精品解析：期中模拟试卷（第二十一章 一元二次方程～第二十三章 旋转）2024-2025学年人教版九年级数学上册

期中模拟试卷（第二十一章 一元二次方程~第二十三章 旋转）2024-2025学年人教版九年级数学上册 时间：90分钟，满分：100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是一元二次方程的根，则k的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 的解为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A B. C. D. 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 最高点的坐标为 C. 经过点 D. 与y轴的交点坐标为 7. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在AC延长线上，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法错误的是（ ） A. B. 函数的最小值是 C. 当时，随的增大而增大 D. 和3是方程的两个根 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 当______时是二次函数 12. 已知点与点关于原点对称，则的值等于 _____． 13. 二次函数的顶点坐标是________． 14. 已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成_______． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _____________． 16. 如图，一次函数（）与二次函数（）图象分别交于点，．则关于x的方程的解为__________． 三、计算题（共8分） 17. 解下列方程： （1）； （2）. 四、作图题（共4分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 五、解答题（共46分） 19. 已知：关于x的方程． （1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围； （2）若两实数根、满足，求m的值． 20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若，当时，求的取值范围； （2）已知点，，都在该抛物线上，若，求取值范围． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 22. 某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． （1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？ （2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 23. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，求时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟试卷（第二十一章 一元二次方程~第二十三章 旋转）2024-2025学年人教版九年级数学上册 时间：90分钟，满分：100分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：根据题意可得： 是中心对称图形的是“”， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 2. 已知是一元二次方程的根，则k的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，然后解关于k的方程即可． 【详解】把代入，得 ， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解决此题的关键是计算的正确性． 3. 的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法解方程即可得出答案． 【详解】解：， ， 或， ，． 故选：C． 4. 关于的一元二次方程有两个实数根，的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与方程根的个数之间的关系，掌握此关系是解题的关键． 根据题意得到关于k的不等式，解不等式，同时，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， 且． 故选：C． 5. 已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，然后再整体代入即可解答． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选D． 6. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 最高点的坐标为 C. 经过点 D. 与y轴的交点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线解析式可求得对称轴、顶点坐标，从而可判断A和B；把代入解析式可判断C；令可判断D． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ， ∴A错误，不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴最低点的坐标为，B错误，不符合题意； 当时，，故C错误，不符合题意； 当时，，故与y轴交点坐标为，选项D正确，符合题意； 故选：D． 7. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 8. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．分别代入到求出、、的值，再比较大小即可得出结论． 【详解】解：代入到得，， ， 同理可得：，， ， ． 故选：B． 9. 如图，在中，，将绕点B逆时针旋转，得到，点D恰好落在AC的延长线上，则旋转角的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，最后由三角形内角和即可求解即可． 【详解】解：由旋转可知∶． ∵点D在的延长线上， ∴． ∵， ∴， ∴，即旋转角的度数为． 故选：B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法错误的是（ ） A. B. 函数的最小值是 C. 当时，随的增大而增大 D. 和3是方程的两个根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象以及二次函数的性质．根据二次函数的图象结合二次函数的性质即可得出、二次函数对称轴为直线以及二次函数的顶点坐标，再逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察二次函数图象，发现： 开口向上，，抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 二次函数的图象与轴的一个交点为， ∴二次函数的图象与轴的另一个交点为； A、∵二次函数的图象与轴的交点在原点下方， ∴，故本选项不符合题意； B、∵，抛物线的顶点坐标为， ∴函数的最小值是，故本选项不符合题意； C、∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减少，故本选项符合题意； D、∵二次函数的图象与轴的交点为和， ∴和3是方程的两个根，故本选项不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每题2分，共12分） 11. 当______时是二次函数 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数定义求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 12. 已知点与点关于原点对称，则的值等于 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，如果两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，由此求出a，b的值，代入求和即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：1． 13. 二次函数的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，能把一般式配成顶点式是解题的关键． 先把一般式配成顶点式得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 14. 已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成_______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了用配方法的应用，利用配方法，首先移项，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为: ． 15. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 _____________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，，再代入即得答案． 【详解】根据题意，得，， ． 故答案为：7． 16. 如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是一次函数（）与二次函数（）两个函数的图象交点的横坐标，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 三、计算题（共8分） 17. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 或 ； 【小问2详解】 即 ， ． 四、作图题（共4分） 18. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出关于原点对称的； （2）请画出绕O顺时针旋转后的并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称的作图，旋转的作图，坐标与图形，利用旋转的性质作图是解本题的关键． （1）分别确定关于原点的对称点，再顺次连接，可得答案； （2）分别确定绕原点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接，再根据的位置可得答案； 【小问1详解】 解：如图所示：，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示：，即为所求；． 五、解答题（共46分） 19. 已知：关于x的方程． （1）若方程总有两个实数根，求m取值范围； （2）若两实数根、满足，求m值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握，是方程的两根时，，． （1）由方程求出判别式即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系，用含代数式表示两根之和及两根之积，由此即可求解． 【小问1详解】 解：， ∵方程总有两个实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，整理得，， ∴解得（舍）或． 20. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若，当时，求的取值范围； （2）已知点，，都在该抛物线上，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）将代入解析式，得出，可得对称轴为直线，进而分别求得最大值与最小值，即可求解； （2）根据题意分，两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意列出关于不等式，解不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 比距离对称轴远， 时，为函数最小值， 当时，为函数最大值， 当时，； 【小问2详解】 对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上，函数有最小值， ∴， ∵， ∴，即， ， 解得， 当时，抛物线开口向下，函数有最大值， ∴， ∵， ∴，即， ， 解得， 的取值范围是或． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 22. 某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． （1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？ （2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 【答案】（1）三月份每件产品的成本是20万元； （2），四月份最少利润是500万元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式． （1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求得y与x的函数关系式；再求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程，求解即可； （2）列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 将代入，得（件）， 设三月份每件产品的成本是a万元， 由题意得， 解得， 即三月份每件产品的成本是20万元； 【小问2详解】 解：四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为， 由题意得： ， 则抛物线的对称轴为，且，开口向下， 则时，取得最小值， 此时，， 即四月份最少利润是500万元． 23. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求该抛物线的解析式； （2）点是抛物线上一点，求时点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线的解析式，进行计算求出、的值，即可得到答案； （2）先计算出，，再利用待定系数法求出直线的解析式，令直线与抛物线的对称轴交于点，则，计算出，从而得到，求出，最后分情况代入的值，进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，， 当时，， ，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图，设直线与抛物线的对称轴交于点， ， 当时，， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∵点是抛物线上一点， ∴当时，则， 解得：， ∴、， ∴时，则， 解得：， ∴、， 综上所述，符合题意的点有四个，其坐标分别为： 、、、． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与三角形面积的综合，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$