第13章 轴对称 检测卷-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章轴对称检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2024•十堰三模）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•东莞市校级期末）点A（2，﹣1）关于y轴对称的点B的坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 3．（2023秋•西岗区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．（2023秋•凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 5．（2024秋•工业园区校级月考）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形．如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（　　）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 6．（2024秋•甘井子区校级月考）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB． 小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．” 下列判断错误的是（　　） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B” C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB” D．小亮说得对，可添条件为“PO平分∠APB” 7．（2024秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝36，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，则AD的长为（　　） A．12 B．24 C．6 D．18 8．（2024秋•工业园区校级月考）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，若HG＝6cm，且∠AOB＝30°，则△HOG的周长是（　　） A．6cm B．12cm C．15cm D．18cm 二．填空题（共8小题） 9．（2024春•武侯区校级月考）等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，则底边长为 　 　cm． 10．（2024秋•玄武区校级月考）已知△ABC中，∠A＝70°，过△ABC的顶点B的直线△ABC分割成两个等腰三角形，则∠C的度数为 　 　． 11．（2024春•柴桑区月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点F，E，连接AE，若BC＝7.8，AE＝3，则CE＝　 　． 12．（2023秋•青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 　 　． 13．（2024春•顺德区期末）如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为　 　． 14．（2024•东平县一模）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　 　． 15．（2024秋•鼓楼区校级月考）作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法： （1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； （2）分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； （3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是 　 　． 16．（2024•惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 　 　． 三．解答题（共5小题） 17．（2024秋•凉州区校级期中）如图， （1）求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到AB，BC的距离相等； （2）在BC上求一点Q，使QM+QN最小． 18．（2023秋•光明区期末）如图，已知点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，BD＝DE． （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若∠A＝50°，∠EBC＝30°，求∠ACB的度数． 19．（2023秋•阳泉期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝40°，求∠D的度数． 20．（2024秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F． （1）若△AEF的周长为a，求BC的长（用含有a的代数式表示）； （2）若∠BAC＝140°，求∠EAF的度数． 21．（2024秋•盐都区月考）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，我只要证明AC+CB＜AC′+C′B． ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB＝　 　，C′B＝　 　， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 第13章轴对称检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•十堰三模）汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 2．（2023秋•东莞市校级期末）点A（2，﹣1）关于y轴对称的点B的坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1） 【解答】解：点A（2，﹣1）关于y轴对称的点B的坐标为（﹣2，﹣1）， 故选：D． 3．（2023秋•西岗区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，且AD＝AE，则∠EDB等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠BAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDB＝15°， 故选：A． 4．（2023秋•凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°， ∴∠ODC＝25°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°， ∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°． 故选：C． 5．（2024秋•工业园区校级月考）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形．如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（　　）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 【解答】解：因为4+4+6＝14，4+4＞6，所以可以围成4厘米、4厘米、6厘米的三角形； 因为4+5+5＝16，4+5＞5，所以可以围成4厘米、5厘米、5厘米的三角形； 所以可以在②或③处截断． 故选：C． 6．（2024秋•甘井子区校级月考）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB． 小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．” 下列判断错误的是（　　） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B” C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB” D．小亮说得对，可添条件为“PO平分∠APB” 【解答】解：A、小明说得不对， ∵PA＝PB， ∴点P在AB的垂直平分线上， ∵OA≠OB， ∴直线l不是AB的垂直平分线， 故A不符合题意； B、∵PA＝PB， ∴∠A＝∠B， ∴可添条件：∠A＝∠B，不能判定直线l是AB的垂直平分线， 故B符合题意； C、∵PA＝PB，PO⊥AB， ∴直线l是AB的垂直平分线， 故C不符合题意； D、∵PA＝PB，PO平分∠APB， ∴直线l是AB的垂直平分线， 故D不符合题意； 故选：B． 7．（2024秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝36，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，则AD的长为（　　） A．12 B．24 C．6 D．18 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴， ∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°， ∵∠B＝30°， ∴， ∴， ∴AD＝CD， ∴AD＝＝12． 故选：A． 8．（2024秋•工业园区校级月考）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点是H、G，直线HG交OA、OB于点C、D，若HG＝6cm，且∠AOB＝30°，则△HOG的周长是（　　） A．6cm B．12cm C．15cm D．18cm 【解答】解：连接PO， ∵点P关于OA的对称点是H， ∴OA垂直平分PH， ∴OP＝OH， ∴∠HOA＝∠POA， 同理：OP＝OG，∠POB＝∠BOG， ∴OH＝OG， ∵∠HOA+∠BOG＝∠POA+∠BOP＝∠AOB＝30°， ∴∠GOH＝∠HOA+∠BOG+∠AOB＝30°+30°＝60°， ∴△GOH是等边三角形， ∵GH＝6cm， ∴△HOG的周长是6×3＝18（cm）． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024春•武侯区校级月考）等腰三角形的周长为14cm，一边长为4cm，则底边长为 　4或6　cm． 【解答】解：当4cm为腰长时，则底边长为14﹣4×2＝6（cm）， ∵4+4＞6， ∴符合题意， 当4cm为底边长时，则底边长为4cm， ∵4+5＞5， ∴符合题意， 综上所述，底边长为4cm或6cm． 故答案为：4或6． 10．（2024秋•玄武区校级月考）已知△ABC中，∠A＝70°，过△ABC的顶点B的直线△ABC分割成两个等腰三角形，则∠C的度数为 　20°或27.5°或35°　． 【解答】解：如图1， ∵AB＝BD＝CD，∠A＝70°， ∴∠ADB＝∠A＝70°，∠DBC＝∠C， ∵∠ADB＝∠DBC+∠C， ∴∠C＝∠ADB＝35°； 如图2，∵AB＝AD＝BD，∠A＝70°， ∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠A）＝55°，∠DBC＝∠C， ∵∠ADB＝∠DBC+∠C， ∴∠C＝∠ADB＝27.5°， 如图3， ∠A＝∠ABD＝70°， ∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝40°， ∵CD＝BD， ∴∠C＝∠CBD， ∵∠C+∠CBD＝∠ADB， ∴； 综上所述，∠C的度数为20°或27.5°或35°， 故答案为：20°或27.5°或35°． 11．（2024春•柴桑区月考）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点F，E，连接AE，若BC＝7.8，AE＝3，则CE＝　4.8　． 【解答】解：∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点F，E，AE＝3， ∴AE＝BE＝3， ∵BC＝7.8， ∴CE＝BC﹣BE＝7.8﹣3＝4.8． 故答案为：4.8． 12．（2023秋•青羊区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是 　20°　． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°， ∴∠B＝40°， ∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°， ∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°， 故答案为：20°． 13．（2024春•顺德区期末）如图．在△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于E，点O在DE上，OA＝OB，OD＝1，OE＝2，则BE的长为　4　． 【解答】解：连接OC，作OF⊥BC于点F， DE＝OD+OE＝3， 在Rt△CDE中，∠DCE＝30°， ∴CE＝2DE＝6，∠OEF＝60°， ∵AD＝DC，ED⊥AC， ∴OA＝OC， ∵OA＝OB， ∴OB＝OC， ∵OF⊥BC， ∴CF＝FB， 在Rt△OFE中，∠OEF＝60°， ∴∠EOF＝30°， ∴EF＝OE＝1， ∴CF＝CE﹣EF＝5， ∴BC＝10， ∴BE＝10﹣6＝4， 故答案为：4． 14．（2024•东平县一模）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝　45°　． 【解答】解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°． ∵ED⊥BC， ∴△EDC为直角三角形， ∴∠FDB＝30°， ∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°， ∴∠EFD＝45°． 故答案为：45° 15．（2024秋•鼓楼区校级月考）作∠AOB的角平分线的作图过程如下，作法： （1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； （2）分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； （3）作射线OC，OC就是∠AOB的平分线．用三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是 　SSS　． 【解答】解：如图，连接EC，DC． 在△EOC和△DOC中， ， ∴△EOC≌△DOC（SSS）， ∴∠EOC＝∠DOC， ∴OC平分∠BOA． 故答案为：SSS． 16．（2024•惠阳区校级三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 　60°　． 【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC＝PB， ∴PE+PC＝PB+PE＝BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵BA＝BC，AE＝EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝30°， ∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°， 故答案为60°． 三．解答题（共5小题） 17．（2024秋•凉州区校级期中）如图， （1）求作一点P，使P至M，N的距离相等，且到AB，BC的距离相等； （2）在BC上求一点Q，使QM+QN最小． 【解答】解：（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图，点Q即为所求． 18．（2023秋•光明区期末）如图，已知点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，BD＝DE． （1）求证：BE平分∠ABC； （2）若∠A＝50°，∠EBC＝30°，求∠ACB的度数． 【解答】（1）证明：∵DE∥BC， ∴∠DEB＝∠EBC， ∵BD＝DE， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴∠EBC＝∠DBE， ∴BE平分∠ABC； （2）解：由（1）可知：∠EBC＝∠DBE， ∵∠EBC＝30°， ∴∠EBC＝∠DBE＝30°， ∴∠ABC＝∠EBC+∠DBE＝60°， ∵∠A＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠ABC）＝180°﹣（60°+50°）＝70°． 19．（2023秋•阳泉期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝40°，求∠D的度数． 【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD， 在△BAC与△EAD中， ， ∴△BAC≌△EAD（SAS）， ∴∠D＝∠C＝40°． 20．（2024秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F． （1）若△AEF的周长为a，求BC的长（用含有a的代数式表示）； （2）若∠BAC＝140°，求∠EAF的度数． 【解答】解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F， ∴AE＝BE，AF＝CF， ∵AE+EF+AF＝a， ∴BC＝BE+EF+CF＝AE+EF+AF＝a； （2）∵∠BAC＝140°， ∴∠B+∠C＝180°﹣140°＝40°， ∵AE＝BE，AF＝CF， ∴∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C， ∴∠BAE+∠CAF＝∠B+∠C＝40°， ∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAF）＝140°﹣40°＝100°． 21．（2024秋•盐都区月考）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，我只要证明AC+CB＜AC′+C′B． ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB＝　CB′　，C′B＝　C′B′　， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【解答】解：分析问题：根据题意可知：CB＝CB′，C′B＝C′B′， ∴AC+BC＝AC+B′C＝AB′，AC′+BC′＝AC′+C′B′， ∴AB′＜AC′+B′C′， ∴AC+CB＜AC′+C′B， ∴作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 故答案为：CB′，C′B′ 解决问题：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C、D，连接CD分别交OA，OB于E、F，则路线PE，EF，PF即为所求． ∵CE＝PE，DF＝PF，则PE+EF+PF＝CE+EF+DF，根据两点之间线段最短可得路线PE，EF，PF即为所求． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$