专题07 图形的相似50道压轴题型专训（10大题型）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题07 图形的相似50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】题型一 黄金分割压轴题型 题型二 平行线分线段成比例压轴题 题型三 相似多边形压轴题 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 相似三角形的动点问题 题型六 相似三角形的应用 题型七 图形的位似压轴 题型八 相似三角形的模型问题 题型九 相似三角形的综合 题型十 相似三角形的新定义问题 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 4．（2022九年级上·浙江·专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 5．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 【经典例题二 平行线分线段成比例压轴题】 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：． (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．若，求的面积． 7．（22-23九年级下·辽宁盘锦·开学考试）（1）如图1，E是正方形边上的一点，连接、，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点F和点G． ①线段和的数量关系是 ； ②线段，和之间的数量关系是 ． （2）当四边形为菱形，，点E是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点F和点G． ①如图2，点E在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E在线段的延长线上时，交射线于点M，若，，直接写出线段的长度． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 9．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图①，在正方形中，．点P从点D出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动．点P关于直线的对称点，当点P不与点D、B重合时，连结、、．设点P的运动时间为t秒． ​ (1)当时，求t的值； (2)当点与点Q重合时，求t的值； (3)当时，t的值为 ； (4)如图②，点E为中点，连接，当与正方形的边平行时，则t的值为 ． 10．（2024·安徽合肥·一模）四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 【经典例题三 相似多边形压轴题】 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 12．（2022·山西大同·一模）数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点A重合，且，连接，． (1)如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系； (2)如图2，将菱形绕点A按逆时针方向旋转，使点D落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系． 13．（2021九年级上·全国·专题练习）如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4． （1）求矩形ODEF的面积； （2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 14．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 15．（2020九年级·浙江绍兴·学业考试）如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线． （1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度； （2）将正方形纸片按图所示的方式折叠． 如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由． （3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）． 【经典例题四 相似三角形的判定与性质综合】 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点． (1)请在图中找出与相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下） (2)已知，， ①当时，求的面积； ②连接，当为直角三角形时，求的长； ③当将分成的两部分的面积之比为时，请直接写出值． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在等腰中，，M为中点，D为平面内一点． (1)如图，D点在边上，连接，若，，求的值； (2)如图，D点在下方，连接，将线段绕点A逆时针旋转线段到，且，连接恰好过点M，若，证明：； (3)如图，已知，D点在边上，连接，动点P在线段上，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，点N为中点，连接．若，请直接写出线段的最小值为_______． 19．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在矩形中（），为线段上一点，将沿折叠得到，点恰好在线段上． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕，延长交线段于点．若，，求的长； (3)小丽同学用不同形状的矩形纸片（），按照题中（2）的方法折叠并延长，发现有些点不在线段上，若要使点落在线段上（不含端点），请直接写出的取值范围． 20．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F是边上一点，连接交于点G，． ①试说明； ②若，，求的值．    【经典例题五 相似三角形的动点问题】 21．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．    (1)若与相似，求动点的运动时间； (2)在运动过程中，当时，求动点的运动时间； (3)在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 22．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒． (1)__________； (2)当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值． 23．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 24．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）． (1)当为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 【经典例题六 相似三角形的应用】 26．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．    27．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解： 如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EFBC，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 ______ ______ ______ … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 28．（2021·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 29．（2020·陕西西安·二模）小明和小刚都是篮球迷，他们常常晚上写完作业后，抽出一点时间到小区附近的室外篮球场打篮球，小明注意到篮球场两侧有两个一样高的路灯，他想正好可以用所学的知识来测量一下路灯的高度，便设计出如下的测量方案如图，用、两点表示路灯，、、，小明站在上的处．小刚帮他测得他在路灯主照射下的影长米，在路灯照射下的影长米．已知小明的身高米，篮球场的宽米，请根据以上数据计算出路灯的高度（或的长）． 30．（2024九年级上·全国·专题练习）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【经典例题七 图形的位似压轴】 31．（22-23九年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 32．（2023·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 33．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图①，在中，，，点D是上一点，且．动点F从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F为直角顶点，且点E与点B位于线段两侧．设点F的运动时间为t（秒）． AI   (1)求线段的长度； (2)当点E落在的中位线上时，求出t的值： (3)连接，则线段的最小值是______． (4)如图②．以点B为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t的值． 34．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 35．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 【经典例题八 相似三角形的模型问题】 36．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连结交于点，若，求的值． (1)猜想证明： 思路1：过点作交于点． 思路2：过点作交于点． 思路3：过点作分别交延长线于点、点． 请选择一种思路、写出解答过程． (2)类比探究： 如图②，在中，是边上的点，是边延长线上的点，连结交延长线于点．若，且面积为2，则四边形的面积为________． (3)延伸拓展： 如图③，在矩形中，分别为边上的点，，，与分别交于点．若，，则的长为________． 37．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 38．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在中，°，，点分别是的中点，连接．然后将绕点顺时针旋转，连接，直线与直线交于点． (1)如图1，在△旋转过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值； (2)如图2，当点在直线的上方时，连接，当时，求的值； (3)若，在△旋转过程中，当三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出的长． 39．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）从特殊到一般，联系问题本质，是数学学习的重要方法． (1)如图1，矩形中，，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为，过点F作的垂线交于点G，求：的长； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在上，点G，H分别在上且，求证：． (3)如图3，四边形中，，点M，N分别在边上，求：的值． 40．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当时，若，求正方形的边长； (3)如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． 【经典例题九 相似三角形的综合】 41．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 42．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 43．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 44．（2020·安徽合肥·一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 45．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【经典例题十 相似三角形的新定义问题】 46．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 47．（2023·广东广州·一模）定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形，，． ①若，于点，求的长； ②若，，求的长； (2)如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长． 48．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 49．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在的网格图中，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请画出两个符合条件的等补四边形，点也在格点上． (2)如图2，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连结． ①求证：四边形是等补四边形． ②若，求四边形的面积． (3)如图3，在四边形中，，，，点在边上，，点在边上，四边形为等补四边形，现已知，求长度． 50．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边，以为斜边向外作，定义为等边的“关联直角三角形”，连接交于点，下面我们来研究与的值有关的问题． (1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，的值为______； (2)如图②，当“关联直角三角形”是含的直角三角形时，求的值； (3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 图形的相似50道压轴题型专训（10大题型） 【题型目录】 题型一 黄金分割压轴题型 题型二 平行线分线段成比例压轴题 题型三 相似多边形压轴题 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 相似三角形的动点问题 题型六 相似三角形的应用 题型七 图形的位似压轴 题型八 相似三角形的模型问题 题型九 相似三角形的综合 题型十 相似三角形的新定义问题 【经典例题一 黄金分割压轴题型】 1．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画，使； 第二步：连接，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E； 第三步：以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点B． （2）在所画图中，点B是线段的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析；（2）点B是线段的黄金分割点，理由解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了黄金分割以及尺规作图，理解黄金分割点是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）设则 利用勾股定理得到再得到利用黄金分割点的定义可判断点是线段的黄金分割点； （3）以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求． 【详解】解：（1）如图，点为所作： （2）设则 ， 即 ∴点是线段的黄金分割点． （3）按（1）中作点E的方法作点F，以为圆心长为半径画弧,以为圆心，长为半径画弧,交点为,则即为所求，如图： 3．（22-23八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材 定义：如图，点将线段分成两部分，如果，那么点称为线段的黄金分割点． 素材 某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线将一个面积为的图形分成面积分别为，的两部分，如果，那么直线称为该图形的黄金分割线． 素材 平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图中的绕的中点旋转后与原三角形组成一个平行四边形如图．    问题解决 任务 问题：如图，边上黄金分割点旋转后的对称点是否也是边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由． 问题：直线是不是四边形的黄金分割线？请写出你的判断结论：______ ． 任务 请在图探索：边上是否存在点，使得直线是四边形的黄金分割线？如果存在，请说明点的位置；如果不存在，请说明理由． 任务 兴趣小组探索图时猜想：在中，若点为边上的黄金分割点，连接，则直线是的黄金分割线，你认为对吗？为什么？ 任务 兴趣小组探索图时还发现：若点是的边的黄金分割点，过点任意作一条直线交于点，再过点作交于点，则直线是的黄金分割线，请你给出证明． 【答案】任务：问题：是，见解析；问题2：不是；任务2：存在，过点作交于点，则是四边形的黄金分割线；任务3：对，见解析；任务4：见解析 【分析】任务：问题：由旋转可得：，，，又为的黄金分割点，知，故，点是上的黄金分割点； 问题：根据，，可得，由黄金分割线的定义可知直线不是四边形的黄金分割线， 任务： 过点作交于点，则点即为所求的点； 任务： 由是的黄金分割点，得，又，，故，从而是三角形的黄金分割线； 任务： 连接，由 ，得，，故，，根据点是的边的黄金分割点，可得，即得，直线是的黄金分割线． 【详解】解：任务： 问题： 点是的黄金分割点，理由如下： 由旋转可得：，，， 为的黄金分割点， ， ， 点是上的黄金分割点； 问题： 直线不是四边形的黄金分割线， 理由：，， 在中，， ， ， 直线不是四边形的黄金分割线， 故答案为：直线不是四边形的黄金分割线； 任务： 边上存在点，使得直线是四边形的黄金分割线， 过点作交于点，则是四边形的黄金分割线， 如图：    在中，， 又， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是平行四边形， 为的黄金分割点， ， ， 则是四边形的黄金分割线， 点即为所求的点； 任务： 正确，理由如下： 如图：   是的黄金分割点， ， ，， ， 是三角形的黄金分割线； 任务： 证明：连接，如图：   ， ，， ，， 点是的边的黄金分割点， ， ， ， 直线是的黄金分割线． 【点睛】本题考查黄金分割，涉及新定义，平行四边形，中心对称等知识，解题的关键是读懂题意，理解黄金分割点，黄金分割线的定义． 4．（2022九年级上·浙江·专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》系统地论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割（）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值． 如图①，在线段上找一个点C，C把分为和两段，其中是较小的一段，如果，那么称线段被C点黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，与的比值叫做黄金分割数． 为简单起见，设，则． ∵，∴…… 任务： (1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数． (2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点： ①设是已知线段，过点B作且使； ②连接，在上截取； ③在上截取； 则点C即为线段黄金分割点．你能说说其中的道理吗？ (3)已知线段，点C，D是线段上的两个黄金分割点，则线段的长是 　　． 【答案】(1)黄金分割数为 (2)能，道理见解析 (3) 【分析】（1）设，则．根据黄金分割的定义，构建方程求出x即可． （2）设，根据勾股定理求出，再证明即可． （3）利用黄金分割的定义求出，再根据求解即可． 【详解】（1）设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即黄金分割数为． （2）能，道理如下： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C是线段的黄金分割点． （3）如图，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 5．（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）【背景知识】 宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界上很多著名建筑，为了取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊帕特农神庙等． （1）经测量帕特农神庙的长约为30米，求它的宽度是多少米?（结果保留根号） 【实验操作】 折一个黄金矩形 第一步：在矩形纸片的一端利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将正方形折成两个相等的矩形，再将其展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并将折到图3所示的处； 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出，得到矩形（如图4）．          【问题思考】 （2）若的长为2，请证明：矩形是黄金矩形； （3）在（2）的条件下，以图3中的折痕为边，构造黄金矩形，直接写出这个矩形的面积． 【答案】（1）（米）；（2）见详解；（3）或． 【分析】（1）由题意得帕特农神庙宽的与长的比等于，已知长为30，则可以求出宽． （2）若的长为2，由折纸的过程可知，，．求得，则，则可得，进而可求得，即可得证． （3）分为黄金矩形的长和黄金矩形的宽，两种情况，进行讨论求解即可． 本题考查黄金分割，掌握黄金矩形的定义，是解题的关键． 【详解】（1）由题意得帕特农神庙宽与长的比等于， ∴它的宽为： （米）． （2）证明：， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴矩形是黄金矩形． （3）由折叠的性质可得， 又， ， ∴ ， 又， ， ． 当 为黄金矩形的长时，则宽为， 则面积为． 当 为黄金矩形的宽时，则长为， 则面积为． 综上，矩形的面积为：或． 【经典例题二 平行线分线段成比例压轴题】 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为． (1)如图1，求证：． (2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明． (3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．若，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)，见解析 (3)30 【分析】（1）利用“”即可证明； （2）可知，证明，则，可得，则，故； （3）翻折得，根据等角的余角相等得到，故，则，即点F是中点；过点F作交于点M，连接，设，，则，由翻折得，故，因此，在中，由勾股定理得：，解得：或（舍，此时） ，在中，由勾股定理得：，解得：，则，由，得到，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图，      由题意得，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）猜想： 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即点F是中点； 过点F作交于点M，连接，    ∵， ∴， 设，， ∴， 由翻折得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得，， 解得：或（舍，此时） ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∵， ∴，， ∴点M为中点， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，翻折的性质，勾股定理解三角形，平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题的关键． 7．（22-23九年级下·辽宁盘锦·开学考试）（1）如图1，E是正方形边上的一点，连接、，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点F和点G． ①线段和的数量关系是 ； ②线段，和之间的数量关系是 ． （2）当四边形为菱形，，点E是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点F和点G． ①如图2，点E在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E在线段的延长线上时，交射线于点M，若，，直接写出线段的长度． 【答案】（1）①DB＝DG；②；（2）①，见解析；② 【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可； ②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； ②作辅助线，计算和的长，根据平行线分线段成比例定理可得的长，根据线段的差可得结论． 【详解】解：（1）①，理由是： 绕点逆时针旋转，如图1， 由旋转可知，，， 四边形是正方形， ， ， ， ； 故答案为：； ②，理由如下： 由①知：，，， ， ， ， 中，， ， ， 即； （2）①如图2，， 理由如下：在菱形中，， 由旋转得，， 在中，， ， ， ， ， ， 过点作于点，如图2， ， ， 在中，， ． 设，则， ， ， ， ， ； ②过点作于，过作于，如图3， 中，，， ，， ， ， ， ， ， 中，，， ， 由旋转得：， ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明是解本题的关键． 8．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、矩形的折叠等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由底不等高相等的三角形可得，作于点E，于点F，由角平分线性质得到，由三角形面积公式可得，即可得到结论； （2）①连接，求出，证明平分，由（1）的结论可知，，代入数值即可得到答案；②推导出，四边形是矩形，则，，求出，得到，由勾股定理求出，由即可得到答案． 【详解】（1）证明：显然， 作于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 即平分， 由（1）的结论可知，， ∴， 解得 ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，，垂直平分， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，， 解得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 9．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）如图①，在正方形中，．点P从点D出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动．点P关于直线的对称点，当点P不与点D、B重合时，连结、、．设点P的运动时间为t秒． ​ (1)当时，求t的值； (2)当点与点Q重合时，求t的值； (3)当时，t的值为 ； (4)如图②，点E为中点，连接，当与正方形的边平行时，则t的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)或3 (4)1或 【分析】（1）由题意知，，则，证明四边形是平行四边形，则，即，计算求解即可； （2）由点P关于直线的对称点，可知垂直平分，当点与点Q重合时，由题意知，在上，如图1，则在上，，即，计算求解即可； （3）由题意知，当时，分在上，在上两种情况求解；当在上，，如图2，由垂直平分线的性质可得，，即，由勾股定理得，，即，整理得，，由，可知方程无解，此情况不成立；当在上，，分在上方，在下方两种情况求解；当在上方，如图3，同理，，即，计算求解即可；当在下方时，如图4，同理，，即，计算求解即可； （4）由题意知，分在上，在上分两种情况求解；当在上时，，如图5，过作交于，交于，则四边形是矩形，证明，则，证明四边形是矩形，则，即，计算求解即可；当在上时，，如图6，则，即，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴， ∵正方形， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 解得，， ∴t的值为； （2）解：∵点P关于直线的对称点， ∴垂直平分， 当点与点Q重合时，由题意知，在上，如图1，则在上，         图1 ∴， ∴， 解得，， ∴t的值为； （3）解：由题意知，当时，分在上，在上两种情况求解； 当在上，，如图2，             图2 由垂直平分线的性质可得，， ∴， 由题意知，， 由勾股定理得，，即，整理得，， ∴， ∴方程无解，此情况不成立； 当在上，，分在上方，在下方两种情况求解； 当在上方，如图3，           图3 同理，，即， 解得，； 当在下方时，如图4，          图4 同理，，即， 解得，； 综上所述，的值为或3； 故答案为：或3； （4）解：由题意知，分在上，在上分两种情况求解； 当在上时，，如图5，过作交于，交于，则四边形是矩形，           图5 ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得，； 当在上时，，如图6，          图6 ∴，即， ∴，即， 解得，； 综上所述，t的值为1或； 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质、垂直平分线的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质、平行线分线段成比例，是四边形的综合题．理解题意找到题目中的数量关系，并分情况求解是解题的关键． 10．（2024·安徽合肥·一模）四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）过作于，交于，①根据平行线的判定得出和平行，再根据等腰三角形的性质即可求解；②根据平行线分线段成比例，求出和的比，再根据中位线定理得出和的关系，从而得解； （2）延长到，使得，连接，根据三角形全等得出，从而求得和的关系，再根据勾股定理求出和的关系，从而得解． 【详解】（1）解：过作于，交于，如图： ①证明：设， ， ， ，， ， ， ； ②解：，为中点， ， ， ， ； （2）解：延长至，使得，连接，如图： ，， ， ， ， 又， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，， ， ， ． 在直角中．， ． 【点睛】本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键． 【经典例题三 相似多边形压轴题】 11．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）形状相同（即长与宽之比相等）的矩形是相似矩形，已知一个矩形长为，宽为1．    一分为二 （1）如图1，将矩形分割为一个正方形（阴影部分）和小矩形，小矩形恰与原矩形相似，则的值为______． （2）如图2，将矩形分割为两个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似，则的值为______． 一分为多 （3）有同学说“无论为何值，该矩形总可以分割为几个小矩形，这几个小矩形都与原矩形相似”，你同意这个说法吗？若同意，在图3中画出一种可行的分割方案；若不同意，举出反例． 一分为三 （4）将矩形分割为三个矩形，使每个小矩形均与原矩形相似．画出所有可能的分割方案的示意图，并在每个示意图下方直接写出对应的的值． 【答案】（1）；（2）；（3）同意，见解析；（4）见详解 【分析】（1）先求得小长方形的长和宽，再根据小矩形与原矩形长宽比相等列方程求解即可； （2）由小矩形的长以及长宽比求得小矩形的宽，再根据两个小矩形的宽之和为a列方程求解即可； （3）通过连接矩形的四条边的中点可将矩形分为4个一样的小矩形，再求小矩形的长宽比便可验证； （4）分四种情况：①沿原矩形的长3等分为三个矩形，②先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，③先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，④先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1；根据相似矩形的长宽比，利用原矩形的长和宽建立方程求解即可； 【详解】解：（1）由图可知阴影正方形的边长为1， ∴小长方形的宽为，长为1， ∵小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得：或（边长不能为负舍去）， ∴； （2）∵两小矩形的长都为1，且与原矩形的长宽比相同， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）同意，如下图连接矩形的四条边的中点，将矩形分为4个小矩形，    四个小矩形的长和宽都为和，长宽比为与原矩形长宽比相同； （4）共有四种情况： ①如下图沿原矩形的长3等分，    小矩形和原矩形的长宽比都为a， 小矩形的长为1，则宽为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ②如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使宽都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的长为， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ③如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形两等分使长都为，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为，右边矩形的宽为， ∴∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； ④如下图先将矩形分割为两个小矩形，再将右边矩形分割为两个小矩形使两个矩形的长与宽的和为1，    根据原矩形的长宽比可得： 左边矩形的宽为， ∴右边两矩形的宽和长为， ∴右上矩形的长为，右下矩形的宽为， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了相似矩形，一元二次方程，分情况要按照先一分为二，再将其中一个一分为二的思路来讨论． 12．（2022·山西大同·一模）数学实践课上，老师要求同学们先制作一个透明的菱形塑料板，然后在纸上画一个与透明的菱形相似的菱形．把透明的菱形放在上面记作菱形，它们的锐角顶点A重合，且，连接，． (1)如图1，当边在边所在的射线上，直接写出与的数量关系； (2)如图2，将菱形绕点A按逆时针方向旋转，使点D落在边上，连接和．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，探究并说明线段和的数量关系和位置关系． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)， 【分析】（1）证明，从而得出； （2）由得出，进而证明，从而得出； （3）由（2）得，从而得出，，进一步求得位置关系． 【详解】（1）解：∵菱形相似于菱形， ∴， ∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： 由（1）得：，，， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 延长，，交于点H，如图， 由（2）得：， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了菱形和正方形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型． 13．（2021九年级上·全国·专题练习）如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4． （1）求矩形ODEF的面积； （2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，最大值，最小值 【分析】（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可； （2）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4， ∴S矩形ODEF=S矩形ABCO=×4×4=； （2）存在． ∵OE=， 所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆， 设点O到AC的距离为h， AC=， ∴8h=4×4， 解得h=2， ∴当点E到AC的距离为2+2时，△ACE的面积有最大值， 当点E到AC的距离为2-2时，△ACE的面积有最小值， S最大=， S最小=． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，理解AC边上的高的最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和是解本题的关键． 14．（23-24九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD． （1）求证：EB＝GD； （2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长． 【答案】（1）见解析；（2）GD＝ 【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可． 【详解】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD， ∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB， ∴∠EAB＝∠GAD， ∵AE＝AG，AB＝AD， ∴△AEB≌△AGD， ∴EB＝GD； （2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC， ∵∠DAB＝60°， ∴∠PAB＝30°， ∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2， ∴AE＝，BP＝AB＝1， ∴ ∴EP＝2 ∴ ∴GD＝． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等． 15．（2020九年级·浙江绍兴·学业考试）如果一条直线把矩形分割成两个矩形，其中一个为黄金矩形（宽与长的比为的矩形），则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线． （1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度； （2）将正方形纸片按图所示的方式折叠． 如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由． （3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）． 【答案】（1）答案见解析，（2）是，理由见解析；（3），，，，，． 【分析】（1）根据矩形黄金线的定义可算出AM=和，从而可画出已知矩形的黄金线； （2）连结，设，，由折叠得，由△CGE的面积两种求法列出方程，求得，从而求得，即是正方形的黄金线； （3）分类讨论，根据点E的不同位置，不同边的比得到不同a的值． 【详解】（1）∵ ∴, 如图所示， 此时， （2）折痕是正方形的黄金线．理由如下： 如图，连结，设，，由折叠得， 在中，， ， 又，∴．解得：． 即．∴． ∴是正方形的黄金线． （3）①当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ②当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ③当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ∵AB=1，AD=a ∴， ∴ ∴； ④当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，， 解得，； ⑤，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ，解得，； ⑥当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，解得，； ⑦当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ，， ，解得，； ⑧当，时，EF把矩形ABCD分割成两个黄金矩形，则 ， ，解得， 故答案为：，，，，， 【点睛】本题考查了矩形的黄金分割线，黄金矩形的定义，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【经典例题四 相似三角形的判定与性质综合】 16．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点． (1)请在图中找出与相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下） (2)已知，， ①当时，求的面积； ②连接，当为直角三角形时，求的长； ③当将分成的两部分的面积之比为时，请直接写出值． 【答案】(1) (2)①；②的值等于4或；③的值等于或． 【分析】（1）与为两个等腰三角形，得到，从而推算出从而证明； （2）①根据勾股定理算出，证明，根据相似比分别求出，计算出面积，再利用三角形的相似比计算出的面积； ②当时，证明得出计算出；当证明，根据相似比计算出． ③证明和，由推出，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴； （2）解：①如图2，连接，在菱形中，与互相垂直平分， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 得， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如下图所示, 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵ ∴． 如下图所示，当时，延长交于H， 设，则． ∵ ∴． ∵ ∴， ∴ ∴ 解得 ∵ 当时 ∴的情况不存在 综上所述，的值等于4或； ③∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，的值等于或． 【点睛】本题考查菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的相关知识． 17．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在梯形中，，E在边上且． (1)如左图，若点F在边上，且，连结，求证：； (2)如图，已知，点M在边上，连结、、，与交于点N．若，，，求边的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出； （2）首先将条件转化成线段和角度关系，由，很容易找到，再根据这个相似结论证出，多组相似转化，再利用勾股定理建立方程，求出未知数． 【详解】（1）证明：延长和交于点， ∵， ∴， ， ，， ，， ，即， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：延长，交于点，过点作，垂足为点． ∵， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ， ， ， ， 设，则， ∵， ，， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ，解得， ， 由勾股定理可得：， ， 解得， ， ， 在中，由勾股定理可得，， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定即勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 18．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）在等腰中，，M为中点，D为平面内一点． (1)如图，D点在边上，连接，若，，求的值； (2)如图，D点在下方，连接，将线段绕点A逆时针旋转线段到，且，连接恰好过点M，若，证明：； (3)如图，已知，D点在边上，连接，动点P在线段上，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，点N为中点，连接．若，请直接写出线段的最小值为_______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形外角关系得出，由得，运用证明，得，进一步可得出的值； （2）在线段上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得，由可推出，则，再证明，可得，证明，得出，即可得出结论； （3）取的中点T，连接．首先推出点N的运动轨迹是射线，推出当时，的值最小，再想办法求出可得结论． 【详解】（1）解：∵ ∴ 又 ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵将绕点A逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3中，取的中点T，连接． 在中，， ∴， ∴， ∵都是等腰直角三角形，T为的中点，点N为中点， ∴都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是射线， ∴当时，的值最小， 连接，延长交于点J，作于点W，于点R，于点K． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 19．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在矩形中（），为线段上一点，将沿折叠得到，点恰好在线段上． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点恰好落在上的点处，为折痕，延长交线段于点．若，，求的长； (3)小丽同学用不同形状的矩形纸片（），按照题中（2）的方法折叠并延长，发现有些点不在线段上，若要使点落在线段上（不含端点），请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）矩形的性质得到，折叠得到，进而推出四边形是正方形即可； （2）过点作，则四边形为矩形，得到，易得为等腰直角三角形，得到，根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求出，进而求出，设，在中，利用勾股定理，求出的值，证明，推出，设，根据求出值，进而求出，再根据线段的和差关系求出的长即可； （3）令，，由题意得：，得到，利用勾股定理结合相似三角形的判定和性质，求出重合时，的值，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形； （2）解：过点作，则四边形为矩形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则：， 在中，，解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）令，，由题意得：， ， 由（2）得：， ， 当点与重合时： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用相似三角形的判定和性质进行求解，是解题的关键． 20．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别是边的中点，连接，求证：； 【问题拓展】 （2）如图2，在四边形中，，，点E是的中点，点F是边上一点，连接交于点G，． ①试说明； ②若，，求的值．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】问题探究：根据矩形的性质可得，，根据点分别是的中点，可得，即可求证； 问题拓展：①取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； ②过点作，则四边形是矩形，连接，设，则，，可得，，又可得垂直平分，得到，，即可证明，得到，，进而由①，可得，设，则，，即可由得到，即可证明，得到，即可得． 【详解】解：问题探究：四边形是矩形， ∴，， ∵分别是的中点 ， ∴， 即， ∴； 问题拓展：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∴， 又∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，连接，过点作，则四边形是矩形，，    ∵，， ∴设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 由①，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形中位线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【经典例题五 相似三角形的动点问题】 21．（24-25九年级上·河南开封·期中）如图，的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是/秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止连接、、．    (1)若与相似，求动点的运动时间； (2)在运动过程中，当时，求动点的运动时间； (3)在运动的过程中，能否为的中位线？说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理，熟练掌握知识点，找到相似三角形是解题的关键． （1）已知是直角三角形，要与其相似，图中已有一个公共角，所以只需的另外两个角有一个角是直角，那么与相似．由此对应两种情况：或，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间； （2）当时，过点作于，证明，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间； （3）若若为的中位线，则，则，求出，此时，，故，故不能为的中位线． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得 设经过运动时间为t秒时，与相似． 则，，，； ①当，即时， ； ，即， ． ②当，即时， ， ，即， ． 和都符合，   当动点运动秒或秒时，与相似； （2）解：如图，过点E作于F，    设经过运动时间为t秒时，， 则，，，； ，即， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， （秒）． （3）解：不能，理由如下： 如图，    若为的中位线，则， 则， ∴， 解得：， 此时，， ∴， ∴不可能为的中位线． 22．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿线段BA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点B运动．当点P到达终点时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒． (1)__________； (2)当Q在上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与相似，求t的值； (3)设点O是的中点，当与的一边垂直时，请直接写出t的值． 【答案】(1)10 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理直接求解； （2）根据题意列出代数式，分当和时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解； （3）根据题意分当，，时三种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得, ∴， 故答案为：10． （2）解：由题意，得，， ①当时，， ∴， ∴， 解得， ②当时，， ∴， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与相似． （3）解：当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，如图所示， ∵点O是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或． 23．（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 【答案】(1)、 (2)、2 (3)、 【分析】（1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论； （2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，，分两种情况分类讨论，当时，解得，当时，解得：即可得出结论． 【详解】（1）在中，，，． 根据勾股定理，得． ∵以B、P、N为顶点的三角形与相似 ∴当时，，或当时， 此时，即，解得， 当时， 此时，即，解得 答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与相似； （2）是等腰三角形， ①当时，即， 解得：， ②当时， 如图1，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ，即， 解得：， ③当时， 如图2，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ， ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当，或时，是等腰三角形； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，， ，即， ， 同理：， ∵动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动 ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵以为直角边 ∴当时， ∴ ∴ 解得： 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述：当，或时，是等腰三角形，以为直角边. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，等腰三角形的求法以及三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）． (1)当为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）由等腰三角形的定义可得，即得，解方程即可求解； （）根据即可求解； （）根据相似三角形的判定分和两种情况解答即可求解； 本题考查了矩形的性质，等腰三角形的定义，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，当或时，以点为顶点的三角形与相似． 25．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图①，在中，，动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，同时动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动．设点D运动的时间是t秒．过点D作于点F，连结．    (1)　　，　　；（用含t的代数式表示） (2)当四边形是菱形时，t的值为 　　； (3)当垂直于的一边时，求t的值； (4)如图②，将沿翻折，点A的对应点为点，直接写出点在外部时t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)t的值为或 (4)或 【分析】（1）先根据动点意义用含t的代数式表示出，再用减去即可求出； （2）先证明，求出，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，列出关于t的方程，解方程即可求出结果； （3）分两种情况进行讨论，根据相似三角形的判定与性质列出关于t的方程即可求出每种情况下的t值； （4）当或是钝角时将沿翻折，点A的对应点在外部，然后看t值在什么范围时这两个角是钝角即可求出将沿翻折，点A的对应点在外部时t的取值范围． 【详解】（1）解：∵动点D从点C出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒， ∴， 又∵， ∴， ∵动点E从点A出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，运动时间为t秒， ∴； （2）解：， ， ， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， 当四边形是菱形时，， ∴， ∴； （3）解：当时，， ∴， ∴，即， 解得： ， 当时，， ∴， ∴，即， 解得： ． ∴t的值为或； （4）解：由（3）知当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， 当时，是钝角， 此时将沿翻折，点A的对应点在外部， ∴将沿翻折，点A的对应点在外部时，t的取值范围为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查平行四边形、菱形的性质，折叠的性质，以及相似三角的判定与性质等知识，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，特别注意分类讨论，分别求出t的值，避免漏解． 【经典例题六 相似三角形的应用】 26．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）一块直角三角形木板，它的一条直角边长为，面积为，现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图①、图②所示．请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求．    【答案】甲同学的加工方法符合要求 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意得出，，，再根据正方形的性质得出，，再分别设图①正方形的边长为，图②正方形的边长为，代入数值得出，即可得出结果． 【详解】解：∵，，面积为， ∴， 解得：， 如图①，设正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 如图②，过点作，分别交于两点，    又∵，，面积为，， ∴，， ∴，， 设图②正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴图①中的正方形的面积要大，所以甲同学的加工方法符合要求． 27．（2022九年级·全国·专题练习）阅读理解： 如图1，AD是△ABC的高，点E、F分别在AB和AC边上，且EFBC，可以得到以下结论：． 拓展应用： (1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？ (2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度． ①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表： 排数/排 0 1 2 3 … 隔板长度/厘米 160 ______ ______ ______ … 若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式； ②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？ 【答案】(1)正方形的边长为 (2)①，，80；yn+160；②最多可以摆放38瓶葡萄酒 【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，交EF于H，由，可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得BD=80cm，由勾股定理可求AD=60cm，分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3，由阅读理解的结论可列方程，即可求解． ②分别求出每排最多可以放多少葡萄酒瓶，即可求解． 【详解】（1）如图2，过点A作AD⊥BC于D，交EF于H， 由阅读理解的结论可得：， 设正方形的边长为x， ∴， ∴x， ∴正方形的边长为； （2）①如图3﹣1，过点A作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝80cm， ∴AD60（cm）， 分别设第1、第2、第3排的隔板长为y1，y2，y3， 由阅读理解的结论可得： 解得：y1，y2，y3＝80， 故答案为：，，80； ∴， ∴yn+160； ②当n＝1时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈13（个）， 当n＝2时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈10（个）， 当n＝3时，隔板长80cm， ∴可以作正方体的个数＝80÷10≈8（个）， 当n＝4时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈5（个）， 当n＝5时，隔板长cm， ∴可以作正方体的个数10≈2（个）， 当n＝6时，隔板长0cm，可以作正方体的个数为0个， ∴第1排最多可以摆放13瓶葡萄酒，第2排最多可以摆放10瓶葡萄酒，第3排最多可以摆放8瓶葡萄酒，第4排最多可以摆放5瓶葡萄酒，第5排最多可以摆放2瓶葡萄酒，第6排最多可以摆放0瓶葡萄酒， ∴13+10+8+5+2＝38（瓶）， 综上所述：最多可以摆放38瓶葡萄酒． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，找出规律是解题的关键． 28．（2021·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高； (2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高． 【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米， 故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长， 线段为乙树落在地面上的影长， 与图1中的相似， 又， 故乙树的高为4.2米； 故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长， 线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长， 则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米， 又与图1中的相似， 又 故丙树的高为5.56米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 29．（2020·陕西西安·二模）小明和小刚都是篮球迷，他们常常晚上写完作业后，抽出一点时间到小区附近的室外篮球场打篮球，小明注意到篮球场两侧有两个一样高的路灯，他想正好可以用所学的知识来测量一下路灯的高度，便设计出如下的测量方案如图，用、两点表示路灯，、、，小明站在上的处．小刚帮他测得他在路灯主照射下的影长米，在路灯照射下的影长米．已知小明的身高米，篮球场的宽米，请根据以上数据计算出路灯的高度（或的长）． 【答案】8米 【分析】设BH=x米，根据题意得到DH=15-x，BG=1.75+2+x=3.75+x，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：设BH=x米， ∵BD=15，FH=1.75，FG=2， ∴DH=15-x，BG=1.75+2+x=3.75+x， ∵AB⊥BD、CD⊥BD，EF⊥BD， ∴AB∥EF∥CD， ∴△EFG∽△ABG，△EHF∽△CHD， ∴，， ∴，， 解得：AB=8（m）， 答：路灯的高度为8m． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 30．（2024九年级上·全国·专题练习）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 【经典例题七 图形的位似压轴】 31．（22-23九年级下·山东德州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．    (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)判断与，能否是关于某一点为位似中心的位似图形，若是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，Q点的坐标为 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）根据位似的性质，确定坐标，解答即可． 本题考查了平移作图，位似作图，待定系数法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （2）解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、．画图如下：    则即为所求． （3）解：∵、、，、、． ∴直线为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得 故Q点的坐标为． 故与，是关于某一点为位似中心的位似图形，且位似中心为Q点的坐标为． 32．（2023·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作；若逆时针旋转，记作． 例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作． (1)如图②，经过得到，用尺规作出．（保留作图痕迹） (2)如图③，经过得到，经过得到，连接，．求证：四边形是平行四边形． (3)如图④，在中，，，．若经过（2）中的变换得到的四边形是正方形． Ⅰ．用尺规作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； Ⅱ．直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)Ⅰ．见解析；Ⅱ．． 【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，进而作出图形； （2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形； （3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法． 【详解】（1）如图1， 1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点， 2．延长至，使，延长至，使，连接， 则就是求作的三角形； （2）证明：和位似，与位似， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得：， 四边形是平行四边形； （3）如图2， 1．以为边在上方作等边三角形， 2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接， 3．作，，延长，交于，连接，， 则四边形是正方形， 证明：由上知：，， ，，，， ， 要使是正方形，应使，， ，， ， ， ， 作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法； ，，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，图形的位似，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图，平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解决问题的关键，需要较强的分析能力． 33．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图①，在中，，，点D是上一点，且．动点F从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F为直角顶点，且点E与点B位于线段两侧．设点F的运动时间为t（秒）． AI   (1)求线段的长度； (2)当点E落在的中位线上时，求出t的值： (3)连接，则线段的最小值是______． (4)如图②．以点B为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t的值． 【答案】(1)15 (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）运用勾股定理求解即可； （2）如图，以点B为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，向右向上为正方向，以的长为1个单位长度，建立平面直角坐标系．可得，，，，，过点E作轴于点N，证明，得到，，从而．分别取各边的中点，得到的中位线，进而求得各中位线的解析式，把点E坐标代入中位线解析式中，求解即可； （3）根据两点间的距离公式得到，再根据二次函数的性质即可求解； （4）根据题意得到与的相似比为，从而有，进而用待定系数法求出直线的解析式中k的值，再分别求出直线，直线，直线的解析式中k的值，根据两条直线平行，直线解析式中k的值相等，即可求解． 【详解】（1）∵在中．，， ∴； （2）如图，以点B为原点，以所在直线为x轴，所在直线为y轴，向右向上为正方向，以的长为1个单位长度，建立平面直角坐标系．    ∵，， ∴ ∵，， 当点F运动t秒时，，， ∴，，，，， 过点E作轴于点N，则 ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ①如图，取的中点H，的中点G，则是的中位线，    ∴轴， ∵，，， ∴，， ∴线段的解析式为 若点在线段上， 则，即， 该不等式组无解， ∴点E不在中位线上； ②如图，取的中点G，的中点I，则是的中位线，    ∴轴， ∵，，， ∴，， ∴线段的解析式为 若点在线段上， 则，即， ∴当时，点E在中位线上； ③如图，取的中点H，的中点I，则是的中位线，    ∵，，， ∴，， 设线段的解析式为， ∴，解得， ∴线段的解析式为 若点在线段上， 则， 解得， ∴当时，点E在中位线上； 综上所述，当或时，点E落在的中位线上． （3）∵，， ∴， ∵， ∴当时，有最小值，为． 故答案为： （4）∵缩小后得到，且， ∴与的相似比为， ∵， ∴， 设经过点，的直线的解析式为， ∴，解得． 设经过，的直线的解析式为， ∴，解得． 设经过，的直线的解析式为， ∴，解得． 设经过，的直线的解析式为， ∴，解得． ①若，则，即， 解得， 经检验，是方程的解，且满足题意． ②若，则，即， 解得， 经检验，是方程的解， ∵， ∴． ③若，则，即， 解得或， 经检验，或是方程的解， ∵， ∴， 此时点F，位于点B，点E，在上，和在同一直线上． 综上所述，当或时，与的某条边平行． 【点睛】本题考查勾股定理，几何图形与函数，方程的应用，位似，综合运用相关知识，根据题意建立平面直角坐标系，运用函数的知识是解题的关键． 34．（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长； (2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）取的中点，然后顺次连接即可；根据勾股定理可得，，结合图形可知，故，取格点，使得，则有，连接，再取点，连接，此时可有，，即四边形为平行四边形，则有，易得，，所以，易得，连接，则平分四边形的周长； （2）取格点，，，使得，，，连接交于，易证明，所以，结合，可得，即为直角三角形，因为，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得；在网格中取点，连接交于点，则，过点作，交为点，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，四边形，线段即为所求； （2）如下图，，四边形即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键． 35．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）【问题背景】 人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少? 【提出问题】 在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？ 【分析问题】 小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题． 【解决问题】 为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究． 如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上． 请你完成下面两个问题： （1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小； （2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）． 【学以致用】 定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题： 在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？ 你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由． 【答案】解决问题：（1）图2的正方形边长更大，理由见详解；（2）见详解；学以致用：见详解 【分析】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N，设正方形边长为x，证明，根据相似三角形性质解得；过B作，交于K，交于H，设正方形边长为，证明，根据相似三角形性质解得．即可判断图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，再以为边作正方形即可； 学以致用：先画正方形，点、在、上，再作正方形以点为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径、和弧上即可． 【详解】解决问题：（1）过A作，交于M，交于N， ， ， 设正方形边长为x， 是正方形， ， ， ， ， 解得：； 过B作，交于K，交于H， 设正方形边长为， 是正方形， ， ， ．得． ∴图2的正方形边长更大． （2）先在上任取一点，过作的垂线，然后过作的垂线，然后以为圆心，以为半径画圆交垂线于，然后过作的垂线交于点，作出以为一边的正方形，连接并延长交于点，过点作的垂线交于点，再以为边作正方形即可； 如图，正方形即为所求． 学以致用： 以为圆心，以任意长度为半径画圆交、于，过作的垂线，以为圆心，以长度为半径画圆交垂线于，过作的垂线，然后过作的垂线，交于点，即可画出正方形，然后连接分别弧交于点，连接，分别过作的垂线交、于点，连接，即可作出正方形以点为位似中心的位似图形，它的四个顶点落在扇形半径、和弧上． 如图，正方形即为所求． 【点睛】该题主要考查了位似图形，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，尺规作图，等知识点，解题的关键是正确做出辅助线以及图象． 【经典例题八 相似三角形的模型问题】 36．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图①，在中，是边上的点，是边上的点，连结交于点，若，求的值． (1)猜想证明： 思路1：过点作交于点． 思路2：过点作交于点． 思路3：过点作分别交延长线于点、点． 请选择一种思路、写出解答过程． (2)类比探究： 如图②，在中，是边上的点，是边延长线上的点，连结交延长线于点．若，且面积为2，则四边形的面积为________． (3)延伸拓展： 如图③，在矩形中，分别为边上的点，，，与分别交于点．若，，则的长为________． 【答案】(1)选择思路1，过程见解析 (2) (3) 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，矩形的性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． （1）选择思路1：过点作交于点，根据相似三角形的判定得出，，再利用其性质求解即可； （2）连接，根据等高三角形计算面积得出面积为4，面积为，设的面积为，则的面积为，结合图形列出方程求解即可； （3）延长交于点M，利用矩形的性质及相似三角形的判定和性质得出，，，，继续利用相似三角形的判定和性质确定，延长交于点N，同理，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：选择思路1：过点作交于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图所示：连接， ∵，面积为2， ∴面积为4， ∴面积为， ∵， ∴面积为， 设的面积为，则的面积为， ∵， ∴的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴四边形的面积为：， 故答案为： （3）解：延长交于点M， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，, ∴， 故答案为：． 37．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，，且． (1)求证：； (2)如果，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）如图：与相交于点O，根据平行线分线段成比例定理，由得到，利用比例的性质得到， 进而得到，然后证明可得，最后根据同位角相等、两直线平行即可证明结论； （2）如图：过D点作交于N点，交于点M，易得四边形和四边形都为平行四边形，，所以，利用比例的性质得，接着利用得到，则可计算出，然后计算即可解答． 【详解】（1）证明：如图：与相交于点O， ∵， ， ， ． ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图：过D点作交于N点，交于点M， ∵， ∴， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴， ， ， ∵， ， ， ． 38．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在中，°，，点分别是的中点，连接．然后将绕点顺时针旋转，连接，直线与直线交于点． (1)如图1，在△旋转过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值； (2)如图2，当点在直线的上方时，连接，当时，求的值； (3)若，在△旋转过程中，当三点构成的三角形为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)不变， (2) (3)或或或 【分析】（1）由，，证明，则，然后作答即可； （2）由（1）可知，，则，如图2，作交于，使，证明，则，，即，可得，，，则，由勾股定理得，，计算求解即可； （3）由，可得，，，证明，由题意知，三点构成的三角形为直角三角形时，分，，，三种情况求解；当时，如图，由勾股定理得，，证明，则，即，可求，根据，计算求解即可；如图，，由勾股定理得，，同理，则，即，计算求解即可；当时，如图，由勾股定理可得，，证明四边形是矩形，则，根据，计算求解即可；如图，同理，，计算求解即可；当时，由题意知，此时不成立，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， ∴，即，， ∵，， ∴， ∴， ∴的值不变，值为； （2）解：由（1）可知，， ∴， 如图2，作交于，使， 又∵， ∴， ∴，，即， ∴，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的值为； （3）解：∵， ∴，，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 由题意知，三点构成的三角形为直角三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，如图， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 如图， ∴， 由勾股定理得，， 同理∴， ∴，即， 解得，； ∴的值为或； 当时，如图， 由勾股定理可得，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 如图， 同理，； ∴的值为或； 当时，由题意知，此时不成立， 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质等知识．熟练掌握旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质是解题的关键． 39．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）从特殊到一般，联系问题本质，是数学学习的重要方法． (1)如图1，矩形中，，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为，过点F作的垂线交于点G，求：的长； (2)如图2，矩形中，点E，F分别在上，点G，H分别在上且，求证：． (3)如图3，四边形中，，点M，N分别在边上，求：的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）由矩形对折知，，证明，则，即可求解； （2）过点作于，过点作于点，证明，则，即可求解； （3）过点作，交的延长线于，过点作，连接，证明和，再利用，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 又， ， 又， ， ，即， 解得：； （2）解：如图1，过点作于，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即； （3）解：如图，过点作，交的延长线于，过点作，连接， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （不合题意舍去），， ， 由（2）结论同理可得：． 【点睛】本题为四边形综合题，涉及到三角形全等和相似、勾股定理的运用、矩形的基本性质等，综合性强，难度适中，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 40．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在正方形中，为边上一动点，将沿折叠，得到，过点作直线，分别交于点． (1)如图①，求证：； (2)如图①，当时，若，求正方形的边长； (3)如图②，延长交边于点，连接交于点，当时，求出的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质可证，，结合相似三角形的判定即可求证； （2）根据题意可证四边形是矩形，可得，由（1）中，，可得，则有，由此可求出，在中，运用勾股定理可得的值，由此得到的值，根据即可求解； （3）根据题意可证，可得，，则有，，，，即点是的中点，设，，则，，，在中，由勾股定理可得，由此可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿折叠，得到，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据折叠可得，，， 由（1）得， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得，或（不符合题意，舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴正方形的边长为； （3）解：根据题意，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，且， ∴， ∴，即点是的中点，则， 设，，则，，， 在中，， ∴，整理得，， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边，勾股定理求线段长等知识的综合运用，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． 【经典例题九 相似三角形的综合】 41．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可． 【详解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 42．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【详解】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 43．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知中，AB=AC=m，BC=n，，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： 【问题发现】 小明研究了时，如图1，求出了___________，___________； 小红研究了时，如图2，求出了___________，___________； 【类比探究】 他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了； 【归纳总结】 最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)． （2）求出时的值和的度数． 【答案】（1）【问题发现】，60°；，45°；【类比探究】见（2）题的解析；【归纳总结】，；（2），30° 【分析】（1）当时，△ABC和△PDC都是等边三角形，可证△ACP∽△ECF，从而有，∠Q＝＝∠ACB＝60°；当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，同理可证△ACP∽△ECF即可解决，依此可得出规律； （2）当，可证，，从而有，由∠ECF＝∠ACP，可得△PCA∽△FCE即可解决问题． 【详解】（1）[问题发现]如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， 当时，△ABC和△PDC都是等边三角形， ∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝60°， 当时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形， 如图2，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB， ∵F、E分别是CD、BC的中点， ∴，， ∴， 又∵∠ACP＝∠ECF， ∴△ACP∽△ECF， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝45°， [归纳总结] 由此，可归纳出，＝∠ACB＝； （2）当，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q， ∵AB＝AC，E为BC的中点， ∴AE⊥BC，∠CAE＝60° ∴sin60°＝， 同理可得：， ∴， ∴， 又∵∠ECF＝∠ACP， ∴△PCA∽△FCE， ∴，∠CEF＝∠CAP， ∴∠Q＝＝∠ACB＝30°． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质，通过解决本题感受到：图形在变化但解决问题的方法不变，体会“变中不变”的思想． 44．（2020·安徽合肥·一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）DH＝1+ 【分析】（1）由平行线的性质可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可证△ABD≌△EDC，即可得出结论； （2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）先判断出MI∥BH，MI＝BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可； 【详解】（1）∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； （2）四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G， ∵CE∥AM， ∴四边形DMGE是平行四边形， ∴ED＝GM，且ED∥GM， 由（1）知，AB＝GM， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）如图3取线段CH的中点I，连接MI， ∵BM＝MC， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI∥BH，MI＝BH， ∵BH⊥AC，且BH＝AM， ∴MI＝AM，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°． 设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x， ∴AM＝6+2x， ∴BH＝6+2x， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DF∥AB， ∴， ∴ 解得x＝1+或1﹣（负值舍去）， ∴DH＝1+． 【点睛】本题考查的是全等三角形的证明，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，一元二次方程的求解，正确理解题意，掌握三角形的判定，平行四边形的判定和正确的做出图形，是解题的关键． 45．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 【经典例题十 相似三角形的新定义问题】 46．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中，， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 47．（2023·广东广州·一模）定义新概念、有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图①，等腰直角四边形，，． ①若，于点，求的长； ②若，，求的长； (2)如图②，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长． 【答案】(1)①；② (2)满足条件的的长为 【分析】（1）①根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出的值； ②连接、，交于点，过点C作，交于点E，证明垂直平分，得出，证明，得出，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案； （2）若，则，，推出四边形不是等腰直角四边形，不符合条件．若与不垂直，当时，此时四边形是等腰直角四边形，当时，此时四边形是等腰直角四边形，分别求解即可． 【详解】（1）解：①连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②连接、，交于点，过点C作，交于点E，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，，； 若时，如图所示： 则四边形和为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，； ∴四边形不可能是等腰直角四边形； 若与不垂直，当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时点F不在边上，不符合题意； 若与不垂直，当时，如图所示： 此时四边形是等腰直角四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的长为． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，作出辅助线，画出相应的图形，数形结合，注意分类讨论． 48．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知中，，， 判断是否为比例三角形． 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）是比例三角形；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能， 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念判断即可； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴ ∴是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①知， ，即． ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 49．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）定义：我们把有一组邻边相等，并且有一组对角为直角的四边形叫做等补四边形． (1)如图1，在的网格图中，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请画出两个符合条件的等补四边形，点也在格点上． (2)如图2，以菱形的一边为边向外作正方形，、分别是菱形和正方形的对角线交点，连结． ①求证：四边形是等补四边形． ②若，求四边形的面积． (3)如图3，在四边形中，，，，点在边上，，点在边上，四边形为等补四边形，现已知，求长度． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析 ②1 (3)或 【分析】（1）根据等补四边形的定义，结合勾股定理，画出图形即可； （2）①证明，即可； ②如图2中，过点作于点交的延长线于点．证明，推出，，推出四边形是正方形，可得； （3）如图3中，连接．首先证明四边形是平行四边形，推出，因为四边形是四边形为等补四边形，所以有两种可能：①或．②．分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1中，四边形即为所求． （2）①证明：如图2中， 四边形是菱形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 四边形是等补四边形； ②解：如图2中，过点作于点，交的延长线于点． ， 四边形是矩形， ， ， ，， （）， ，， 四边形是正方形， ； （3）解：如图3中，连接，． ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是四边形为等补四边形， 有两种可能：①或．②． 当或时， ，， ， ，， 垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图4中，连接，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 设，， 则，，， ， ， ， ， ， ， 整理得， ，， ， ， 综上所述，或． 时，或者 （3）∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ 设． ①当时， ②当时，等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴（负值舍去） 综上，或 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等补四边形的定义，菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 50．（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）已知等边，以为斜边向外作，定义为等边的“关联直角三角形”，连接交于点，下面我们来研究与的值有关的问题． (1)如图①，当“关联直角三角形”是等腰直角三角形时，的值为______； (2)如图②，当“关联直角三角形”是含的直角三角形时，求的值； (3)如图③，当“关联直角三角形”是一般的直角三角形时，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明，得出，，根据等腰三角形三线合一得出，，设，得出，求出，，最后得出答案即可； （2）根据含30度直角三角形的性质得出，求出，证明，得出； （3）过点作于点，过点作于点，连接，证明，得出，求出，根据勾股定理求出，，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∴，， ∴． （2）解：为等边三角形 ， ， 在中，， ， ， ，， ， ； （3）解：过点作于点，过点作于点，连接，如图所示： 为等边三角形， ， ， 为的中点， ， ， ， 又， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$