//BC (三角形一边的平行线判定定理) 三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边 所得的对应线段成比例，那么 这条直线平行于三角形的第三边 . 符号表达式之一： AD DB = AE EC ∵ 适时小结： 定理中是截三角形两边的对应线段成比例， 与平行线段无关 ! 第二种情况： 如果点D、E分别在AB、AC的延长线上(如图1)； 或在它们的反向延长线上(如图2)，且具备： ① , ② , ③ 的条件之一，那么也可以用上述同样的方法推出 DE//BC . AD DB = AE EC AD AB = AE AC BD AB = CE AC ( 图1 ) ( 图2 ) 如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 三角形一边的平行线判定定理推论 ( 图1 ) ( 图2 ) ∴ DE//BC AD DB = AE EC ∵ 符号表达式之一： 适时小结： 三角形一边的平行线判定定理及其推论，为我们提供了一种全新的两直线平行的判定方法! E’ → 议一议： 适时小结： 三角形一边的平行线性质定理推论的逆命题是不成立的! 如图，在△ABC中，点D、E分别 在边AB、AC上，如果 , 能否推出DE//BC，为什么？ DE BC = AD AB 二、新知运用 已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在 边AC上，且DE//BC ， . 求证：EF//DC . AF AD = AD AB 四、课堂练习 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (2) AD=6cm，DB=9cm，AE=4cm，AC=10cm ； ( 课本P.18练习 ) A B E D C 6 9 4 10 解：DE与BC平行 . 理由：∵ AD=6，DB=9， AE=4，AC=10 ；∴ AB=15 . ∴ DE//BC . AE AC = 4 10 = 2 5 . AD AB = AE AC ∴ ∴ ， AD AB = 6 15 = 2 5 四、课堂练习 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (3) AD=8cm，AC=16cm，AE=6cm，AB=12cm ； ( 课本P.18练习 ) A B E D C 8 12 6 16 解：DE与BC不平行 . 理由：∵ AD=8，AB=12， AE=6，AC=16 ； ∴ DE与BC 不平行. AE AC = 6 16 = 3 8 . AD AB ≠ AE AC ∴ ∴ ， AD AB = 8 12 = 2 3 四、课堂练习 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， 根据下列给定的条件，试判断DE与BC是否平行. (4) AB=2BD，AC=2CE . ( 课本P.18练习 ) 解：DE与BC平行 . 理由：∵ AB=2BD，AC=2CE ； ∴ DE//BC . BD AB = CE AC ∴ ∴ ， BD AB = 1 2 . CE AC = 1 2 已知：如图，点A1、B1、C1分别在射线OA、OB、 OC上，且AB//A1B1，BC//B1C1 . 求证：AC//A1C1 . 四、课堂练习 ( 课本P.18练习 ) AB//A1B1 BC//B1C1 OA AA1 = OB BB1 OB BB1 = OC CC1 OA AA1 = OC CC1 AC//A1C1 ? ? 五、课堂小结 → 这节课你有什么收获和感悟？ 1. 三角形一边的平行线判定定理： 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 . 2. 三角形一边的平行线判定定理推论： 如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 3. 可利用“线段的比例关系”推出 “两直线的平行关系”， 又多了一种判定两直线平行的方法 . 4. 利用中间比来过渡是证明线段比例关系的一种重要思路. 六、作业布置 《 练习册 》 习题24.3(3) $$