2024-—2025学年人教版数学九年级上册期中复习训练卷

初三期中复习训练 一、选择题 1.下面四个标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.下列方程中,属于一元二次方程的是( ) A.x﹣2y=1 B. C.x2﹣2y+4=0 D.x2﹣2x+1=0 3.如图,在等腰 ABC中,∠A=120 ,将 ABC绕点C逆时针旋转 (0 < <90 )得到 CDE,当点A的对应点D落在BC上时,连接BE,则∠BED的度数是( ) A.30 B.45 C.55 D.75 4.已知点A(﹣2,y1),B(1,y2),C(6,y3)都在二次函数y=﹣4(x﹣3)2+a的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1 5.若方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有实数根,则实数k的取值范围( ) A.k<2 B.k<2且k≠1 C.k≤2 D.k≤2且k≠1 6.某种商品原来每件售价为225元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为197元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是( ) A.225(1﹣x)2=197 B.225(1﹣x)=197 C.197(1+x)2=225 D.225(1﹣2x)=197 7.二次函数y=ax2+2ax+b与一次函数y=ax+b(a,b是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( ) A. B. C. D. 8.已知方程2x2+6x﹣3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2+x1x2的值等于( ) A. B. C. D. 9.如图, OAB中,∠AOB=60 ,OA=4,点B的坐标为(6,0),将 OAB绕点A逆时针旋转得到 CAD,当点O的对应点C落在OB上时,点D的坐标为( ) A.(7,3) B.(7,5) C.(5,5) D.(5,3) 10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的图象关于直线x=﹣1对称,则下列五个结论:①abc>0;②2a﹣b=0;③9a﹣3b+c<0;④a(m2﹣1)+b(m+1)≤0(m为任意实数);⑤3a+c<0.其中正确的是( ) 第10题图 第13题图 第14题图 A.①②③ B.②③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤ 二、填空题 11.已知点A(a,2)与点B(﹣3,b)关于原点对称,则a+b的值等于 . 12.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2024=0的根,则代数式m2﹣3m的值为 . 13.如图所示,抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,测得拱桥内水面宽为12m.当水面升高1m后,拱桥内水面的宽度为 m. 14.如图,在 ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC交BC于点D,E是线段AD上一点,连接CE,在平面内将线段CE绕点E逆时针旋转80 得到线段EF,连接BF、CF,则∠CBF的度数为 . 15.如图,四边形OABC是边长为的正方形,OA与y轴负半轴的夹角为15 ,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为 . 三、解答题 16.解方程: (1)x2﹣4x+1=0; (2)3x2+2x=1. 17.如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度, ABC的顶点均在格点上. (1)画出将 ABC关于原点O的中心对称图形 A1B1C1. (2)将 DEF绕点E顺时针旋转90 得到 D1EF1,画出 D1EF1. (3)若 DEF由 ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标为 . 18.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m﹣2=0. (1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根; (2)取一个合适的m的值时,求此时方程的解. 19.“户太八号”被广泛种植,某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩,到2024年年底的种植面积达到196亩. (1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率; (2)市场调查发现,当“户太八号”的售价为20元千克时,每天能售出200千克,销售单价每降低1元,每天可多售出50千克,为了尽快减少库存,该基地决定降价促销.已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克,若使销售“户太八号”每天可获利1750元,则销售单价应降低多少元? 20.在 ABC中,∠ABC<90 ,将 ABC在平面内绕点B顺时针旋转(旋转角不超过180 ),得到 DBE,其中点A的对应点为点D,连接CE,CE∥AB. (1)如图1,试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系,并给出证明; (2)如图2,若点D在边BC上,DC=2,AC,求AB的长. 21.在山体中修建隧道可以保护生态环境,改善公路技术状态,提高运输效率.某城市道路中一双向行驶隧道(来往方向各一车道,路面用黄色双实线隔开)图片如图所示.隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成.隧道内路面的总宽度为8m,双向行驶车道宽度为6m(路面两侧各预留1m给非机动车),隧道顶部最高处距路面6m,矩形的高为2m. (1)建立适当的平面直角坐标系,求出该段抛物线的解析式; (2)为了保证安全,交通部门要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有0.5m.问:通过隧道的车辆应限制高度为多少? 22.如图,将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF,使点C恰好落到线段AD上的E点处,连接CE,连接CG交BE于点H. (1)求证:CE平分∠BED; (2)取BC的中点M,连接MH,求证:MH∥BG; (3)若BC=2AB=4,求CG的长. 23.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,过 点D(,),且顶点P的坐标为(﹣1,3). (1)求二次函数的解析式; (2)如图1,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CD的上方,连接MC,MD.求 MCD面积的最大值; (3)如图2,设点Q是抛物线对称轴上的一点,连接QC,将线段QC绕点Q逆时针旋转90 ,点C的对应点为F,连接PF交抛物线于点E,请直接写出点E的坐标. 初三期中复习训练 (参考答案) 一、选择题 1.下面四个标志中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B.C. D. 【分析】“如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴”,据此找出图中的轴对称图形;“把一个图形绕某一点旋转180 ,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心”,据此找出图中的中心对称图形即可解答题目. 【解答】A、该图是轴对称图形,不是中心对称图形,故不符合题意; B、该图既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故不符合题意; C、该图不是中心对称图形,是轴对称图形,故不符合题意; D、该图既是轴对称图形,又是中心对称图形,故符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查了轴对称、中心对称图形的定义,掌握相关定义是解题的关键. 2.下列方程中,属于一元二次方程的是( ) A.x﹣2y=1 B. C.x2﹣2y+4=0 D.x2﹣2x+1=0 【分析】利用一元二次方程的定义,逐一分析四个选项中的方程,即可得出结论. 【解答】解:A.方程x﹣2y=1是二元一次方程,选项A不符合题意; B.方程x2+3是分式方程,选项B不符合题意; C.方程x2﹣2y+4=0是二元二次方程,选项C不符合题意; D.方程x2﹣2x+1=0是一元二次方程,选项D符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查了一元二次方程的定义,牢记“只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键. 3.如图,在等腰 ABC中,∠A=120 ,将 ABC绕点C逆时针旋转 (0 < <90 )得到 CDE,当点A的对应点D落在BC上时,连接BE,则∠BED的度数是( ) A.30 B.45 C.55 D.75 【分析】根据等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求得∠ABC与∠ACB的度数,再由旋转性质得∠DCE与∠CED的度数,并得CB=CE,根据等腰三角形与三角形的内角和定理求得∠CEB的度数,便可求得∠BED. 【解答】解:∵AB=AC,∠A=120 , ∴∠ABC=∠ACB=30 , 由旋转性质知,∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=30 ,CB=CE, ∴∠CEB=∠CBE=75 , ∴∠BED=∠CEB﹣∠CED=75 ﹣30 =45 , 故选:B. 【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形内角和定理,旋转性质,关键会是综合应用这些知识解题. 4.已知点A(﹣2,y1),B(1,y2),C(6,y3)都在二次函数y=﹣4(x﹣3)2+a的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1 【分析】由题意可知,二次函数y=﹣4(x﹣3)2+a的图象的对称轴为直线x=3,开口方向向下,再根据离对称轴越远的点的纵坐标越小即可得出答案. 【解答】解:∵y=﹣4(x﹣3)2+a的图象的对称轴为直线x=3,开口向下,离对称轴越远的点的纵坐标越小, 可知:点A离对称轴最远,点B离对称轴最近, ∵﹣2<1<6, ∴y2>y3>y1. 故选:C. 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征,熟练掌握当抛物线开口向下时,离对称轴越远的点的纵坐标越小是解题的关键. 5.若方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有实数根,则实数k的取值范围( ) A.k<2 B.k<2且k≠1 C.k≤2 D.k≤2且k≠1 【分析】分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑,当k﹣1=0时,通过解一元一次方程可得出方程有解,即k=1符合题意;当k﹣1≠0时,由根的判别式 ≥0,可求出k的取值范围.综上即可得出结论. 【解答】解:当k﹣1=0,即k=1时,原方程为2x﹣2=0, 解得:x=1, ∴k=1符合题意; 当k﹣1≠0,即k≠1时,有 =22﹣4 (k﹣1) 1≥0, 解得:k≤2且k≠1. 综上所述:k的取值范围是k≤2. 故选:C. 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,分二次项系数为零及二次项系数非零两种情况考虑是解题的关键. 6.某种商品原来每件售价为225元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为197元,设平均每次降价的百分率为x,根据题意,所列方程正确的是( ) A.225(1﹣x)2=197 B.225(1﹣x)=197 C.197(1+x)2=225 D.225(1﹣2x)=197 【分析】设平均每次降价的百分率为x,某种商品原来每件售价为225元,经过连续两次降价后,该种商品每件售价为197元,据此列出一元二次方程即可. 【解答】解:设平均每次降价的百分率为x, 依经过连续两次降价后,该种商品每件售价为197元得: 225(1﹣x)2=197, 故选:A. 【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程,找出等量关系是解答本题的关键. 7.二次函数y=ax2+2ax+b与一次函数y=ax+b(a,b是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( ) A. B. C. D. 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质,逐一进行判断即可. 【解答】解:∵二次函数y=ax2+2ax+b, ∴对称轴为直线,故B,D不符合题意; ∵当x=0时,y=ax2+2ax+b=b,y=ax+b=b, ∴二次函数与一次函数交于y轴上的点(0,b),故C不符合题意,A符合题意. 故选:A. 【点评】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断.熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质,是解题的关键. 8.已知方程2x2+6x﹣3=0的两根分别为x1和x2,则x1+x2+x1x2的值等于( ) A. B. C. D. 【分析】由方程2x2+6x﹣3=0的两根分别为x1和x2,利用根与系数的关系可得出x1+x2=﹣3,x1x2,再将其代入x1+x2+x1x2中即可求出结论. 【解答】解:∵方程2x2+6x﹣3=0的两根分别为x1和x2, ∴x1+x23,x1x2, ∴x1+x2+x1x2=﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查了根与系数的关系,牢记“两根之和等于,两根之积等于”是解题的关键. 9.如图, OAB中,∠AOB=60 ,OA=4,点B的坐标为(6,0),将 OAB绕点A逆时针旋转得到 CAD,当点O的对应点C落在OB上时,点D的坐标为( ) A.(7,3) B.(7,5) C.(5,5) D.(5,3) 【分析】如图,过点D作DE⊥x轴于点E.证明 AOC是等边三角形,解直角三角形求出DE,CE,可得结论. 【解答】解:如图,过点D作DE⊥x轴于点E. ∵B(6,0), ∴OB=6, 由旋转的性质可知AO=AC=4,OB=CD=6,∠ACD=∠AOB=60 , ∵∠AOC=60 , ∴ AOC是等边三角形, ∴OC=OA=4,∠ACO=60 , ∴∠DCE=60 , ∴CECD=3,DE=3, ∴OE=OC+CE=4+3=7, ∴D(7,3), 故选:A. 【点评】本题考查作图﹣旋转变换,解直角三角形,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是掌握旋转变换的性质,属于中考常考题型. 10.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的图象关于直线x=﹣1对称,则下列五个结论:①abc>0;②2a﹣b=0;③9a﹣3b+c<0;④a(m2﹣1)+b(m+1)≤0(m为任意实数);⑤3a+c<0.其中正确的是( ) A.①②③ B.②③⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤ 【分析】根据所给函数图象可得出a,b,c的正负,再结合抛物线的对称性及增减性,利用数形结合的思想对所给结论依次进行判断即可. 【解答】解:由函数图象可知, a<0,b<0,c>0, 所以abc>0. 故①正确. 因为抛物线的对称轴为直线x=﹣1, 所以, 即2a﹣b=0. 故②正确. 因为抛物线的对称轴为直线x=﹣1,且x=1时,函数值小于零, 所以x=﹣3时,函数值小于零, 则9a﹣3b+c<0. 故③正确. 因为抛物线的对称轴为直线x=﹣1,且开口向下, 所以当x=m时,am2+bm+c≤a﹣b+c, 即am2﹣a+bm+b≤0, 所以a(m2﹣1)+b(m+1)≤0. 故④正确. 由函数图象可知, 当x=1时,函数值小于零, 则a+b+c<0, 又因为b=2a, 所以3a+c<0. 故⑤正确. 故选:D. 【点评】本题考查二次函数的图象和性质,熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键. 二、填空题 11.已知点A(a,2)与点B(﹣3,b)关于原点对称,则a+b的值等于 1 . 【分析】利用如果两点关于原点对称,则两点的横、纵坐标都是互为相反数,由此求出a,b的值,代入求和即可. 【解答】解:∵点A(a,2)与点B(﹣3,b)关于原点对称, ∴a=﹣(﹣3)=3,b=﹣2, ∴a+b=3﹣2=1. 故答案为:1. 【点评】本题主要考查了关于原点对称点的性质,熟练掌握关于原点对称点的横、纵坐标都是互为相反数的性质是解题的关键. 12.已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣2024=0的根,则代数式m2﹣3m的值为 2024 . 【分析】将x=m代入原方程,即可得出m2﹣3m﹣2024=0,移项后即可得出结论. 【解答】解:将x=m代入原方程得:m2﹣3m﹣2024=0, ∴m2﹣3m=2024. 故答案为:2024. 【点评】本题考查了一元二次方程的解,牢记“把方程的解代入原方程,等式左右两边相等”是解题的关键. 13.如图所示,抛物线形拱桥的顶点距水面2m时,测得拱桥内水面宽为12m.当水面升高1m后,拱桥内水面的宽度为 m. 【分析】根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=1代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案. 【解答】解:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点, 抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点, 可得:A(﹣6,0),B(6,0),C(0,2), 设顶点式y=ax2+2,代入A点坐标(﹣6,0), 得:, 所以抛物线解析式为, 当水面升高1m后,令y=1, 则, 解得:, ∴拱桥内水面的宽度为, 故答案为:. 【点评】此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键. 14.如图,在 ABC中,AB=AC,过点A作AD⊥BC交BC于点D,E是线段AD上一点,连接CE,在平面内将线段CE绕点E逆时针旋转80 得到线段EF,连接BF、CF,则∠CBF的度数为 40 . 【分析】连接BE,如图,先根据旋转的性质得到EF=EC,∠CEF=80 ,则利用三角形内角和定理得到∠EFC+ECF=100 ,再根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BC,则EB=EC,所以∠EBC=∠ECB,同理可得∠EFB=∠EBF,则∠EFB+∠ECB=∠CBF,然后利用三角形内角和定理可求出∠CBF的度数. 【解答】解:连接BE,如图, ∵线段CE绕点E逆时针旋转80 得到线段EF, ∴EF=EC,∠CEF=80 , ∴∠EFC+ECF=180 ﹣80 =100 , ∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=CD, ∴AD垂直平分BC, ∴EB=EC, ∴∠EBC=∠ECB, ∵EF=EC=EB, ∴∠EFB=∠EBF, ∴∠EFB+∠ECB=∠EBF+∠EBC=∠CBF, ∵∠CBF+∠BFC+∠BCF=180 , ∴∠CBF+∠CBF+100 =180 , 解得∠CBF=40 . 故答案为:40 . 【点评】本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了等腰三角形的性质. 15.如图,四边形OABC是边长为的正方形,OA与y轴负半轴的夹角为15 ,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为 . 【分析】依据题意,连接OB,根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠BOC=45 ,过点B作BD⊥x轴于D,然后求出∠BOD=30 ,根据直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半可得BDOB,再利用勾股定理列式求出OD,从而得到点B的坐标,再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可. 【解答】解:如图,连接OB, ∵四边形OABC是边长为2的正方形, ∴∠BOC=45 ,OB=24, 过点B作BD⊥x轴于D, ∵OA与y轴负半轴的夹角为15 ,∠AOD=∠AOC=90 , ∴OC与x轴正半轴的夹角为15 . ∴∠BOD=45 ﹣15 =30 , ∴BDOB=2,ODBD=2, ∴点B的坐标为(2,﹣2), ∵点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上, ∴a(2)2=﹣2, 解得a. 故答案为:. 【点评】本题考查了二次函数的性质,主要利用了正方形的性质,直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,二次函数图象上点的坐标特征,熟记正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30 ,然后求出点B的坐标是解题的关键. 三、解答题 16.解方程: (1)x2﹣4x+1=0; (2)3x2+2x=1. 【分析】(1)利用配方法解一元二次方程即可; (2)利用公式法解一元二次方程即可. 【解答】解:(1)移项,得 ∴x2﹣4x=﹣1, ∴x2﹣4x+4=﹣1+4,即(x﹣2)2=3, ∴, ∴,; (2)移项,得 ∴3x2+2x﹣1=0, ∴a=3,b=2,c=﹣1, ∴ =b2﹣4ac =22﹣4 3 (﹣1) =4+12=16>0, ∴, ∴x1=﹣1,. 【点评】本题考查了一元二次方程的解法,常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法,熟练掌握各种方法是解答本题的关键. 17.如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度, ABC的顶点均在格点上. (1)画出将 ABC关于原点O的中心对称图形 A1B1C1. (2)将 DEF绕点E顺时针旋转90 得到 D1EF1,画出 D1EF1. (3)若 DEF由 ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标为 (0,1) . 【分析】(1)根据中心对称的性质即可画出 A1B1C1; (2)根据旋转的性质即可画出 D1EF1; (3)根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置. 【解答】解:(1)如图, A1B1C1即为所求; ; (2)如图, D1EF1即为所求; (3)根据旋转的性质可得,旋转中心为AD和CF垂直平分线的交点,图中点P即为旋转中心, ∴P(0,1), 故答案为:(0,1). 【点评】本题主要考查了作图﹣旋转变换,熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 18.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m﹣2=0. (1)求证:无论m取何值,此方程总有两个不相等的实数根; (2)取一个合适的m的值时,求此时方程的解. 【分析】(1)判断判别式的符号,即可得证; (2)求出判别式的值最小时的m的值,再解一元二次方程即可. 【解答】(1)证明:∵ =(2m+1)2﹣4 (m﹣2)=4m2+9, ∵m2≥0, ∴ =4m2+9>0. ∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根; (2)解:由题意可知,当m=0时, =4m2+9的值最小, 将m=0代入x2+(2m+1)x+m﹣2=0,得x2+x﹣2=0, ∴(x+2)(x﹣1)=0, 解得:x1=﹣2,x2=1. 【点评】本题考查了根的判别式、解一元二次方程.熟练掌握判别式与根的个数的关系,以及解一元二次方程的方法是解题的关键. 19.“户太八号”被广泛种植,某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩,到2024年年底的种植面积达到196亩. (1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率; (2)市场调查发现,当“户太八号”的售价为20元千克时,每天能售出200千克,销售单价每降低1元,每天可多售出50千克,为了尽快减少库存,该基地决定降价促销.已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克,若使销售“户太八号”每天可获利1750元,则销售单价应降低多少元? 【分析】(1)设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为x,根据该基地2022年及2024年“户太八号”的种植面积,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论; (2)设销售单价应降低y元,根据当“户太八号”的售价为20元/千克时,每天能售出200千克,售价每降价1元,每天可多售出50千克即可求解,根据总利润=每千克的利润 销售数量,列出方程求解即可. 【解答】解:(1)该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为x,由到2024年年底的种植面积达到196亩得: 100(1+x)2=196, x1=0.4,x2=﹣2.4(舍去), 答:该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为40%; (2)设销售单价应降低y元,则每千克的销售利润为(20﹣y﹣12)元,每天能售出(200+50y)千克, 根据每天可获利1750元得:(20﹣y﹣12)(200+50y)=1750, 整理得:y2﹣4y+3=0, 解得:y1=1,y2=3. 为了尽快减少库存,则销售单价应降低3元, 答:销售单价应降低3元. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,找出等量关系,列出方程是解答本题的关键. 20.在 ABC中,∠ABC<90 ,将 ABC在平面内绕点B顺时针旋转(旋转角不超过180 ),得到 DBE,其中点A的对应点为点D,连接CE,CE∥AB. (1)如图1,试猜想∠ABC与∠BEC之间满足的等量关系,并给出证明; (2)如图2,若点D在边BC上,DC=2,AC,求AB的长. 【分析】(1)由旋转的性质可得BC=BE,可得∠BCE=∠BEC,由平行线的性质可得∠ABC=∠BCE=∠BEC; (2)过点D作DF⊥CE于点E,由旋转的性质可得AC=DE,BC=BE,∠ABC=∠DBE,可证 BCE是等边三角形,由直角三角形的性质可求CF的长,由勾股定理可求EF的长,可得CE=BC=10,即可得BD=AB的长. 【解答】解:(1)∠ABC=∠BEC,理由如下: ∵ ABC在平面内绕点B顺时针旋转(旋转角不超过180 ),得到 DBE, ∴BE=BC, ∴∠BCE=∠BEC, ∵CE∥AB, ∴∠ABC=∠BCE, ∴∠ABC=∠BEC; (2)如图2,过点D作DF⊥CE于点F, ∵ ABC在平面内绕点B顺时针旋转(旋转角不超过180 ),得到 DBE, ∴AC=DE,BC=BE,∠ABC=∠DBE,AB=BD, ∴∠BEC=∠BCE, ∵CE∥AB, ∴∠BCE=∠ABC, ∴∠DBE=∠BEC=∠BCE, ∴ BCE是等边三角形, ∴BC=BE=EC,∠DCE=60 ,且DF⊥CE, ∴∠CDF=30 , ∴CFCD=1,DFCF, 在Rt DEF中,EF4, ∴CE=EF+CF=5=BC, ∴BD=BC﹣CD=5﹣2=3=AB, ∴AB的长为3. 【点评】本题考查了旋转的性质,平行线的性质,勾股定理,熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键. 21.在山体中修建隧道可以保护生态环境,改善公路技术状态,提高运输效率.某城市道路中一双向行驶隧道(来往方向各一车道,路面用黄色双实线隔开)图片如图所示.隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成.隧道内路面的总宽度为8m,双向行驶车道宽度为6m(路面两侧各预留1m给非机动车),隧道顶部最高处距路面6m,矩形的高为2m. (1)建立适当的平面直角坐标系,求出该段抛物线的解析式; (2)为了保证安全,交通部门要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有0.5m.问:通过隧道的车辆应限制高度为多少? 【分析】(1)根据题意建立平面直角坐标系,待定系数法求解析式,即可求解; (2)将x=3代入解析式,求得y的值,根据交通部门要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有0.5m,结合函数图象,即可求解. 【解答】解:(1)如图所示, 隧道顶部最高处距路面6m,矩形的高为2m. ∴顶点坐标为(0,4), 设抛物线的解析式为y=ax2+4, 将点(4,0)代入,得, 0=16a+4, 解得:, ∴抛物线解析式为; (2)依题意,当x=3时,, ∵交通部门要求行驶车辆的顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有0.5m. ∴通过隧道的车辆应限制高度为2+1.75﹣0.5=3.25m, 答:通过隧道的车辆应限制高度为3.25m 【点评】本题考查了二次函数的应用,正确记忆相关知识点是解题关键. 22.如图,将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF,使点C恰好落到线段AD上的E点处,连接CE,连接CG交BE于点H. (1)求证:CE平分∠BED; (2)取BC的中点M,连接MH,求证:MH∥BG; (3)若BC=2AB=4,求CG的长. 【分析】(1)根据旋转的性质得到CB=CE,求得∠BEC=∠BCE,根据平行线的性质得到∠BCE=∠DEC,可证得结论; (2)过点C作BE的垂线CN,根据角平分线的性质得到CN=BG,求得CG=BQ,根据全等三角形的性质得到CH=GH,根据三角形的中位线定理即可得到结论; (3)过点G作BC的垂线GR,解直角三角形即可得到结论. 【解答】(1)证明:∵将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF,使点C恰好落到线段AD上的E点处, ∴BE=BC, ∴∠BEC=∠BCE, ∵AD∥BC, ∴∠BCE=∠DEC, ∴∠BEC=∠DEC, ∴CE平分∠BED; (2)证明:过点C作CN⊥BE于N,如图: ∵CE平分∠BED,CD⊥DE,CN⊥BE, ∴CD=CN, ∴BG=AB=CD=CN, ∵∠BHG=∠NHC,∠GBH=∠CNH=90 ,BG=CN, ∴ BHG≌ NHC(AAS), ∴GH=CH,即点H是CG中点, ∵点M是BC中点, ∴MH是 BCG的中位线, ∴MH∥BG; (3)解:过点C作CN⊥BE于N,过G作GR⊥BC于R,如图: ∵BC=2AB=4, ∴BG=AB=CD=CN=2, ∴CNBC, ∴∠NBC=30 , ∵∠GBE=90 , ∴∠GBR=60 , ∴BRBG=1,GRBR, 在Rt GRC中, CG2, ∴CG的长为2. 【点评】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的性质,三角形的中位线定理,解直角三角形,正确的作出辅助线是解题的关键. 23.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,过点D(,),且顶点P的坐标为(﹣1,3). (1)求二次函数的解析式; (2)如图1,若点M是二次函数图象上的点,且在直线CD的上方,连接MC,MD.求 MCD面积的最大值; (3)如图2,设点Q是抛物线对称轴上的一点,连接QC,将线段QC绕点Q逆时针旋转90 ,点C的对应点为F,连接PF交抛物线于点E,请直接写出点E的坐标. 【分析】(1)用待定系数法即可求解; (2)由 MCD面积=S MHD+S MHC,即可求解; (3)①当点Q在点C的下方时,证明 QNF≌ CHQ(AAS),得到CG=2﹣t=QN,QH=1=FN,则点F(t﹣3,t+1),求出直线PF的表达式,进而求解;②当点Q在点C的上方时,同理可得:点F′的坐标为(t﹣3,t﹣1),进而求解. 【解答】解:(1)设抛物线的表达式为:y=a(x﹣h)2+k, 则y=a(x+1)2+3, 将点C的坐标代入上式并解得:a=﹣1, 故抛物线的表达式为:y=﹣(x+1)2+3=﹣x2﹣2x+2; (2)由抛物线的表达式知,点C(0,2), 如图1,过点M作MH∥y轴交CD于点H, 设直线CD的表达式为:y=sx+t, 则, 解得, 故直线CD的表达式为:yx+2, 设点M(m,﹣m2﹣2m+2),点H(m,m+2), 则 MCD面积=S MHD+S MHC MH (xC﹣xD) [(﹣m2﹣2m+2)﹣(m+2)] (m2m), ∵0,故函数由最大值, 当m时, MCD面积的最大值为; (3)设点Q(﹣1,t),如图2, ①当点Q在点C的下方时, 过点Q作x轴的平行线交y轴于点H,交过点F与y轴的平行线于点N, ∵∠FQN+∠QFN=90 ,∠FQN+∠CQH=90 , ∴∠FNQ=∠QCH, ∵∠N=∠CHQ=90 ,CQ=QF, ∴ QNF≌ CHQ(AAS), ∴CH=2﹣t=QN,QH=1=FN, ∴点F(t﹣3,t+1), 设直线FP的表达式为:y=px+q, 则, 解得, 故直线PF的表达式为:y=x+4②, 联立①②并解得:(不合题意的值已舍去), 即点E(﹣2,2); ②当点Q在点C的上方时, 同理可得:点F′的坐标为(t﹣3,t+1), 由点P、F′的坐标得:直线PF′的表达式为y=x+4,同情况①, 故点E(﹣2,2); 综上,点E的坐标为(﹣2,2). 【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转的性质;会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题;会解一元二次方程;理解坐标与图形性质. 学科网(北京)股份有限公司 $$