精品解析：四川省德阳市绵竹市南轩中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

南轩中学2023级高二上期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（是虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数除法化简复数，然后求出复数对应的点. 【详解】因为， 所以对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2. 体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（ ） A. 98 B. 99 C. 99.5 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据分位数的定义即可求得答案. 【详解】这组数据的60%分位数是. 3. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，∥，∥，则 B. 若⊂，⊂，∥，则∥ C. 若，∥，∥，则∥ D. 若，，∥，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用反例可判断A,B,D选项，根据线面平行的性质和判定定理可判断C选项. 【详解】如图，正方体中，记底面为平面，侧面为平面，为，为， 显然满足，∥，∥，但是此时，A不正确； 如图，满足⊂，⊂，∥，但是此时，B不正确； 因为，所以存在平面，使得，根据线面平行的性质定理可得， 所以，又因为，根据线面平行的判定定理可得， 而，所以，又因为，所以，C正确； 因为，，所以，因为，所以，D不正确. 故选：C. 4. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：A． 5. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个图，结合选项，即可判断. 【详解】由题图可知，快递行业从业人员中，“90后”占总人数的56%，超过一半，A正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过20%， 所以快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90”后的人数超过总人数的20%；B正确； 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为，超过“80前”的人数占总人数的百分比，C正确； 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数占总人数的百分比为22.176%，小于“80后”的人数占总人数的百分比，但“80后”从事技术岗位的人数占“80后”人数的比未知，D不一定正确． 故选：D 6. 在中，，，其面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形面积公式可得，由余弦定理得，结合正弦定理即可求解. 【详解】由题意知，，即，解得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理（为三角形外接圆半径），可得： ， 故选：C. 7. 如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题知该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作， 因为该电路正常工作为事件，则 ， 故选：A． 8. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.5 D. 中位数为3，方差为2.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误； 对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差， ∴平均数为2，方差为2.5时，一定没有出现点数6，故C正确； 对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为： 方差为，可以出现点数6，故D错误． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 10. 已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有两个相同的小球，标号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和小于4”，事件“抽取的两个小球标号之积为偶数”，事件“抽取的两个小球标号之积大于3”，则（ ） A. 事件A发生的概率为 B. 事件发生的概率为 C. 事件A，C是互斥事件 D. 事件B，C相互独立 【答案】AC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算可判断A，B；根据互斥事件的概念可判断C；根据独立事件的乘法公式可判断D. 【详解】对于A，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有种抽法， 其中事件包含的事件个数有共3个， 故事件A发生的概率为，A正确； 对于B，事件包含的事件个数有共4个， 故事件包含的事件个数有5个，则事件发生的概率为，B错误； 对于C，事件包含的事件为，每个事件中两个小球标号之积都不大于3， 故事件A，C不会同时发生，二者是互斥事件，C正确； 对于D，，事件包含的事件个数有共个，故, 事件包含的事件为，则, 则，即事件B，C不相互独立，D错误， 故选：AC 11. 如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线共面 B. C. 二面角的平面角余弦值为 D. 过点，，的平面，截正方体的截面面积为9 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A项，通过证明,说明直线共面；对于B项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C：作出二面角的平面角，计算其余弦值，可判断C；对于D项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可. 【详解】 对于A项，如图①，分别连接,在正方体中， 易得四边形是矩形,故有，又分别是棱的中点，则, 故,即可确定一个平面，故A项正确； 对于B项，如图②，,故B项正确； 对于C项，如图③，连接交于，， 平面,平面,所以， 又，，平面,平面， 所以平面,即是二面角的平面角， 又， 故，故C项正确； 对于D项，如图④，连接易得 因平面平面，则为过的平面与平面的一条截线， 即过点的平面即平面. 由，可得四边形为等腰梯形， 故其面积为：，故D项错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点．则与所成角的余弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得，从而利用向量的夹角公式求解. 【详解】依题意，建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， 则， 故， 所以， 即与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：. 故答案为： 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可. 【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 所以， 当时，最小，此时，为中点，则， 取的中点，连接，则， 因为，，所以，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 因为，， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值是， 所以平面与平面夹角的正弦值是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 【答案】 【解析】 【分析】两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率求法，即可得解． 【详解】设，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件， ，． ， 设 “两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥， 与， 与分别相互独立， 所以． 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是． 16. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 【答案】（1）83.3；84 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图计算可得x，再借助百分位数的定义与平均数定义计算即可得： （2）先借助分层随机抽样定义计算出从，，三层中抽取的人数，并给抽取出的人数进行编号，结合古典概型公式，计算出所有可能的样本空间数即符合要求的样本空间数即可得． 【小问1详解】 ，则， ；， 故40百分位数在层，则40百分位数为， 平均数； 【小问2详解】 因为按比例分配的分层随机抽样，故，，三层中抽取的样本量分别为： ，，， 从这6人中随机抽取两人，记中抽取的人编号为1，抽取的人编号为2、3，抽取的人编号为4、5、6， 记事件 “抽取的两人都及格” ， 所以； ，所以； ∴． 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面， 为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在等边中，因为 为的中点，所以， 在正方形 中，， 又因为平面平面 ，平面平面，所以平面， 因为平面，所以. 因为,平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接.证明是平面与平面 所成二面角的平面角.在中，由余弦定理即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接. 则，又正方形 中，，所以, 在等边中，因为为 的中点，所以. 因为平面平面 ，平面平面， 所以平面 ，因为平面 ，所以. 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，所以是平面与平面 所成二面角的平面角. 设，则， 所以. 【点睛】 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面⊥平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1） 取中点S，中点T，连接, 又E，F分别为，的中点， 则 , 又，则， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面. （2） 在△中，，， 由，可得， 由面⊥面，面面， ，面，可得面， 又面，则， 又，，面， 则面，又面， 则平面⊥平面； （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判断判定定理即可证得平面； （2）先利用线面垂直判定定理证得面，进而证得平面⊥平面； （3）先求得直线与平面所成角的正弦值，进而求得该角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接，△中，，则， 又面⊥面，面面，面， 则面，则为点P到面的距离， 又E为的中点，则点E到面的距离为， 又△中，，，， 则，，则点E到面的距离为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 又，则 则直线与平面所成角的大小为 19. 如图，在长方体中，，.为上一动点，记. （1）求线段的最小值； （2）当取最小值时，求三棱锥的体积； （3）当平面时，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标，以及模长公式，即可根据二次函数的性质求解最值， （2）利用等体积法，由体积公式即可求解， （3）求解平面法向量，即可根据向量垂直求解. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 因为， ,故， 则 ， 故当时，取得最小值. 【小问2详解】 取最小值时，，，则， 故 . 【小问3详解】 因为， 则，， 设平面的法向量为， 故且， 取，则， 由于平面时，故，即，解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南轩中学2023级高二上期第一次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（是虚数单位），则对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（ ） A. 98 B. 99 C. 99.5 D. 100 3. 设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，∥，∥，则 B. 若⊂，⊂，∥，则∥ C. 若，∥，∥，则∥ D. 若，，∥，则 4. 如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（ ） A. 快递行业从业人员中，“90后”占一半以上 B. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20% C. 快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多 D. 快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多 6. 在中，，，其面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A. 平均数为3，中位数为2 B. 中位数为3，众数为2 C. 平均数为2，方差为2.5 D. 中位数为3，方差为2.8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 10. 已知甲罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3；乙罐中有两个相同的小球，标号为1，2，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和小于4”，事件“抽取的两个小球标号之积为偶数”，事件“抽取的两个小球标号之积大于3”，则（ ） A. 事件A发生的概率为 B. 事件发生的概率为 C. 事件A，C是互斥事件 D. 事件B，C相互独立 11. 如图，棱长为2的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线共面 B. C. 二面角的平面角余弦值为 D. 过点，，的平面，截正方体的截面面积为9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点．则与所成角的余弦值为________． 13. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，每轮比赛甲、乙各射击一次，已知甲中靶的概率，乙中靶的概率为，每轮比赛中甲、乙两人射击的结果互不影响，若在一轮射击中，恰好有一人中靶的概率为，则___________. 14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 16. 某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从，，三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人．求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率． 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧面是等边三角形，平面平面， 为的中点. （1）求证：平面. （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面⊥底面，且，设E，F分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面⊥平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 19. 如图，在长方体中，，.为上一动点，记. （1）求线段的最小值； （2）当取最小值时，求三棱锥的体积； （3）当平面时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $