精品解析：山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024－2025学年第一学期高二年级第一次月考数学试题 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题（共8小题） 1. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】，，，解得. 故选：C. 2. 已知直线的一方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的倾斜角为，，，则，即可得出． 【详解】解：设直线的倾斜角为，，，则， ． 故选：． 3. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 4. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】在三棱锥中，点，分别是，的中点， 点满足，若， 则 ， 故选：B 5. 若直线与平行，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解. 【详解】由题意，所以， 解得. 故选：B. 6. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 7. 已知点，，若直线过点与线段始终没有交点，则直线的斜率的取值范围是 A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的斜率，根据直线与线段始终没有交点，可知其斜率的取值范围. 【详解】因为，， 如图： 因为直线与线段始终没有交点， 所以斜率k的取值范围是. 故选A. 【点睛】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，数形结合的思想方法，属于中档题. 8. 若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（ ） A. 或 B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先排除平行与重合情况，再排除交于一点的情况，最后给出答案. 【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点. ①若，则由，得. ②若，则由，得. ③若，则由，得. 当时，与三线重合，当时，平行. ④若三条直线交于一点，由解得 将的交点的坐标代入的方程， 解得（舍去）或. 所以要使三条直线能构成三角形，需且. 故选：D. 【点睛】本题考查直线的位置关系，是基础题. 二、多选题（共4小题） 9. 已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】求出的坐标，根据向量共线，设，结合可得的值，进而可得的坐标，设，列方程组即可求解. 【详解】因为，，所以， 因为，所以可设， 因为，解得： 所以或， 设点，则， 所以或，解得或， 所以点的坐标为或， 故选：AB. 10. 已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则斜率 B. 若斜率，则 C. 若倾斜角，则 D. 若，则倾斜角 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果． 【详解】A选项，，可能直线与的倾斜角都是，斜率不存在，所以A选项错误. B选项，根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行，所以B选项正确. C选项，当两条直线的倾斜角相等时，直线平行，所以C选项正确. D选项，当两条直线平行时，则倾斜角必相等，所以D选项正确. 故选：BCD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D. 过两点的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出直线的斜率判断A；求出直线的横纵截距计算判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确； 对于B，直线交轴分别于点， 该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确； 对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意， 即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误； 对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误. 故选：AB 12. 在长方体中，，，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 的坐标为(2，2，3) B. =(-2，0，3) C. 平面的一个法向量为(-3，3，-2) D. 二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系得出各点坐标，根据空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】因为，， 所以，，，，所以， , 即A，B正确； 设平面的法向量， 所以，即，令，则，， 即平面的一个法向量为，故C错误； 由几何体易得面的一个法向量为， 由于， 结合图形可知二面角的余弦值为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之法向量的求法以及在面面角中的应用，属于基础题. 三、填空题（共4小题） 13. 点到直线的距离为______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 14. 已知，，，则________． 【答案】22 【解析】 【分析】先由的平方求出，再求的平方. 【详解】因为， 所以, ， 故． 故答案为:22 15. 已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得. 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 则， 所以与之间的距离. 故答案为：；. 16. 已知点三点共线，则实数________，________． 【答案】 ①. 0 ②. 0 【解析】 【分析】由题设得，，根据三点共线的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】因为，， 由A，B，C三点共线，得 ， 即 ，解得． 故答案为：0，0 四、解答题（共6小题） 17. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【小问1详解】 ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. 【小问2详解】 由题意得， 故， 故 . 18. 已知直线l经过点和点． （1）求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； （2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】（1）， ； （2）16 【解析】 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【小问1详解】 由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． 【小问2详解】 由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为． 19. 如图，在四棱中，底面，底面为正方形，，分别是的中点. （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 平面，平面，； 四边形为正方形，； 平面，，平面， 又平面，； 分别为的中点，，. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直性质和正方形性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由此可得；根据三角形中位线性质得，由此可证得结论； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量， ，令，解得：，，， ， 与平面所成角的正弦值为. 20. 设直线的方程为. （1）已知直线在轴上的截距为，求的值； （2）已知直线的斜率为1，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据截距的定义可知，且可解得的值；（2）将直线方程化成斜截式方程，可得斜率关于的表达式，即可求得结果. 【小问1详解】 由题意知，即且， 令，则， 即，得或 (舍去)． ∴. 【小问2详解】 由题意知，，即且， 由直线l化为斜截式方程 得， 则， 得或 (舍去)． ∴. 21. 直线经过两直线：和：的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为5，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出交点坐标，设直线的方程为：，代入交点即可求出； （2）当直线的斜率不存在时，符合条件，当斜率存在时，设直线的方程为：，利用点到直线的距离公式列方程求解. 【小问1详解】 直线方程与方程联立,得交点坐标为 设直线的方程为：，代入交点得， 所以的方程为 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，得的方程为：，符合条件. 当斜率存在时，设直线的方程为：， 根据，解得， 所以直线的方程为. 综上所述，为或 22. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】 （1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）； （3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【解析】 【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0， 故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期高二年级第一次月考数学试题 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单选题（共8小题） 1. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知直线的一方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与平行，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3 6. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 7. 已知点，，若直线过点与线段始终没有交点，则直线的斜率的取值范围是 A. B. 或 C. D. 8. 若三条直线能构成三角形，则a应满足的条件是（ ） A. 或 B. C. 且 D. 且 二、多选题（共4小题） 9. 已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线与为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则斜率 B. 若斜率，则 C. 若倾斜角，则 D. 若，则倾斜角 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 C. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为 D. 过两点的直线方程为 12. 在长方体中，，，以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. 的坐标为(2，2，3) B. =(-2，0，3) C. 平面的一个法向量为(-3，3，-2) D. 二面角的余弦值为 三、填空题（共4小题） 13. 点到直线的距离为______． 14. 已知，，，则________． 15. 已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________. 16. 已知点三点共线，则实数________，________． 四、解答题（共6小题） 17. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 18. 已知直线l经过点和点． （1）求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； （2）求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 19. 如图，在四棱中，底面，底面为正方形，，分别是的中点. （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值. 20. 设直线的方程为. （1）已知直线在轴上的截距为，求的值； （2）已知直线的斜率为1，求的值． 21. 直线经过两直线：和：的交点. （1）若直线与直线平行，求直线的方程； （2）若点到直线的距离为5，求直线的方程. 22. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $