2024-2025学年人教版九年级上册 数学期末提升卷

2024-2025学年 九年级上册人教版数学期末测评提升卷 一、单选题 1．点关于原点对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为(   ) A．36 B．24 C．18 D．72 4．一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、若干个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是，袋中白球共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．下列方程中，有两个相等实数根的是（  ） A． B． C． D． 6．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧 C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3 7．设二次函数是实数，则（    ） A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为 C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为 8．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．抛物线的顶点坐标为 ． 10．某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为 ． 11．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），则拋物线的对称轴是 ． 12．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ． 13．如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为 ．（结果保留π） 14．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关，，中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ． 15．如图，是的弦，连接，，是所对的圆周角，则与的和的度数是 ．    16．如图，等腰的三个顶点分别在等边的三条边上，，已知，则面积的最小值是 ． 三、解答题 17．列方程（组）解应用题 端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话： 小王：该水果的进价是每千克22元； 小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克． 根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？ 18．已知抛物线经过点和． （1）求、的值； （2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式． 19．如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA． (1)求∠ODC的度数； (2)试判断AD与OD的位置关系，并说明理由； (3)若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）． 20．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度米，拱高米，    (1)求圆弧所在的圆的半径r的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即米是否要采取紧急措施？ 21．从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率． (1)甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ； (2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）． 22．一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 23．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 24．如图，点是等边内的一点，，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求的度数． (2)若，，求的长． 25．扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览． (1)甲选择景点的概率为________； (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率． 26．我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A C A D A A 1．D 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选D． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，解题的关键是记住“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”． 2．A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 3．A 【分析】连接OC，首先根据题意可求得OC=6，OE=3，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长，据此即可求得四边形ACBD的面积． 【详解】解：如图，连接OC， ∵AB＝12，BE＝3， ∴OB＝OC＝6，OE＝3， ∵AB⊥CD， ∴在Rt△COE中，， ∴CD＝2CE＝6， ∴四边形ACBD的面积＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键． 4．C 【分析】设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是，利用概率公式列出方程，解之可得． 【详解】设白球有x个， 由题意得：， 解得x=5． 经检验，x=5是方程的解， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5．A 【分析】根据根的判别式逐一判断即可． 【详解】A.变形为，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，故选项A正确； B.中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，故选项B错误； C.整理为，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项错误； D.中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，故选项D错误. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式间的关系是解题的关键． 6．D 【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A错误， 该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误， 当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7．A 【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴抛物线对称轴为直线 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为． 故A正确，B错误； 当时， 抛物线对称轴为直线， 把代入，得， ∵ ∴当，时，y有最小值，最小值为， 故C、D错误， 故选：A． 【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故选． 9． 【分析】本题考查了二次函数的顶点式；根据抛物线的顶点式可直接得出答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故答案为：． 10．20% 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得， 解得，（舍去） 所以，增长率为20% 故答案为：20% 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 11．直线x=1 【详解】试题分析：已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），则拋物线的对称轴是直线x=，根据以上知识点求出即可． 解；∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）， ∴拋物线的对称轴是直线x==1． 故答案为直线x=1． 考点：抛物线与x轴的交点． 12．． 【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可． 【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE， 在正六边形ABCDEF中， ∵直角三角板的最短边为1， ∴正六边形ABCDEF为1， ∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形， ∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1， ∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒， ∴BG=DI= FH=， ∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =， ∴AC =AE = CE =， ∴由勾股定理得：AI=， ∴S=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用． 13． 【分析】直接利用弧长公式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 14． 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确画出树状图是解题的关键． 根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能够让灯泡发光的是闭合， ∴能够让灯泡发光的概率为：． 故答案为：． 15．/90度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得，结合三角形内角和定理，可证明，再根据等腰三角形的性质可知，由此即得答案． 【详解】是所对的圆周角，是所对的圆心角， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16． 【分析】过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，则，设，用x、y表示出AB的长度即可得到x、y的关系式，最后根据求最值即可． 【详解】过E作EM⊥AB于M，过F作FN⊥AB于N，设， ∵等腰 ∴（AAS） ∴ ∵等边 ∴ ∴ ∵ ∴ 即 整理得 ∴ ∴ ∴当时，最小． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查全等三角形中的一线三垂直模型、等边三角形的性质、二次函数最值，利用二次函数来求最值是解题的关键． 17．29元． 【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价． 【详解】解：设这种水果每千克降价元， 则每千克的利润为：元，销售量为：千克， 整理得， 或， 要尽可能让顾客得到实惠， 即售价为（元） 答：这种水果的销售价为每千克29元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 18．（1），；（2） 【分析】（1）将点和，代入解析式求解即可； （2）将，按题目要求平移即可． 【详解】（1）将点和代入抛物线得： 解得： ∴， （2）原函数的表达式为:， 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得： 平移后的新函数表达式为: 即 【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和牢记口诀是解题的关键． 19．(1)60° (2)，见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解； （2）将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，可知∠ADC=∠BOC=150°，即得∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，故AD⊥OD； （3）在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：，． ∴，即． ∵为等边三角形，∴． ∴．∴为等边三角形，． （2）． 由旋转的性质得，． ∵，∴． 即． （3）由旋转的性质得，AD=OB=2， ∵△OCD为等边三角形， ∴OD=OC=3， 在Rt△AOD中，由勾股定理得： AO= = = 【点睛】本题考查等边三角形中的旋转变换，涉及直角三角形判定、勾股定理等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，旋转不改变图形的大小和形状． 20．(1)米 (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】（1）连接，利用表示出的长，在中根据勾股定理求出的值即可； （2）连接，在中，由勾股定理得出的长，进而可得出的长，据此可得出结论． 【详解】（1）连接， 由题意得：， 在中，由勾股定理得：， 解得，； （2）连接， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：． ． ， 不需要采取紧急措施． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 21．(1) (2) 【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可； （2）先列表得到所有的等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种， ∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 （2）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁 乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁 丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁 丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙 所有所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种， 所以一定有乙的概率为： 【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键． 22．(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． 【详解】（1）， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； （2）方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 24．(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质可得：，，即可证得是等边三角形，即可求解； （2）由旋转的性质得，，，由为等边三角形，得，可证得是直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：由旋转的性质得：，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：由旋转的性质得，，， ， ， 为等边三角形， ， 在直角中，． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的有关知识，熟练掌握和运用旋转的性质是解决本题的关键． 25．(1) (2) 【分析】（1）利用概率计算公式求解即可； （2）利用树状图或列表的方法，分析甲、乙至少一人选择的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可． 【详解】（1）解：共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的， 甲选择景点的概率为． （2）解：根据题意，列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果， 甲、乙至少有一人选择景点的概率为． 【点睛】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． 26．(1)10； (2)且． 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$