精品解析：山西省阳泉市矿区多校2024-2025学年八年级上学期期中测试数学试卷

2023-2024学年第一学期期中学业水平质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 第届亚洲运动会开幕式上，从良渚文明“走”来的玉琮、玉鸟、神徽、古城，中国江南的油纸伞、乌篷船、小桥流水，泰姬陵、鱼尾狮像等亚洲国家和地区的地标，共同绘成一幅各美其美、美美与共的亚洲画卷．下列地标的简图中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 正多边形的每个内角都是，则它的边数是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 5. 如图，已知平分，，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 6. 已知点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 7. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 某校“综合与实践”小组的同学测量水池宽度的方案如下：如图，先在的垂线上取两点，，使，再过点画出的垂线．当点，，在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是，两点间的距离．其中判定的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 10. 如图，在中，是的角平分线，，分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 12. 两个锐角分别相等的直角三角形_____全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 13. 若等腰三角形的一个内角为，则底角为__________． 14. 如图，折叠直角三角形纸片，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是_____． 15. 窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 17. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，，求证：． 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）的面积为______； （2）画出关于轴对称的，并直接写出点，，的坐标． 19. 如图，，分别是的高和角平分线，若，，求和的度数． 20. 如图，在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）． 小文解决这一问题的思路如下： 根据“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，可分别作，的垂直平分线交于点；连接，，．沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形小纸片． 任务： （1）请根据小文的思路作，的垂直平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，，直接写出得到的三个等腰三角形相应顶角的度数． 21. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离． （1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数． 22. 学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好地理解和运用相关定理或结论．课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小颖受此启发给出如下证明过程： 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：如图，延长至点，使． 因为，所以垂直平分． 所以． 因为，，所以． 所以是等边三角形． 所以，即． 独立思考： （1）如图①，在中，，，作边上的中线，请判断： ①的形状； ②与的数量关系． 合作交流： （2）如图②，在（1）的基础上，是边上任意一点，连接，作等边三角形，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并证明． 23. 综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． （1）【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； （2）【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； （3）【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第一学期期中学业水平质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 第届亚洲运动会开幕式上，从良渚文明“走”来的玉琮、玉鸟、神徽、古城，中国江南的油纸伞、乌篷船、小桥流水，泰姬陵、鱼尾狮像等亚洲国家和地区的地标，共同绘成一幅各美其美、美美与共的亚洲画卷．下列地标的简图中不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的判断，理解轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】根据轴对称图形的定义可知，都是轴对称图形，不是， 故选：． 2. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能构成三角形； 、∵， ∴不能构成三角形； 、∵， ∴不能构成三角形； 、∵， ∴能构成三角形； 故选：． 3. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理等知识；由三角形内角和可求得的度数，再由全等三角形的性质即可得． 【详解】解：∵，， ∴； ∵， ∴； 故选：B． 4. 正多边形的每个内角都是，则它的边数是（ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形性质及三角形外角和定理：三角形外角和为；由正多边形的每个内角为，可求得每个外角为，再由外角和为可求得边数． 【详解】解：∵正多边形的每个内角都是， ∴正多边形的每个外角为， ∴正多边形的边数为：； 故选：A． 5. 如图，已知平分，，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等角对等边，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6. 已知点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标关于坐标轴对称的知识，解题的关键是掌握两点关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数．根据“关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数”建立等式求出、的值，即可解题． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ， 故选：C． 7. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理．根据题意可得，，据此根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、添加条件，结合，，不可利用证明，故此选项符合题意； B、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； D、添加条件，结合，，可利用证明，故此选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，在中，，是的角平分线，过点作，垂足为，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而可排除选项． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴，故A选项正确； ∴， ∴，故B选项正确； ∵， ∴， ∴，故C选项正确； 而D选项当时，才一定成立，所以D选项是不一定成立的； 故选D． 9. 某校“综合与实践”小组的同学测量水池宽度的方案如下：如图，先在的垂线上取两点，，使，再过点画出的垂线．当点，，在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是，两点间的距离．其中判定的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用．结合图形根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，是的角平分线，，分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当的值最小时，的度数为． 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 12. 两个锐角分别相等的直角三角形_____全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”） 【答案】不一定 【解析】 【分析】根据直角三角形全等的判定定理判断即可． 【详解】解：当还有一条边对应相等时，两直角三角形全等， 当三角形的边不相等时，两直角三角形不全等， 即两个锐角分别相等的直角三角形不一定全等， 故答案为：不一定． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 13. 若等腰三角形的一个内角为，则底角为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为时；当等腰三角形的底角为时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的角为底角时，它的底角为：， 当等腰三角形的顶角为时，它的底角为：； 综上所述：则它的底角为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 14. 如图，折叠直角三角形纸片，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是_____． 【答案】8 【解析】 【分析】由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3DC，于是可求得DE=8． 【详解】由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°， ∵∠BED+∠DEA=180°， ∴∠BED=90°． 又∵∠B=30°， ∴BD=2DE． ∴BC=3ED=24． ∴DE=8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、含30°直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键． 15. 窗棂是中国传统文化的一种元素，山西省晋中市常家庄园窗棂常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则______． 【答案】336 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和，邻补角定义，先根据多边形外角和为，求出，然后求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：336． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 已知一个多边形内角和比其外角和的2倍多，求这个多边形的边数． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和公式与外角和公式，熟练掌握公式是解决本题的关键． 先求出多边形的内角和，再由多边形的内角和公式即可求解边数． 【详解】解：由题意得，多边形的内角和为， ∴ 边数为． 17. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角度和差，线段和差，先由角度和差，线段和差得出，，再通过证明即可求证，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解题的关键． 【详解】略 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）的面积为______； （2）画出关于轴对称的，并直接写出点，，的坐标． 【答案】（1）3 （2） 如图1所示，为所求作； 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查图形与坐标—轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称是解题的关键； （1）根据图形及三角形面积公式可进行求解； （2）分别求出点A、B、C关于y轴的对称点，然后问题可求解 【小问1详解】 解：由图可得：； 故答案为3； 【小问2详解】 解：由图可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 19. 如图，，分别是的高和角平分线，若，，求和的度数． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查的是与角平分线相关的三角形的内角和问题，三角形的高的含义，先求得，再结合角平分线可得，由三角形高的含义可得，再进一步可得答案． 【详解】解：在中， ， 又，， ． 平分， ． 是的高， ． ． ． 20. 如图，在等腰三角形纸片中，，．现要将其剪成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）． 小文解决这一问题的思路如下： 根据“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”，可分别作，的垂直平分线交于点；连接，，．沿线段，，剪开，即可得到三个等腰三角形小纸片． 任务： （1）请根据小文的思路作，的垂直平分线交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，，，直接写出得到的三个等腰三角形相应顶角的度数． 【答案】（1） 解：所作图形如下图所示： （2）等腰的顶角度数为，等腰的顶角度数为，等腰的顶角度数为． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法画出，的垂直平分线，即可解题； （2）结合线段垂直平分线性质，证明，结合全等三角形性质，等腰三角形性质，以及三角形内角和求出，，，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，的垂直平分线交于点，连接，，， 有， ， ， ， ， ， ， ， 等腰的顶角度数为，等腰的顶角度数为，等腰的顶角度数为． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的作图和性质定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等，全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 21. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离． （1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由． （2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数． 【答案】（1） 相等．理由如下： ∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴． 在和中， ∵， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键． （1）根据题意可得，即可根据证明，即可得出； （2）先求出．再根据三角形的外角定理得出．最后根据全等三角形对应角相等，即可得出 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 22. 学习不仅要知其然，更要知其所以然，追本溯源可以帮助我们更好地理解和运用相关定理或结论．课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小颖受此启发给出如下证明过程： 已知：如图，在中，，． 求证：． 证明：如图，延长至点，使． 因为，所以垂直平分． 所以． 因为，，所以． 所以是等边三角形． 所以，即． 独立思考： （1）如图①，在中，，，作边上的中线，请判断： ①的形状； ②与的数量关系． 合作交流： （2）如图②，在（1）的基础上，是边上任意一点，连接，作等边三角形，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并证明． 【答案】（1）①是等边三角形； ②； （2）．证明如下： 如图3，连接． ∵，都是等边三角形， ∴． ∴， 即． 在和中， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，根据30度角的直角三角形的性质和为边上的中线可得，进而可得结论； ②根据等边三角形的性质和即可证得结论； （2）连接，根据等边三角形的性质可证得，可得，进而可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质和等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）①是等边三角形．理由如下： ∵， ∴，． ∵为边上的中线， ∴． ∴． 又， ∴是等边三角形． ②．理由如下： 由①，得是等边三角形． ∴． ∵为边上的中线， ∴． ∴． （2）略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅助线、证明三角形全等是解题的关键． 23. 综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图①，OA表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点A，B，O，C在同一平面上），过点C作于点E． （1）【初步探究】请你探究线段之间的数量关系； （2）【全等模型】如图②，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D，E，则之间的数量关系为 ； （3）【类比探究】如图③，在中，，直线经过点A，E，D，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵， ∴； （2） （3） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形对应边相等即可得到结论； （2）证明，则，，即可得到； （3）证明，则，，由即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 即， 故答案为：； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $