指数与指数函数常见题型训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数与指数函数常见题型总结 参考答案 题型一：指数幂的运算 1. 用分数指数幂的形式表示的结果是（　　） A． B． C． D． 【解析】B，. 2. 下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】D对于A，由指数幂的运算性质，可得，所以A错误； 对于B，由指数幂的运算性质，可得，所以B错误； 对于C，由指数幂的运算性质，可得，所以C错误； 对于D，由指数幂的运算性质，可得 ，所以D正确. 3. 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【解析】B 由题意得，，即， 所以. 4. 已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【解析】D因为，所以. 5. 化简求值: (1)； (2)． 【解析】（1） ； （2） = 6. 已知，计算：. 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 所以，所以. 题型二：指数函数的概念 1. 给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【解析】D 对于A，是幂函数，故错误， 对于B，显然前面系数不为1，故错误， 对于C，显然前面系数不为1，故错误， 对于D，符合指数函数定义，故正确. 2. （多选）函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】ACD由指数函数的定义知且，解得. 故选：ACD. 3. 已知指数函数，则的值是 . 【解析】由指数函数的定义， 可得， 解得． 4. 给定下列函数： ①； ②； ③，且； ④； ⑤； ⑥；⑦；⑧. 其中是指数函数的有 .（填序号） 【解析】对于①，不符合指数函数且的形式，不是指数函数； 对于②，符合指数函数且的形式，是指数函数； 对于③，只有当且时是指数函数，，且不是指数函数； 对于④，不符合指数函数且的形式，不是指数函数； 对于⑤，符合指数函数且的形式，是指数函数； 对于⑥，不符合指数函数且的形式，不是指数函数； 对于⑦，不符合指数函数且的形式，不是指数函数； 对于⑧，不符合指数函数且的形式，不是指数函数. 题型三：指数函数的图像与应用 1. 已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】C 很显然均大于1； 与的交点在与的交点上方， 故，综上所述:. 故选: 2. 要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【解析】D因为，， 所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位. 3. 若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解析】A因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为 故只有A项正确． 4. 若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   【解析】A 由题意函数 与函数 互为反函数， 所以，解得，它在定义域内单调递增，且过定点， 对比选项可知A符合题意. 5. 函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【解析】B 函数的定义域为且， 故为偶函数，函数图象关于轴对称， 因为，故排除C、D； 当时，故排除A. 6. 要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】B 函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数， 要使图象不经过第一象限，则，解得. 7. （多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．   B．     C．   D．   【解析】AC当时，对应的图象可能为选项A；当时，对应的图象可能为选项C. 8. 利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【解析】（1）将图象向右平移一个单位即得，如下图，    （2）将右侧图象以y轴为对称轴作出左侧图象，去掉原图象左侧部分即得，如下图，    （3）将图象向下平移一个单位即得，如下图，    （4）以x轴为对称轴，画出与对称的图象即得，如下图，    （5）将（3）所得图象在x轴下方部分，翻折到上方即得，如下图，    题型四：指数函数过定点问题 1. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解析】C令，则，故函数恒过定点. 2. 已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【解析】B令，解得，则，即过定点. 3. 函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．8 【解析】B对于函数，令，即时， 所以函数的图象恒过定点， 又定点的坐标满足方程，所以，即， 又，，所以， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为． 4. 函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 【解析】B函数且的图象恒过定点，所以， ， ， 当且仅当，即等号成立， 所以的最小值为. 5. 已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是 . 【解析】在函数中，当，即时，， 所以点P的坐标是. 6. 已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第 象限. 【解析】由已知条件得当时，，则函数恒过点， 即，此时， 由于由向下平移五个单位得到，且过点， 由此可知不过第二象限. 题型五：指数（型）函数的单调性 1. 指数函数是减函数，则二次函数顶点横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】C 由题设，则二次函数顶点横坐标为. 2. “”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】C 若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 3. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】D函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 4. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】C 令， 因为在定义域上单调递减， 要使函数在区间上单调递增， 则在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围为. 5. 已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】B 因为函数是减函数，所以． 又因为函数5）图像的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是． 6. 如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】C 因为对任意都有成立， 所以单调递增， ，解得. 7. 函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解析】C 令，则， 由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间为函数的单调递减区间， 又函数， 即函数为偶函数， 结合图象，如图所示， 可知函数的单调递减区间为和， 即的单调递减区间为和． 8. 已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【解析】C ， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 9. 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】A ，易知在单调递减， 在单调递减，且在处连续，故在R上单调递减， 由，则，解得, 故不等式的解集为. 10. 已知函数，则的单调递增区间为 ． 【解析】令，解得或， ∴的定义域为， 令，则其在上递减，在上递增， 又为减函数，故的增区间为． 11. 不等式的解集为 ． 【解析】依题意 12. 设，则关于x的不等式的解集是 . 【解析】因为，且，则根据指数函数的单调性可知，，解得，所以不等式的解集为. 题型六：利用指数函数的单调性比较大小 1. 若，则（   ） A． B． C． D． 【解析】A ∵指数函数在上单调递增， 且， ∴，即. ∵幂函数在上单调递增，且， ∴，即， ∴. 2. 下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】D 对于选项A:由在单调递增，且，所以，故选项A错误； 对于选项B: 由在单调递增，所以，由在单调递减，所以，故，故选项B错误； 对于选项C: 由,在单调递减，且在第一象限底大图高，所以,故选项C错误； 对于选项D: 由在单调递增，且，所以,故选项D正确. 3. 设则（   ） A． B． C． D． 【解析】B 对于函数，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，即. 所以，. 由，得，所以，则， 所以，即. 所以. 4. （多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【解析】BCD在上是减函数，，故A不正确； 在上是增函数，，故B正确； 在上是增函数，，故C正确； 在上是减函数，，故D正确． 5. 判断下列各数的大小关系： (1)与； (2) (3)，， 【解析】（1）因为在上为增函数，且，所以； （2）因为，且在上为减函数，且，所以； （3）因为，，，所以. 题型七：指数型函数最值与值域问题 1. 已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】B当时，，符合题意； 当时，因为函数的值域为满足， 由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即， 若时，不符合题意； 综上：. 2. 已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【解析】A因为是奇函数，所以，所以． 即，则，解得， 经检验符合题意，所以， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， ，整理得， 解得或(舍去)，所以； 当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递减， 所以，，整理得， 解得或(舍去)，所以， 综上，或3． 3. （多选）已知函数，则（   ） A．不等式的解集是 B．，都有 C．是R上的递减函数 D．的值域为 【解析】AD A：，由，得，即， 得，解得，即原不等式的解集为，故A正确； B：，故B错误； C：，所以在R上单调递减不成立，故C错误； D：由知，即函数的值域为，故D正确. 4. 函数的值域是 . 【解析】依题意，，当且仅当时取等号，而函数在R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 5. 函数的最小值是 . 【解析】令t=2x，x∈[0，2]，则t∈[1，4]． 原函数化为g（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4， 当t=1时，g（t）有最小值，即f（x）有最小值为-4． 6. 不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ． 【解析】原不等式可化为对恒成立， 令，则，所以， 当时，，所以. 7. 若实数，使得恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【解析】要使在实数时恒成立等价于在实数时恒成立，则， 令，为减函数， ∴在上为减函数，故当时，， 即实数a的取值范围是． 8. 已知函数，则的值域为 ． 【解析】由题意可知时，，当且仅当时取得等号， 时，，当且仅当时取得等号， 故. 9. 设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)若在上的最小值为，求的值. 【解析】（1）为偶函数，， 又为奇函数，， ，① ，即，② 由得：，可得. （2）， 所以，， 令，因为函数、在上均为增函数， 故在上单调递增，则， 设，，对称轴， ①当时，函数在上为减函数，在上为增函数， 则，解得：或（舍）； ②当时，在上单调递增， ，解得：，不符合题意. 综上：. 题型八 指数（型）函数综合性问题 1. 已知函数 (1)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围． 【解析】（1）令，由可得，， 原函数可化为，为开口向上，对称轴， 当，即时，在上单调递减， 则时，函数取得最小值，即舍， 当，即时，在上单调递增， 则时，函数取得最小值，即， 当，即时，在上先减后增， 则时，函数取得最小值，此时不存在， 故； （2）由题意得，满足， 即， 令，则存在满足， 令，当且仅当时等号成立，则满足，即， 因为函数在上单调递增，当时，， 所以， 故的范围为． 2. 已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)判断的单调性，并作简要说明，无需证明； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，所以. 又因为，所以， 将代入，整理得， 当时，有，即， 又因为当时，有，所以，所以， 故，满足，符合题意， 所以，. （2）由（1）知：函数， 因为为上的单调增函数，且，故为上的单调减函数 则函数在上是减函数. （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 又因为函数在上是减函数， 所以，所以， 令， 由题意可得，又因为， 所以，即的取值范围为. 3. 已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； (3)，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，,定义域关于原点对称， 令，所以，故， 则，， 所以为定义在上的奇函数，故. （2）是上的增函数. 证明：任取，且， ， 所以，所以，，， 所以， ， 所以，即， 所以是上的增函数. （3）当时，不等式即， 故， 则令，由题意可知，， 因为函数，为上的增函数， 故在上单调递增， 故， 所以. 4. 设函数. (1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）； (2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）由指数函数单调性可知单调递增， 对分类讨论如下： ①当时，为常函数； ②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递减 ③当时，在区间上单调递增，在区间上单调递增 （2）易知函数的定义域为， 是奇函数，， 即， 所以， 经验证时，满足， 所以与的关系式为. （3）由已知得， 整理可得：在恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 5. 已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)令（其中），求函数的值域. 【解析】（1）函数的定义域为， 由，可知函数为偶函数； （2）证明：设，有 ， ， ， 故函数在区间上单调递增； （3）由，有， 由函数在区间上单调递增，，可知函数在区间上的值域为， 又由函数为偶函数，可知函数在上的值域为， 令，可得，有， 令，有， ①当时，，此时函数的值域为； ②当时，，此时函数的值域为， 由函数和函数的值域一样，故可得， 当时，函数的值域为； 当时，函数的值域为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 指数与指数函数常见题型总结 题型一：指数幂的运算 1. 用分数指数幂的形式表示的结果是（　　） A． B． C． D． 2. 下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3. 化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4. 已知，则的值(    ) A． B． C． D． 5. 化简求值: (1)； (2)． 6. 已知，计算：. 题型二：指数函数的概念 1. 给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2. （多选）函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3. 已知指数函数，则的值是 . 4. 给定下列函数： ①； ②； ③，且； ④； ⑤； ⑥；⑦；⑧. 其中是指数函数的有 .（填序号） 题型三：指数函数的图像与应用 1. 已知在同一坐标系下，指数函数和的图象如图，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2. 要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3. 若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4. 若函数 与函数 的图象关于直线 对称，则 的大致图象是（    ） A．   B．     C．   D．   5. 函数的图象是（    ） A． B． C． D． 6. 要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. （多选）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．   B．     C．   D．   8. 利用函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型四：指数函数过定点问题 1. 已知函数（，且）的图象恒过定点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 3. 函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．8 4. 函数且的图象恒过定点，若且，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D． 5. 已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是 . 6. 已知函数（，）恒过定点，则函数的图像不经过第 象限. 题型五：指数（型）函数的单调性 1. 指数函数是减函数，则二次函数顶点横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2. “”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5. 已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6. 如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7. 函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 8. 已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 9. 已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10. 已知函数，则的单调递增区间为 ． 11. 不等式的解集为 ． 12. 设，则关于x的不等式的解集是 . 题型六：利用指数函数的单调性比较大小 1. 若，则（   ） A． B． C． D． 2. 下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 3. 设则（   ） A． B． C． D． 4. （多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 5. 判断下列各数的大小关系： (1)与； (2) (3)，， 题型七：指数型函数最值与值域问题 1. 已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. 已知奇函数在上的最大值为，则（） A．或3 B．或2 C．3 D．2 3. （多选）已知函数，则（   ） A．不等式的解集是 B．，都有 C．是R上的递减函数 D．的值域为 4. 函数的值域是 . 5. 函数的最小值是 . 6. 不等式对任意都成立，则实数的取值范围 ． 7. 若实数，使得恒成立，则实数a的取值范围是 ． 8. 已知函数，则的值域为 ． 9. 设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且. (1)求与的解析式； (2)若在上的最小值为，求的值. 题型八 指数（型）函数综合性问题 1. 已知函数 (1)若函数在区间上的最小值为，求实数的值； (2)若函数在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围． 2. 已知定义域为的函数是奇函数. (1)求，的值； (2)判断的单调性，并作简要说明，无需证明； (3)若存在，使成立，求实数的取值范围. 3. 已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； (3)，使得成立，求实数的取值范围. 4. 设函数. (1)判断函数在区间和上的单调性（不需要证明过程）； (2)若函数在其定义域内为奇函数，求与的关系式； (3)在（2）的条件下，当时，不等式在恒成立，求的取值范围. 5. 已知函数 (1)判断函数的奇偶性； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)令（其中），求函数的值域. 学科网（北京）股份有限公司 $$