精品解析：吉林省长春市九台区2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年度第一学期阶段性教学质量监测 八年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为110分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. “4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，是无理数的为 （ ） A. 3.14 B. C. D. 3. 下列语句是命题的是（ ） A. 延长线段到C B. 用量角器画 C. 三角形的内角和是 D. 任意数的平方都不小于0吗？ 4. 与的公因式是（ ） A. B. 4mm C. 2mn2 D. 5. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 7. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 下列各图中，能直观解释“”的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 已知，则_________． 10. 若是一个完全平方式，则______． 11. 若，则的值为___________． 12. 观察下图两个多项式相乘的运算过程，若，根据你发现的规律，则a，b的值可能分别是________． 13. 如图，，过点作，垂足为，若，则的度数为________度． 14. 如图，与交于点P，，从以下四个选项①，②，③，④中选择一个作为条件，使，符合条件的有________（填序号） 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算 （1）； （2）． 16. 因式分解 （1） （2） 17. 已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分．求的平方根． 18. 按要求解答 （1）（用简便方法计算） （2）先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，求证：； 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求： （1）在图①中画一个使它与全等． （2）在图②中画一个使它与全等． （3）在图③中不同于（2）一个使它与全等． 21. 阅读材料：若，求，的值． 解：∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的最大边的值． 22. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨的B，C点固定不动，且到点A的距离． （1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，且，若，，求的度数． 23. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 24. 点C是直线l1上一点,在同一平面内,把一个等腰直角三角板ABC任意摆放,其中直角顶点C与点C重合,过点A作直线l2⊥l1,垂足为点M,过点B作l3⊥l1,垂足为点N （1）当直线l2,l3位于点C的异侧时,如图1,线段BN,AM与MN之间的数量关系________(不必说明理由)； （2）当直线l2,l3位于点C的右侧时,如图2,判断线段BN,AM与MN之间的数量关系,并说明理由； （3）当直线l2,l3位于点C的左侧时,如图3,请你补全图形,并直接写出线段BN,AM与MN之间的数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段性教学质量监测 八年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页．满分120分，考试时间为110分钟．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分） 1. “4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，是基础概念题，熟记概念是解题的关键． 2. 下列实数中，是无理数的为 （ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的三种形式找出无理数的选项． 【详解】3.14是有理数，是有理数， =3， 无理数为. 故答案选C. 【点睛】本题考查了无理数的知识点，解题的关键是熟练的掌握无理数的性质. 3. 下列语句是命题的是（ ） A. 延长线段到C B. 用量角器画 C. 三角形的内角和是 D. 任意数的平方都不小于0吗？ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、延长线段到，没有做出判断，不是命题； B、用量角器画，没有做出判断，不是命题； C、三角形的内角和是，做出了判断，是命题； D、任意数的平方都不小于0吗？没有做出判断，不是命题； 故选：C． 4. 与的公因式是（ ） A. B. 4mm C. 2mn2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据公因式的定义：多项式各项都含有的相同因式叫做公因式，进行求解即可 【详解】解：与的公因式是2mn2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了公因式，熟知公因式的定义是解题的关键． 5. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，如果选项满足平方差公式进行因式分解：两数的平方差等于两数的和与两数的差的乘积，则该选项即为符合题意，进行作答． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； C、，不能用平方差公式分解因式，故该选项不符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，故该选项符合题意； 故选：D 6. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两点确定一条直线 D. 两点之间线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵点O为、的中点， ∴ ∵， ∴； ∴； ∴依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选B． 7. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是4， 即大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键． 8. 下列各图中，能直观解释“”的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方计算，掌握数形结合的思想求解是解题的关键；’根据长方形和正方形的面积计算公式逐项判断即可． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，不符合题意； D：，符合题意． 故选：D ． 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9. 已知，则_________． 【答案】1.01 【解析】 【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可． 【详解】解：， ； 故答案为：1.01． 【点睛】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键． 10. 若是一个完全平方式，则______． 【答案】± 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：∵＝， ∴﹣kx＝±2×x×， 解得k＝±． 故答案为：±． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 11. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法、幂的乘方，根据题意可知，据此即可求得答案． 【详解】 故答案为： 12. 观察下图两个多项式相乘的运算过程，若，根据你发现的规律，则a，b的值可能分别是________． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出、． 【详解】解：根据题意，知：，， ，的值可能分别是，， 故答案为：和 13. 如图，，过点作，垂足为，若，则的度数为________度． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和垂线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．根据全等三角形的性质得出，可得，根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：35． 14. 如图，与交于点P，，从以下四个选项①，②，③，④中选择一个作为条件，使，符合条件的有________（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握各全等三角形的判定定理是解题的关键．①当添加后可根据全等三角形的判定定理证出，①可以；②当添加后可根据全等三角形的判定定理证出，②可以；③当添加后，利用不能证出，③不可以；④根据即可找出，再根据全等三角形的判定定理即可证出，④可以．综上即可得出结论． 【详解】解：①在和中， ， ， 故①符合条件； ②在和中， ， ， 故②符合条件； ③在和中，、、不满足全等三角形的判定定理的条件， 添上不能证出， 故③不符合条件； ④， ． 在和中， ， 故④符合条件． 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共78分） 15. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求算术平方根，立方根，然后进行加减运算即可； （2）先计算积的乘方，然后进行除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，积的乘方，单项式除以单项式．熟练掌握算术平方根，立方根，积的乘方，单项式除以单项式是解题的关键． 16. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法因式分解是解题的关键． （1）用提取公因式的方法因式分解即可； （2）先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分．求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根、算术平方根和平方根的定义，无理数的估算．掌握其基本知识点是解题的关键．利用立方根的定义、算术平方根的定义求出、的值，利用无理数的估算方法求出的值．将、、的值代入代数式求值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：的立方根是2，的算术平方根是4， ， 解得， ，即，是的整数部分， ． ， 的平方根是． 18. 按要求解答 （1）（用简便方法计算） （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，二次根式，熟练掌握，是解题的关键． （1）将进行变形，用平方差公式计算，再进行加减计算即可； （2）根据完全平方式进行化简，再合并同类项，最后代入计算求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 当时，原式． 19. 如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，求证：； 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据得到，然后利用判定定理证明即可． 【详解】略 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求： （1）在图①中画一个使它与全等． （2）在图②中画一个使它与全等． （3）在图③中不同于（2）一个使它与全等． 【答案】（1） 解：如图，或即为所求； （2） 解：如图，即为所求； （3） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图——应用与设计作图、全等三角形的判定： （1）在方格中找到满足，的格点，或满足，的格点即可； （2）在方格中找到满足，的格点即可； （3）在方格中找到点B关于的对称点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 阅读材料：若，求，的值． 解：∵， ∴ ∴， ∴，， ∴，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长，，都是正整数，且满足，求的最大边的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）先配方，再根据非负性直接求解即可得到答案； （2）先配方根据非负性直接求出，，再根据三边关系及正整数即求出可最大边． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， ∵，， ∴， ∴，， 根据三角形三边关系可得， ， ∴的最大边的值为：． 【点睛】本题考查非负式子应用及三角形三边关系，解题的关键是配方及利用非负式子和为0它们分别等于0求解． 22. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨的B，C点固定不动，且到点A的距离． （1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，且，若，，求的度数． 【答案】（1） 相等．理由如下： 伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ． 在和中， ， ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键． （1）根据题意可得，即可根据证明，即可得出； （2）先由等腰三角形的性质求出，又由，可得，由得出，从而得出，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 又， ， ， ， ， ， ． 23. 两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】（1）S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）40；（3）15 【解析】 【分析】（1）用边长为a的正方形的面积减去边长为b的正方形的面积即为S1，用边长为a的正方形的面积减去一个边长分别为a、（a－b）的长方形的面积再减去两个边长分别为b、（a－b）的长方形的面积即为S2，据此解答即可； （2）先计算S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，再将a+b＝10，ab＝20整体代入计算即可； （3）先计算S3＝（a2+b2﹣ab），然后由S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2， S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣2b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝20， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝×30＝15． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及相关图形面积的计算，属于常见题型，熟练掌握完全平方公式及其变形、灵活应用整体思想是解题关键． 24. 点C是直线l1上一点,在同一平面内,把一个等腰直角三角板ABC任意摆放,其中直角顶点C与点C重合,过点A作直线l2⊥l1,垂足为点M,过点B作l3⊥l1,垂足为点N （1）当直线l2,l3位于点C的异侧时,如图1,线段BN,AM与MN之间的数量关系________(不必说明理由)； （2）当直线l2,l3位于点C的右侧时,如图2,判断线段BN,AM与MN之间的数量关系,并说明理由； （3）当直线l2,l3位于点C的左侧时,如图3,请你补全图形,并直接写出线段BN,AM与MN之间的数量关系. 【答案】（1）MN=AM+BN （2） 解：MN=BN-AM 理由如下：如图2. 因为l2⊥l1，l3⊥l1 所以∠BNC=∠CMA=90° 所以∠ACM+∠CAM=90° 因为∠ACB=90° 所以∠ACM+∠BCN=90° 所以∠CAM=∠BCN 又因为CA=CB 所以△CBN≌△ACM（AAS） 所以BN=CM，NC=AM 所以MN=CM﹣CN=BN﹣AM （3） 补全图形，如图3；MN=AM﹣BN 【解析】 【分析】（1）利用AAS定理证明△NBC≌△MCA，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （2）根据直角三角形的性质得到∠CAM=∠BCN，证明△NBC≌△MCA，根据全等三角形的性质、结合图形解答； （3）根据题意画出图形，仿照（2）的作法证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结论：MN=AM﹣BN 由（2）得，△CBN≌△ACM（AAS） ∴BN=CM，NC=AM 结论：MN=CN-CM=AM-BN． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $