精品解析：河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年八年级上学期数学期中考试试卷

2024-2025学年河北省沧州市青县第二中学八年级上学期数学期中考试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 如图，在和中，已知，，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，由题意，结合，即可由可，熟记全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴， 故选：B． 2. 如图，于B，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（ ） A. B. C. 5 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键．根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰三角形，，， ，， ． 故选：B． 3. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由题意可知，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半， 所以斜边=2×2=4cm 故选B． 【点睛】题目主要考查在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握运用此定理是解题关键． 4. 点M（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标为（ ） A. （﹣2，﹣3） B. （2，﹣3） C. （﹣3，﹣2） D. （2，3） 【答案】A 【解析】 【分析】关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据坐标特点可直接得到答案. 【详解】解：点M（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标为 故选A 【点睛】本题考查的是关于轴对称的点的坐标特点，利用数形结合记忆关于轴对称的点的坐标特点并运用是解本题的关键. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的判定依次判断可求解． 【详解】解：A、菱形的对角线互相垂直，原说法错误，故选项A不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，故选项B符合题意； C、平行四边形不一定是轴对称图形，原说法错误，故选项C不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些判定和性质解决问题是解题的关键． 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝9，则DE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由角平分线和线段垂直平分线性质可求出，，继而推出，即可得到答案． 【详解】 DE是AB的垂直平分线， ， ， 平分∠CAB， ． ∠C＝90°， ， ， ， 平分∠CAB，， ． BC＝9， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，…重复这样的操作，则2021次操作后右下角的小正方形面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算出正方形的面积为1，根据题意易得第1次操作后右下角的小正方形面积=，第2次操作后右下角的小正方形面积=×=（）2，第3次操作后右下角的小正方形面积=（）3，于是可得到n次操作后右下角的小正方形面积为的n次方，然后把n=2021代入即可得到答案 【详解】解：正方形的面积=1×1=1， ∵第1次操作后右下角的小正方形面积=， 第2次操作后右下角的小正方形面积=×=（）2， 第3次操作后右下角的小正方形面积=（）3， … ∴第2021次操作后右下角的小正方形面积=（）2021． 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 8. 如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（ ）s时，是等腰三角形． A. B. 6 C. 或6 D. 或8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解题时把几何问题转化为方程求解，是常用的方法，注意要分类讨论，当点在点的左侧还是在右侧是解答本题的关键． 根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分两种情况：（1）当点在线段上时， 设秒后是等腰三角形， 有， 即， 解得，； （2）当点在的延长线上时， 当是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得，， 故选：D． 9. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作，交x轴于点D．下列结论：①；②当点D运动到OA的中点处时，；③在运动过程中，是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据矩形的性质即可得到；故①正确； ②由点D为OA的中点，得到，根据勾股定理即可得到，故②正确； ③如图，过点P作于F，FP的延长线交BC于E，，则，根据三角函数的定义得到，求得，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，故③正确； ④当为等腰三角形时，Ⅰ、，解直角三角形得到， Ⅱ、OP＝OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到，故不合题意舍去； Ⅲ、，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到，故不合题意舍去；于是得到当为等腰三角形时，点D的坐标为．故④正确． 【详解】解：①∵四边形OABC是矩形，， ；故①正确； ②∵点D为OA的中点， ， ，故②正确； ③如图，过点P作 A于F，FP的延长线交BC于E， ，四边形OFEC是矩形， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ④，四边形OABC是矩形， ， ， ， 当为等腰三角形时， Ⅰ、 Ⅱ、 ， ，故不合题意舍去； Ⅲ、， ， 故不合题意舍去， ∴当为等腰三角形时，点D的坐标为．故④正确， 故选D． 【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP和PD是解本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是　　 A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH利用三角形的中位线定理可得EH=1，推出点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆． 【详解】解：如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，OH． ，， ， 点E的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆， ，， ， ， 的最小值， 故选B． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找点E的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题． 11. 如图，直线l：y＝﹣x++3与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，0）的直线m交于第一象限内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，∠DBE＝∠DEB，则CD2的值为（　　） A. 20+4 B. 44+4 C. 20+4或44﹣4 D. 20﹣4或44+4 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G，求出DF的解析式，联立方程组，求出点F的坐标，分点E在点F的上方和下方两种情况结合勾股定理求出结论即可． 【详解】解：过点D作DF⊥l于点F，延长FD交y轴于点G， ∵点B（﹣2，0），且点D为点B关于y轴的对称点， ∴D（2，0） ∴BD=4 又∠DBE＝∠DEB， ∴DE=BD=4 对于直线l：y＝﹣x++3，当x=0时，y=+3；当y=0时，x=+3 ∴OH=+3，AO=+3 ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴， ∴ ∴ 设直线DF所在直线解析式为 把，D（2，0）代入得， 解得， ∴直线DF所在直线解析式为 联立， 解得， ∴F(，) ∴ 在Rt△DFE中， ∴ ①当E在F下方时，如图1，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM， ∵EM=DE ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴DC=DM 在Rt△DFM中， ∴ ②当点E在F的上方时，如图2，在E点下方直线l上取一点M，使EM=DE=4，连接DM， ∵EM=DE ∴ 又∵， ∴ ∴DC=DM ∴ 在Rt△DFM中， ∴ 综上所述，或 故选：C 【点睛】本题是一次函数的综合题；灵活应用勾股定理，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 12. 如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接AF，通过对应边的比相等和两边的一夹角证明，得出点F的运动轨迹为在以A为圆心，以AF为半径的圆；过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时；在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接AF 由题意知和均为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴点F在以A为圆心，以AF为半径的圆上运动 ∴过点D作的切线，连接，可知为最大值，此时 在中，，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴当最大时， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形相似，切线，勾股定理等知识．解题的关键与难点在于得出点F的运动轨迹． 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 如图，已知为内任意一点，且，则____． 【答案】． 【解析】 【分析】连接并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点，如图： ∵， ∴ ∵ ∴． 故答案是： 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 14. 如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ___________． 【答案】3 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，根据是边上的高线，可得，再由题中条件，即可求得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是边上的高线， ∴D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到是正确解答本题的关键． 15. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 16. 如图1，在线段AB上有一点E，若＝，则我们称E为AB的黄金分割点．如图2，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，延长OP至点G，使得OG＝ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，若PQ＝4，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I，则S△NOI的值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据黄金分割比定义，可算得AE=AB，然后再分两种情况：①当PH＞NH时，由题意PH=•PN＝，②当NH＞PH中，则NH＝2﹣2，PH＝PG＝6﹣2，分别利用相似三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：∵＝ ∴ 解得AE=AB ①当PH＞NH时，由题意PH＝•PN＝﹣2， 设ON＝OG＝x，则OP＝x﹣(2﹣2)， ∵∠OPN＝90°， ∴[x﹣(2﹣2)]2+42＝x2， ∴x＝2， ∴OP＝2，OQ＝2， ∵∠OPN＝∠Q＝∠NQI＝90°， ∴∠NOP+∠QOI＝90°，∠NOP+∠PNO＝90°， ∴∠QOI＝∠PNO， ∴△OQI∽△NPO， ∴＝， ∴＝， ∴OI＝， ∴S△NOI＝•NO•OI＝． ②当NH＞PH中，则NH＝2﹣2，PH＝PG＝6﹣2， 设ON＝OG＝y，则OP＝y﹣(6﹣2)， ∵∠OPN＝90°， ∴[y﹣(6﹣2)]2+42＝y2， ∴y＝8， ∴OP＝2+2＞4（不符合题意，舍弃）， 综上所述，△NOI的面积为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质；解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 在中，，且，求边的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形角所对直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．先求出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：中，∵，， ∴， ∴． 18. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理及外角性质，由三角形高的定义可得，进而由三角形外角性质得到，再由角平分线的定义得到，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 19. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG． （1）求证：四边形AEGF是菱形； （2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形． 【答案】（1）证明：∵菱形ABCD， ∴AB=AD，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF，∠BAE=∠DAF， ∴∠EAG=∠FAG， ∵FG∥AE， ∴∠EAG=∠FGA， ∴∠FAG=∠FGA， ∴FG=AF=AE， ∵FG∥AE， ∴四边形AEGF是平行四边形， 又∵AF=AE， ∴四边形AEGF是菱形； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠B+∠BAD=180°， ∵∠B=∠BAE=30°， ∵△ABE≌△ADF， ∴∠BAE=∠DAF=30°， ∴∠BAD=180°-∠B=150°， ∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°， ∵四边形AEGF是菱形， ∴四边形AEGF是正方形． 【解析】 【分析】（1）先证△ABE≌△ADF，得到AE=AF，∠BAE=∠DAF，根据FG∥AE，得到∠EAG=∠FGA，从而得到FG=AF=AE，所以可得四边形AEGF是平行四边形，进而得到其为菱形； （2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质得出∠EAF=90°，由正方形的判定可得出答案． 【详解】解：（1）略 （2）略 20. 如图：正方形中，直线经过点D，与交于点E， （1）用直尺和圆规作图：过点C作的垂线l2，垂足为G，交于点F，（请保留作图痕迹，不要求写作图过程） （2）同学们作图完成后，通过测量发现，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明： 如图：已知正方形中，分别是直线，直线被一组对边截得的线段，当时，求证：． 证明：∵正方形， ， ， ， ， ∴②， ， 在和中， ，③， ， ． 同学们进一步研究发现，一条直线被正方形的一组对边所截得的线段与另一条直线被正方形的另一组对边所截得的线段垂直时均具备此特征，请你依据题目中的相关描述，完成下列命题：两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段④． 【答案】（1）如图所示（2）①；②；③；④互相垂直，那么这两条线段相等 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键． （1）根据垂线的画法画出即可； （2）利用全等三角形的判定定理写出分析过程即可． 【详解】解：（1）略 （2）①；   ②；  ③； ④互相垂直，那么这两条线段相等． 21. 如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）55° （2） 证明：四边形是平行四边形， ∴， 又平分，平分， ，， ， 又四边形是平行四边形， ， ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据平分可得，根据可得； 根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义可知，，得到，再根据平行四边形的性质可得，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，， ， 又平分， 又四边形是平行四边形， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分；全等三角形的对应角相等、对应边相等． 22. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）等腰三角形， 理由如下： 将代入方程，得：， 整理，得：， 即：， ∴， ∴为等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程，进行整理即可判断的形状； （2）根据等边三角形三边相等，用表示，解一元二次方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即：， ， 解得：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及解一元二次方程，同时考查了等腰三角形的判定和等边三角形的性质．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 23. 如图，在中，平分，，垂足分别为E、F，且．试说明． 【答案】 证明：∵平分，， ∴． ∵， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质． 先证明，得出，再证明，从而得出． 【详解】略 24. 如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H． （1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH． （2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明． 【答案】 （1）证明：∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴每个内角均为120°． ∵∠FMH＝120°，A、M、B在一条直线上， ∴∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°， ∴∠AFM＝∠BMH． （2）猜想：FM＝MH． 证明：①当点M与点A重合时，∠FMB＝120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM＝MH． ②当点M与点A不重合时， 如图，在AF上截取FP＝MB，连接PM． ∵AF＝AB，FP＝MB， ∴PA＝AM ∵∠A＝120°， ∴∠APM＝×（180°﹣120°）＝30°， 有∠FPM＝150°， ∵BQ平分∠CBN， ∴∠MBQ＝120°+30°＝150°， ∴∠FPM＝∠MBH， 由（1）知∠PFM＝∠HMB， ∴△FPM≌△MBH． ∴FM＝MH． 【解析】 【分析】（1）先由正六边形的性质得出每个内角为120°，再根据三角形内角和、平角为180°∠AFM+∠FMA＝∠FMA+∠BMH＝60°，等量代换即可得到答案． （2）分两种情况①当点M与点A重合时，可直接得出结果；②当点M与点A不重合时，先在AF上截取FP＝MB并连接PM，证明△FPM≌△MBH即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、几何动点问题，熟练掌握正六边形的性质和正确做出辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年河北省沧州市青县第二中学八年级上学期数学期中考试试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 如图，在和中，已知，，则能说明的依据是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，于B，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（ ） A. B. C. 5 D. 13 3. 已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　） A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 4. 点M（﹣2，3）关于x轴对称点的坐标为（ ） A. （﹣2，﹣3） B. （2，﹣3） C. （﹣3，﹣2） D. （2，3） 5. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 平行四边形是轴对称图形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若BC＝9，则DE的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5 7. 连接边长为1的正方形对边中点，可将一个正方形分成四个全等的小正方形，选右下角的小正方形进行第二次操作，又可将这个小正方形分成四个更小的小正方形，…重复这样的操作，则2021次操作后右下角的小正方形面积是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，，C是延长线上的一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当t为（ ）s时，是等腰三角形． A. B. 6 C. 或6 D. 或8 9. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作，交x轴于点D．下列结论：①；②当点D运动到OA的中点处时，；③在运动过程中，是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，半径为2，P为上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是　　 A. 1 B. C. 2 D. 11. 如图，直线l：y＝﹣x++3与x轴交于点A，与经过点B（﹣2，0）的直线m交于第一象限内一点C，点E为直线l上一点，点D为点B关于y轴的对称点，连接DC、DE、BE，若∠DEC＝2∠DCE，∠DBE＝∠DEB，则CD2的值为（　　） A. 20+4 B. 44+4 C. 20+4或44﹣4 D. 20﹣4或44+4 12. 如图，中，，，点是的中点，点是平面内一个动点，，以点为直角顶点，为直角边在的上方作等腰直角三角形．当的度数最大时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 如图，已知为内任意一点，且，则____． 14. 如图，在等边中，是边上的高，延长至点E，使，则的长为 ___________． 15. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 16. 如图1，在线段AB上有一点E，若＝，则我们称E为AB的黄金分割点．如图2，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连接ON，延长OP至点G，使得OG＝ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，若PQ＝4，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I，则S△NOI的值为_________． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 在中，，且，求边的长度． 18. 如图，在中，是边上的高，，平分交于点，，求的度数． 19. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG． （1）求证：四边形AEGF是菱形； （2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形． 20. 如图：正方形中，直线经过点D，与交于点E， （1）用直尺和圆规作图：过点C作的垂线l2，垂足为G，交于点F，（请保留作图痕迹，不要求写作图过程） （2）同学们作图完成后，通过测量发现，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明： 如图：已知正方形中，分别是直线，直线被一组对边截得的线段，当时，求证：． 证明：∵正方形， ， ， ， ， ∴②， ， 在和中， ，③， ， ． 同学们进一步研究发现，一条直线被正方形的一组对边所截得的线段与另一条直线被正方形的另一组对边所截得的线段垂直时均具备此特征，请你依据题目中的相关描述，完成下列命题：两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段④． 21. 如图，在平行四边形中，平分交于点，交于点，平分交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：． 22. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 23. 如图，在中，平分，，垂足分别为E、F，且．试说明． 24. 如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH＝120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H． （1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM＝∠BMH． （2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $