7.3.1 离散型随机变量的均值课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

人教A版 数学 选择性必修第三册 第七章　随机变量及其分布 7.3.1　离散型随机变量的均值 课标定位素养阐释 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质,会求离散型随机变量的均值. 2.掌握两点分布的均值. 3.能够利用离散型随机变量的均值,解决一些相关问题. 4.通过本节课学习,培养利用数学模型分析、解决实际问题的能力. 自主预习 新知导学 离散型随机变量的均值 1.有12个西瓜,已知其中重5 kg的有4个,重6 kg的有3个,重7 kg的有5个. (1)任取1个西瓜,用X(单位:kg)表示这个西瓜的重量,试想X的可能取值有哪些? (2)X取上述值时对应的概率分别是多少? (3)如何求这些西瓜的平均重量? 2.(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示, X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. (2)一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. (3)一般地,下面的结论成立: E(aX+b)=aE(X)+b . 3.(1)已知Y的分布列为 X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 (2)由已知得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16. 答案:(1)D　(2)A 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”. (1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化.( × ) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平.( × ) (3)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4.( √ ) 合作探究 释疑解惑 探究一 两点分布的均值 【例1】 某运动员投篮命中率为p=0.6,求投篮1次命中次数X的均值. 解:投篮1次,命中次数X的分布列如下表: 因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=p=0.6. X 0 1 P 0.4 0.6 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 1.两点分布的特点: (1)一次试验的结果要么发生要么不发生. (2)随机变量的取值为0,1. (3)试验次数一般只有一次试验. 2.如果随机变量X服从两点分布,那么随机变量X的均值E(X)=p. 熟练应用上述公式可大大减少运算量,提高解题速度. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练1】 在两点分布中,若P(X=1)-P(X=0)=0.2,则E(X)=　　　　.  解析:因为P(X=1)+P(X=0)=1, 又因为P(X=1)-P(X=0)=0.2, 解得P(X=1)=0.6, 所以E(X)=0.6. 答案:0.6 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究二 离散型随机变量均值公式及性质 【例2】 已知随机变量X的分布列如下表: (1)求m的值; (2)求E(X); (3)若Y=2X-3,求E(Y). 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 与离散型随机变量性质有关的问题的解题思路 若给出的随机变量Y与X的关系为Y=aX+b,a,b为常数.一般先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y的分布列,关键先由X的取值计算Y的取值,对应的概率相等,再由定义法求得E(Y). 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练2】 已知随机变量X的分布列如下表: 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 答案:B 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究三 离散型随机变量的均值 【例3】 某汽车4S店在一次汽车促销活动中,让每位参与者从盒子中任取一个由0~9中任意三个数字组成的“三位递减数”(即个位数字小于十位数字,十位数字小于百位数字).若“三位递减数”中的三个数字之和既能被2整除又能被5整除,则可以享受5万元的优惠;若“三位递减数”中的三个数字之和仅能被2整除,则可以享受3万元的优惠;其他结果享受1万元的优惠. (1)试写出所有个位数字为4的“三位递减数”; (2)若小明参加了这次汽车促销活动,求他得到的优惠金额X(单位:万元)的分布列及均值E(X). 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 解:(1)个位数字为4的“三位递减数”有984,974,964,954,874,864,854,764,754,654,共10个. (2)由题意知,不同的“三位递减数”共有 =120(个). 小明得到的优惠金额X的可能取值为5,3,1. 当X=5时,三个数字之和可能为20,10,当三个数字之和为20时,有983,974,965,875,共4个“三位递减数”; 当三个数字之和为10时,有910,820,730,640,721,631,541,532,共8个“三位递减数”, 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 求离散型随机变量均值的步骤 (1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X所有可能的取值; (2)求概率:求X取每个值的概率; (3)写分布列:写出X的分布列; (4)求均值:由均值的定义求出E(X). 其中写出随机变量的分布列是求解随机变量均值的关键所在. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练3】 在甲、乙等六个单位参加的一次庆祝国庆演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,现采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6),求: (1)甲、乙两个单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两个单位之间的演出单位个数X的分布列与均值. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究四 均值的实际应用 【例4】 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的分期付款期数X的分布列为 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.Y(单位:元)表示经销一件该商品的利润. (1)求事件A“购买该商品的3名顾客中,至少有1名采用1期付款”的概率P(A); (2)求Y的分布列及均值E(Y). X 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 解:(1)由事件A表示“购买该商品的3名顾客中至少有1名采用1期付款”知,事件 表示“购买该商品的3名顾客中无人采用1期付款”. P( )=(1-0.4)3=0.216, 则P(A)=1-P( )=1-0.216=0.784. (2)Y的可能取值为200,250,300,且P(Y=200)=P(X=1)=0.4, P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4, P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2. 因此Y的分布列为 故E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240. Y 200 250 300 P 0.4 0.4 0.2 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 1.实际生活中的均值问题 均值在实际生活中有着广泛的应用,如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的选择、产品合格率的预测、投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计. 2.概率模型的解答步骤 (1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值. (3)根据实际意义,回答概率、均值等所表示的结论. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练4】 随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:元)为X. (1)求X的分布列; (2)求生产1件产品的平均利润(即X的均值); (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%,如果此时要求生产1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少? 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 X 6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 (3)设技术革新后的三等品率为x,其中0<x<0.29, 则此时1件产品的平均利润为 E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x. 依题意,得E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73, 解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 易错辨析 不能准确理解题意致错 【典例】 根据统计,一年中,一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.000 1,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,参加者交保险费100元,若在一年之内,万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a>100),问a如何确定,可使保险公司期望获利? 错解:设保险公司获利为X元,则X的分布列如下表: 所以E(X)=100×0.999 9+(-a)×0.000 1=99.99-0.000 1a. 由E(X)>0,得100<a<999 900. 故当100<a<999 900时,保险公司可期望获利. X 100 -a P 0.999 9 0.000 1 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:由于没有理解题意而把随机变量的取值弄错了,而当该家庭失窃时,保险公司需赔偿a元,但是已收取了100元,故其损失为(a-100)元. 正解:设保险公司获利为X元,则X的分布列如下表: 所以E(X)=100×0.999 9+(-a+100)×0.000 1=100-0.000 1a. 由E(X)>0,得a<1 000 000,又a>100, 故当100<a<1 000 000时,保险公司可期望获利. X 100 -a+100 P 0.999 9 0.000 1 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 对于以实际问题为背景的应用题,解题时要准确理解题意,明确各量之间的关系,避免出现错误. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 【变式训练】 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 ,各局比赛的结果相互独立,第1局甲当裁判. (1)求第4局甲当裁判的概率; (2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的均值. 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 解:(1)设事件A1=“第2局结果为甲胜”,A2=“第3局甲参加比赛,结果为甲负”,A=“第4局甲当裁判”,则A=A1A2. 因为A1与A2相互独立,所以P(A)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= . (2)X的可能取值为0,1,2. 设A3=“第3局乙和丙比赛,结果为乙胜丙”,B1=“第1局结果为乙胜丙”,B2=“第2局乙和甲比赛,结果为乙胜甲”,B3=“第3局乙参加比赛,结果为乙负”, 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 易错辨析 随堂练习 1.随机变量X的分布列为 则X的均值是(　　) A.2 B.2.1 C.2.3 D.随m的变化而变化 解析:因为0.2+0.5+m=1,所以m=0.3. 所以E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1. 答案:B X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 答案:AC 3.某射手射击所得环数Y的分布列如下表: 已知Y的均值E(Y)=8.9,则y的值为　　　　　.  答案:0.4 Y 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 4.已知随机变量X的分布列为 Y=2X+5,则E(Y)=　　　　　.  5.盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有2节废电池,现在无放回地每次取1节电池检验,直到取到好电池为止,求: (1)抽取次数X的分布列; (2)抽取次数X的均值. 提示:(1)5,6,7. (2)P(X=5)=,P(X=6)=,P(X=7)=. (3)=5×+6×+7×. 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=为随机 Y -1 0 1 2 P 则ξ的均值为(　　) A.0 B.-1 C. D. (2)随机变量X的分布列如下表所示,则E(5X+4)等于(　　) 解析:(1) Y的均值为E(Y)=-1×+0×+1×+2×. (4)随机变量X的均值E(X)=.( × ) X -2 -1 0 1 2 P m 解:(1)由离散型随机变量分布列的性质,得+m+=1,解得m=. (2)E(X)=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-. (3)(方法一)由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3 =2×-3=-. (方法二)由于Y=2X-3,故Y的分布列如下表: Y -7 -5 -3 -1 1 P 所以E(Y)=(-7)×+(-5)×+(-3)×+(-1)×+1×=-. X -1 0 1 P m 若Y=aX+3,E(Y)=,则a=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由分布列的性质,得+m=1,解得m=. 因此E(X)=-1×+0×+1×=-. 由E(Y)=E(aX+3)=aE(X)+3=-a+3=, 得a=2. 所以P(X=5)=. 当X=3时,三个数字之和仅能被2整除,即这三个数字只能是三个偶数或两个奇数一个偶数,但不包括能被10,20整除的“三位递减数”,故P(X=3)=. 故P(X=1)=1-P(X=5)-P(X=3)=1-. 所以他得到的优惠金额X的分布列为 X 5 3 1 P 均值E(X)=5×+3×+1×=2.2. 解:(1)设事件A=“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则=“甲、乙的演出序号均为偶数”,由古典概型知识,得P(A)=1-P()=1-=1-. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,且P(X=0)= .从而X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×. 解:(1)X的所有可能取值为6,2,1,-2. P(X=6)==0.63,P(X=2)==0.25, P(X=1)==0.1,P(X=-2)==0.02. 故X的分布列为 则B1,B2,A3相互独立,,B3相互独立,所以P(X=0)=P(B1B2A3)=P(B1)P(B2)P(A3)=, P(X=2)=P(B3)=P()P(B3)=, P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1-. 故E(X)=0×+1×+2×. 2.(多选题)一盒中有7个乒乓球,其中5个未使用过,2个已使用过,现从盒子中任取3个球来用,用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为X,则下列结论正确的是(　　) A.X的所有可能取值是3,4,5 B.X最有可能的取值是5 C.X等于3的概率为 D.X的均值是 解析:由得y=0.4. X 1 2 3 4 P 解析: 因为E(X)=1×+2×+3×+4×. 所以E(Y)=E(2X+5)=2E(X)+5=2×+5=. 答案: 解:(1)由题意知,X的可能取值为1,2,3. P(X=1)=,P(X=2)=, P(X=3)=×1=. 所以抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P (2)E(X)=1×+2×+3×. $$