第21章 一元二次方程 单元检测卷-2024-2025学年人教版九年级数学上册

第21章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 2．（2024秋•东城区校级月考）关于x的一元二次方程2x2+bx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．实数根的个数由b的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．（2023秋•旌阳区期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定 4．（2024春•鹿城区校级期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（　　） A． B． C．x（x﹣1）+x＝2304 D．x（x﹣1）＝2304 5．（2024秋•裕华区校级月考）嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是﹣1和﹣5；琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2．则正确的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣5x+5＝0 D．x2+6x+6＝0 6．（2024秋•阿荣旗校级月考）如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为x m，则x应满足的方程是（　　） A．（40﹣x）（70﹣x）＝350 B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450 C．（40﹣2x）（70﹣3x）＝350 D．（40﹣x）（70﹣x）＝2150 二．填空题（共8小题） 7．（2023秋•宣汉县期末）已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 　 　． 8．（2024•常州二模）已知m为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣m2+3m﹣6的值是 　 　． 9．（2024秋•建邺区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c都为有理数）的一个解是x1＝4﹣2，则方程的另一个解是 　 　． 10．（2024秋•东昌府区校级月考）参加会议的人两两彼此握手，一共握了55次手，那么一共有　 　人参加会议． 11．（2024秋•永寿县校级月考）一元二次方程（x﹣1）2＝x+2的一般形式为 　 　．（二次项的系数为正数） 12．（2024秋•即墨区校级月考）如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为18m的住房墙，另外三边用45m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出1m安装木门．若要使羊圈的面积为224m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为 　 　． 13．（2024秋•临湘市校级月考）《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　 　． 14．（2024秋•裕华区校级月考）若关于x的一元二次方程（m+4）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　 　． 三．解答题（共6小题） 15．（2024秋•榆次区校级月考）解下列方程： （1）（2x+5）（x﹣6）＝0； （2）2x2﹣4x﹣3＝0； （3）（2x+3）2＝（3x+2）2； （4）3y2﹣6y﹣5＝0（用配方法求解）． 16．（2024秋•双峰县月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ （2）如果方程有一个根是﹣1，那么a、b、c之间有什么关系？ （3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 17．（2024秋•兴庆区校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0． （1）试判断该方程根的情况； （2）若a，b是该方程的两个实数根，化简并求下面式子的值：． 18．（2024秋•德州月考）小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法． 如：解方程x（x+4）＝6 解：原方程可变形为[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6 ∴（x+2）2﹣22＝6， ∴（x+2）2＝10 直接开平方整理得：； 我们称小明的这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程． 解：原方程变形为[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5 ∴（x+a）2﹣b2＝5， ∴（x+a）2＝5+b2 直接开平方整理得：x1＝c；x2＝d 上述过程中的a＝　 　；b＝　 　；c＝　 　；d＝　 　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6． 19．（2024秋•增城区校级月考）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2018年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房，2020年计划投资9亿元人民币建设廉租房，若每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）请问2021年建设廉租房投资多少亿？ 20．（2024秋•海州区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？ 第21章一元二次方程检测卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0 【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意； B．方程x2+3＝是分式方程，选项B不符合题意； C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意； D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意． 故选：D． 2．（2024秋•东城区校级月考）关于x的一元二次方程2x2+bx﹣1＝0的根的情况是（　　） A．实数根的个数由b的值确定 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【解答】解：由题知， Δ＝b2﹣4×2×（﹣1）＝b2+8≥8＞0， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．（2023秋•旌阳区期末）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝1，则a+b+c的值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．不能确定 【解答】解：把x＝1代入方程得：a+b+c＝0， 故选：A． 4．（2024春•鹿城区校级期中）王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（　　） A． B． C．x（x﹣1）+x＝2304 D．x（x﹣1）＝2304 【解答】解：根据题意，王老师共赠送了x张签名卡，同学之间共赠送了x（x﹣1）张签名卡， ∴x（x﹣1）+x＝2304； 故选：C． 5．（2024秋•裕华区校级月考）嘉嘉和琪琪一起写作业，在解一道一元二次方程时，嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是﹣1和﹣5；琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2．则正确的方程是（　　） A．x2+6x+5＝0 B．x2﹣5x+6＝0 C．x2﹣5x+5＝0 D．x2+6x+6＝0 【解答】解：∵嘉嘉在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是﹣1和﹣5， ∴两根之和﹣＝﹣1+（﹣5）＝﹣6， ∴当a＝1时，b＝6； ∵琪琪在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是3和2， ∴两根之积＝﹣1×（﹣5）＝5， ∴当a＝1时，c＝5， ∴正确的方程是x2+6x+5＝0． 故选：A． 6．（2024秋•阿荣旗校级月考）如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，若设路宽为x m，则x应满足的方程是（　　） A．（40﹣x）（70﹣x）＝350 B．（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450 C．（40﹣2x）（70﹣3x）＝350 D．（40﹣x）（70﹣x）＝2150 【解答】解：∵设路宽为x m，所剩下的观赏面积的宽为（40﹣2x）m，长为（70﹣3x）m，要使观赏路面积占总面积， ∴， 即（40﹣2x）（70﹣3x）＝2450． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 7．（2023秋•宣汉县期末）已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 　﹣1　． 【解答】解：当a+1＝0时，原方程为﹣2x+3＝0，解得x＝， ∴a＝﹣1符合题意； 当a+1≠0时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（a+1）×3≥0， 解得：a≤﹣， ∴a≤﹣且a≠﹣1． 综上所述，a≤﹣． 又∵a为整数， ∴a的最大值为﹣1． 故答案为：﹣1． 8．（2024•常州二模）已知m为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣m2+3m﹣6的值是 　﹣12　． 【解答】解：∵m为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根， ∴m2﹣3m＝6， ∴﹣m2+3m﹣6＝﹣（m2﹣3m）﹣6＝﹣6﹣6＝﹣12． 故答案为：﹣12． 9．（2024秋•建邺区校级期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c都为有理数）的一个解是x1＝4﹣2，则方程的另一个解是 　　． 【解答】解：设方程的另一个根为x2， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0中，a、b、c是有理数， ∴、都是有理数， ∴x1+x2，x1•x2均是有理数， ∵方程的一个根是， ∴方程的另一个根是， 故答案为：． 10．（2024秋•东昌府区校级月考）参加会议的人两两彼此握手，一共握了55次手，那么一共有　11　人参加会议． 【解答】解：设一共有x人参加会议， 则x（x﹣1）＝55， 解得x1＝11，x2＝﹣10（不合题意舍去）； 答：一共有11人． 故答案为：11． 11．（2024秋•永寿县校级月考）一元二次方程（x﹣1）2＝x+2的一般形式为 　x2﹣3x﹣1＝0　．（二次项的系数为正数） 【解答】解：∵（x﹣1）2＝x+2， ∴x2﹣2x+1＝x+2， ∴x2﹣2x+1﹣x﹣2＝0， ∴x2﹣3x﹣1＝0， ∴一元二次方程（x﹣1）2＝x+2的一般形式为x2﹣3x﹣1＝0． 故答案为：x2﹣3x﹣1＝0． 12．（2024秋•即墨区校级月考）如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为18m的住房墙，另外三边用45m长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出1m安装木门．若要使羊圈的面积为224m2，则所围矩形与墙垂直的一边长为 　16m　． 【解答】解：设所围矩形与墙垂直的一边长为x m， 根据题意，得x（45+1﹣2x）＝224， 解得x1＝7，x2＝16， 当x＝7时，45+1﹣2x＝32＞18，不符题意，舍去， 当x＝16时，45+1﹣2x＝14＜18，符合题意， ∴所围矩形与墙垂直的一边长为16m， 故答案为：16m． 13．（2024秋•临湘市校级月考）《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，由题意，可列方程为 　x（x+12）＝864　． 【解答】解：∵矩形的宽为x步，且宽比长少12步， ∴矩形的长为（x+12）步． 依题意，得：x（x+12）＝864． 故答案为：x（x+12）＝864． 14．（2024秋•裕华区校级月考）若关于x的一元二次方程（m+4）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 　m＜0且m≠﹣4　． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+4）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0且m+4≠0，即（﹣4）2﹣4（m+4）＞0且m≠﹣4， 解得m＜0且m≠﹣4， 故答案为：m＜0且m≠﹣4． 三．解答题（共6小题） 15．（2024秋•榆次区校级月考）解下列方程： （1）（2x+5）（x﹣6）＝0； （2）2x2﹣4x﹣3＝0； （3）（2x+3）2＝（3x+2）2； （4）3y2﹣6y﹣5＝0（用配方法求解）． 【解答】解：（1）由题意得2x+5＝0或x﹣6＝0， ∴，x2＝6； （2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣3）＝40＞0， ∴， ∴，； （3）开方得2x+3＝±（3x+2）， 即2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣（3x+2）， ∴x1＝1，x2＝﹣1； （4）∵3y2﹣6y﹣5＝0， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，． 16．（2024秋•双峰县月考）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． （1）如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ （2）如果方程有一个根是﹣1，那么a、b、c之间有什么关系？ （3）如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 【解答】解：（1）将x＝1代入原方程得：a×1+b×1+c＝0， 即a+b+c＝0； （2）将x＝﹣1代入原方程得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝0， 即a﹣b+c＝0； （3）将x＝0代入原方程可得：a×0+b×0+c＝0， ∴c＝0． 17．（2024秋•兴庆区校级月考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0． （1）试判断该方程根的情况； （2）若a，b是该方程的两个实数根，化简并求下面式子的值：． 【解答】解：（1）∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵a，b是该方程的两个实数根， ∴a+b＝3，ab＝2， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； ∵a+b＝3， ∴原式＝． 18．（2024秋•德州月考）小明在解一元二次方程时，发现这样一种解法． 如：解方程x（x+4）＝6 解：原方程可变形为[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6 ∴（x+2）2﹣22＝6， ∴（x+2）2＝10 直接开平方整理得：； 我们称小明的这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程． 解：原方程变形为[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5 ∴（x+a）2﹣b2＝5， ∴（x+a）2＝5+b2 直接开平方整理得：x1＝c；x2＝d 上述过程中的a＝　5　；b＝　2　；c＝　﹣2　；d＝　﹣8　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6． 【解答】解：（1）原方程可变形为[（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5， ∴（x+5）2﹣22＝5， ∴（x+5）2＝9， ∴直接开平方整理得：x1＝﹣2；x2＝﹣8， ∴a＝5，b＝2，c＝﹣2，d＝﹣8． 故答案为：5，2，﹣2，﹣8． （2）（x﹣5）（x+3）＝6， 原方程可变形为[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6， ∴（x﹣1）2﹣42＝6， ∴（x﹣1）2＝22， ∴直接开平方整理得：； 19．（2024秋•增城区校级月考）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2018年市政府共投资4亿元人民币建设了廉租房，2020年计划投资9亿元人民币建设廉租房，若每年投资的增长率相同． （1）求每年市政府投资的增长率； （2）请问2021年建设廉租房投资多少亿？ 【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x， 根据题意，得：4（1+x）2＝9， 解得x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（舍去）， 答：每年市政府投资的增长率为50%； （2）2021年建设廉租房投资9（1+50%）＝13.5（亿元）， 所以2021年建设廉租房投资13.5亿元， 答：2021年建设廉租房投资13.5亿元． 20．（2024秋•海州区校级月考）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？ 【解答】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2， 则AP＝x cm，BQ＝2x cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（6﹣x）cm， ∵∠B＝90°， ∴， 即， 解得：x＝2或x＝4， 答：经过2秒或4秒，使△PBQ的面积等于8cm2； （2）①点P在线段AB上，点Q在线段BC中， 设经过y秒，△PBQ的面积为1cm2，0＜y≤4， 依题意得：AP＝y cm，CQ＝2y cm， ∵AB＝6cm，BC＝8cm， ∴PB＝（6﹣y）cm，BQ＝（8﹣2y）cm， 由题意得：， 即， 解得：（舍去）或， 故符合题意； ②点P在线段AB上，点Q在CB的延长线上， 设经过m秒，△PBQ的面积为1cm2，4＜m≤6， 依题意得：AP＝m cm，CQ＝2m cm， ∵AB＝6cm，BC＝8cm， ∴PB＝（6﹣m）cm，BQ＝（2m﹣8）cm， 由题意得：， 即， 解得：m＝5（符合题意）； ③点P在AB延长线上，点Q在CB的延长线上， 设经过n秒，△PBQ的面积为1cm2，n＞6， 依题意得：AP＝n cm，CQ＝2n cm， ∵AB＝6cm，BC＝8cm， ∴PB＝（n﹣6）cm，BQ＝（2n﹣8）cm， 由题意得：，即， 解得：或（舍去）， 故（符合题意）； 答：经过秒或5秒或秒后△PBQ的面积为1cm2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$